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2021年01月28日 03:35
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§
57
导数的概念及导数的几何意义⑴
【考点及要求
】了解导数的概念，理解导数的几何意义，通过函数图象能直观地理解 导数的
几何意义。
【基础知识
】
1
．一般地，函数
f ( x)
在区间
[ x
1
, x
2
]
上的平均变化率为，平均变化率反映了函数在某个区间
上平均变化的趋势（变化快慢）
，或说在某个区间上曲线陡峭的程度；
2
．
不妨设
P( x
1
, f ( x
1
)), Q ( x
0
, f ( x
0
))
，则割线
PQ
的斜率为，
设
x
1
－
x
0
=
△
x
，则
x
1
=
△
x
＋
x
0
，∴
k
PQ
，当点
P
沿着曲线向点
Q
无限靠近时，割线
PQ
的
斜率就会无限逼近点
Q
处切线斜率，
即当△
x
无限趋近于
0
时，
k
PQ
f (x
0
x)
x
f (x
)
0
无
限趋近点
Q
处切线。
3
．曲线上任一点
(x
0
，
f(x
0
))
切线斜率的求法：
k
f (x
0
x)
x
f (x
)
0
，当
△
x
无限趋近于
0
时，
k
值即为
(x
0
，
f(x
0
))
处切线的，记为．
4
．瞬时速度与瞬时加速度：
位移的平均变化率：
s(t
0
t ) s(t
0
)
t
，称为；当无限趋近于
0
时，
s(t
0
t )
t
s(t
0
)
无限趋近于一个常数，这个常数称为
t=t
0
时的；速度的平均变化率：
v(t
0
t )
t
v(t
)
0
，当无限趋近于
0
时，
v(t
0
t )
t
v(t
0
)
无限趋近于一个常数，这个常数
称为
t=t
0
时的．
【基础练习
】
1
．已知函数
f ( x)
为
．
ax
2
在区间
[1,2]
上的平均变化率为
,
则
f ( x)
在区间
[-2,-1]
上的平均变化率
2
．
A
、
B
两船从同一码头同时出发
40km/h,
设时间为
t,
则在区间
[t
1
,t
,A
船向北
,B
船向东
,
若
A
船的速度为
30km/h,B
2
船的速度为
_
]
上
,A,B
两船间距离变化的平均速度为
____ __
【典型例题讲练
】
例
1
．已知函数
f(x)=2x+1,
⑴分别计算在区间
[-3
，
-1]
，
[0
，
5]
上函数
f(x)
的平均变化率；
⑵
.
探求一次函数
y=kx+b
在区间
[m
，
n]
上的平均变化率的特点；
2
练习：
已知函数
f(x)=x
+2x
，分别计算
f(x)
在下列区间上的平均变化率
⑴
[1
，
2]
；
⑵
[3
，
4]
；
⑶
[
－
1
，
1]
；
⑷
[2
，
3]
【课堂检测
】
1
．求函数
y
f ( x)
1
在区间
[1,1+
△
x]
内的平均变化率
x
2
．试比较正弦函数
y=sinx
在区间
0,
和
6
,
上的平均变化率，并比较大小。
3
2
§
58
导数的概念及导数的几何意义⑵
s
（单位
:s
）与时间
t
（单位：
s
）之间的关系是：
s(t)=
gt
2
(g
【典型例题讲练
】
例
2
．自由落体运动的物体的位移
1
2
是重力加速度
)
，求该物体在时间段
[t
1
，
t
2
]
内的平均速度；
练习：自由落体运动的位移
s(m)
与时间
t(s)
的关系为
s=
gt
2
1
2
(1)
求
t=t
0
s
时的瞬时速度；
(2)
求
t=3s
时的瞬时速度；
(3)
求
t=3s
时的瞬时加速度；
例
3
．已知
f(x)=x
2
，求曲线在
x=2
处的切线的斜率。
练习
:1
．
曲线
y=x
3
在点
P
处切线斜率为
2
．若曲线
y
3
．曲线
y
k,
当
k=3
时
,P
点的坐标为
_________
．
x
4
的一条切线与直线
x
4 y 8 0
垂直，则的方程为．
2
在交点处切线的夹角是
____ __
．
2
1
x
2
与
y
1
x
3
2
4
4
．已知函数
f ( x)
2x
3
1
2
x
2
m
（为常数）
图象上处的切线与
x y 3
0
的夹角为，
则点的
横坐标为
.
