数学--解析几何类论文
玛丽莲梦兔
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2021年01月28日 03:36
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分类号
G633.6
陕西师范大学学士学位论文
高考数学命题特点及解题方法研究
----
以解析几何部分为例
作
者
单
位
数学与信息科学学院
指
导
老
师
刘
丽
丽
作
者
姓
名
曾
桂
英
专
业、班
级
数学与用数学专业
09
级
3
班
提
交
时
间
2013
年
5
月
高考数学命题特点及解题方法研究
----
以解析几何部分为例
曾桂英
(
数学与信息科学学院
2009
级
3
班
)
指导教师
刘丽丽
副教授
摘
要
: 本文首先陈述了数学考试说明及新课程标准数学科考试大纲
中有关解析几何部分的规定与要求
；
然后对部分地区有关解析几何的
高考试题进行分类整理，并对其进行
了
分 析与总结
；
接着归纳了解析
几何部分的命题特点
；
最后根据各地试题 对如何解决有关解析几何的
典型试题进行了分类处理，有助在复习中寻求一般规律，有针对性的
练好基本功，
提高解题能力
.
关键词
:
解析几何
;
命题研究
;
解题方法
The university entrance exam mathematics proposition research
characteristic and the problem solving method
-------analytic geometry parts
ZENG Gui- ying
(Class 3,Grade 2009,College of Mathematics and Information Science)
Advisor:
Lecture LIU Lily
Abstract:
In
this
dissertation,
the
regulations
and
requirements
of
analytic
geometry
part
in
math
exam
description
and
the
new
curriculum
standards
Mathematics
exam
outline
are
firstly
stated .Secondly
the
parts
relevant
to
analytic
geometry
are
sorted,
carried
and
researched
,excavated
.
Then
inductive language are used to summarized the characteristics of the analytic
geometry proposition; Finally ,how to solve the relevant analytic geometry is
carried on the classification processing according to the questions, for helping
1
to improve the students
’
ability of solving problems.
Key words: Analytic geometry Thesis research; Solution methods
在中学数学中， 解析几何的建立是第一个真正实现了几何和代数相结合的方
法，
其使形和数统一
,这是一个有重大突破历史的发展
.
解析几何是数学学习的重
要内容之一
,
在高考数学中
,
占据很大的比例
.
但试验
,
测试的 有关解析几何的一
部分试题往往有很大困难且分化程度较大
,
因此
,
掌握此部分的命题方向以及解
题方法的部分特点
,
有助于提高学生掌握此部分内容以及 复习效率
.
面对高考解
析几何试题
,
选择简捷的运算方法
,
合理地减少计算量
,
提高计算技能
,
乃是
解题得分的关键。
为此
,
本文不仅研究了试题特点还结合对高考试题分析
,
提出
几种常规的解题模式
,
以帮助学生在复习中寻求一般规律
,
有针对性的练好基本
功
,
提高解题能力
.
1
．
《数学科考试说明》与《新课程标准数学科考试大纲》的分析
1.1
《数学科考试说明》中命题指导思想的分析
《数学科考试说明》中，对高考数学命题的指导思想作出了规定：
(1)
命 题应依据教育部颁布的《数学课程标准》
、
《新课程标准数学科考试大
纲》和省市的《 数学科考试说明》
，并结合本省普通高中数学教学实际，体现数
学学科的性质和特点，
(2)
命题的重点是基础知识、基本技能、数学思想、数学方法和数学能力，
(3)
命题既要实现平稳过渡，又要体现新课程理念，更要注重教学实际，
(4)
命题要坚持公正、公平、安全的原则，
(5)
试卷要有较 高的效度、信度和一定的区分度以及恰当的难度，有利于各
种层次的考生答卷
1
.
1.2
《新课程标准数学科考试大纲》中解析几何部分考查内容
1.2.1
解析几何初步
《新课程标准数学科考试大纲》中关于解析几何 初步的内容有（
1
）坐标系
中基本公式（
2
）直线与方程（
3
）圆与方程
2
.
根据对知识点的要求归纳如下：
2
直线与方程是解析几何的基础内容，是高考必考内容，有时是直接命题，
有时是
融于解析几何的解答题之中
.
直接命题时，通常是考查两条直线线的位 置关系、
斜率及截距等
.
在解析几何的命题中有关圆的部分是相对独立，命题形式比较 灵
活，可以单独命题，如求圆的标准方程、一般方程、圆心和半径的选择题或填空
题，
也可以与直线结合根据直线与圆的位置关系、
圆与圆的位置关系命制选择题、
填空题或解答题< br>.
高考对这部分内容的考查主要有
:
（
1
）直线方程的考查
直线方程的有关基础知识，主要围绕直线的 倾斜角、斜率等设计命题如选择
题或填空题，直线方程及直线位置关系中的基础知识也经常被考查
.
（
2
）圆的方程的考查
该部分命题的重点在于圆的方程的两 种形式及直线与圆的位置关系，命题方
式灵活多变，有时是单独命题，有时是与其它知识相交汇，主要考 查知识的熟练
性与数学技能的全面性
.
1.2.2
．圆锥曲线与方程
《新课程标准数学科考试大纲》
中关 于圆锥曲线与方程的内容有
（
1
）
圆锥曲
线中需了解圆锥曲线的实际 背景，
了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题
中的作用，
掌握椭圆、 抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质，了解
双曲线的定义、几何图形和标准方程，
知 道它的简单几何性质，
了解圆锥曲线的
简单应用，理解数形结合的思想；（
2
）曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方
程的对应关系
2
.
高考对这部分内容的考查主要有
:
（
1
）椭圆的定义、 标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程
的考查；
（
2
）双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质的考查；
（
3
）抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质考查；
（
4
）圆锥曲线的初步应用
的考查；
（
5
）曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；
3
2
、部分地区高考解析几何部分命题分析
2.1 2010-2012
年高考解析几何部分命题特点分析
2.1.1 2010-2012
年高考解析几何部分命题所考察知识点的分布
解析几何是高中数学的主干知识之一
,
其特点是用代数的方法研究、解决几
何问题
,
重点是用
“数形结合 ”
的思想把几何问题转化为代数问题
3
.
其命题一
般紧扣课本
,
全面考查这部分内容，突出重点主干知识、注重知识 的交汇应用、
强化数学思想方法、突出创新意识
,
在高考中占有较大比重
.< br>根据资料统计了
2010-2012
年全国部分地区，以陕西、北京、广东、江苏高考解 析几何试题
(
以
理科为例
)
共
12
份试卷，考查的知识点及分值具体情况分布如下
:
表
1
：
2010
年考查的知识点及分