5
．曲线
y=x
3
在点
(1
，
1)
处的切线与
x
轴、直线
x=2
所围成的三角形的面积为
__________
．
6
．过曲线
y
x
3
x
1
上
一点
P
的切线与直线
1
x
2
过点
(1,1)
的切线方程
y 4x 7
平行，则
P
点的坐标为．
例
4
．求
f ( x)
练习：过点
P( 1,2)
且与曲线
_ ___.
y
3x
2
4x 2
在点
M (1,1)
处的切线平行的直线方程是
__
【课堂小结
】
【课堂检测
】
1
．求曲线
y
x
3
3x
2
1
在点（
1
，－
1
）处的切线方程
2
．已知函数
f ( x)
线方程为
6x
x
3
bx
2
ax
d
的图象过点
P
（
0
，
2
），且在点
M
( 1
，
f (
1))
处的切
f ( x)
的解析式；
y
7
0
．求函数
y
3
3
．已知曲线
f ( x)
【课堂作业
】
1
．与直线
y
2
．设曲线
y=
x
上的一点
P(0,0)
的切线斜率是否存在
?
说明理由
4x
1
平行的曲线
y
x
3
x 2
的切线方程是
__
_ ___.
tan
的值为
_
1
和曲线
y=
在它们交点处的两切线的夹角为，则
1
_ __.
x
2
x
3
．若直线
y=
是曲线
y
x
3
3x
2
ax
的切线，则
α
=.
4
．求曲线
y
x(x
1)( x
2)
在原点处的切线方程
.
§
59
导数的运算（
1
）
y
c, y
x, y
x
, y
2
【考点及要求
】理解导数的运算，能根据导数的定义，求函数
1
x
的
导数；能利用导数数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
【基础知识
】
1
．基本初等函数的求导公式：
(C )
(log
a
x)
，；
( x )
=
，
(a
，（α
为常数）；
(a
x
)
，
(a 0, a 1)
0, a
1)
；
注：
当
a=e
时，
(e
x
)
，
(lnx )
；
，
(sinx )
，
(cosx)
2
．
法则
1
两个函数的和
(
或差
)
的导数，等于这两个函数的导数的，即
[ u( x)
v( x)]
'
．
法则
2
常数与函数的积的导数，等于常数与函数的
．
法则
3
两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二
个函数的导数，即
(u( x)v( x))
．
法则
4
两个函数的商的导数，等于，即
u
( x)
(v
( x)
0)
．
【
基
)
础练习
】
v
(x
1
．求下列函数导数．
（
1
）
y
（
4
）
y
x
5
log
3
x
（
2
）
y
（
5
）
4
x
（
3
）
y
x
x
x
y
log
x
(
)
( x
0 a 0 a
1
1
a
，
，
，
x
1)
（
6
）
y=sin(
+x)
(7) y=sin
（
8
）
y=cos(2
π－
x)
（
9
）
y=
f (1)
2
【典型例题讲练
】
例
1
求下列函数的导数
3
（
1
）
y
x
3
sin x
；
5x
10
sin x
（
2
）
y (2 x
2
3)(3 x
2)
；
(
两种方法
)
（
3
）
y
2
x cos x 9
；（
4
）
y=
x
2
；
.
练习：
(1)
求
y=
x
x
2
3
sin x
(2)
在点
x=3
处的导数
.
1
求
y=
·
cosx
的导数
.
3
x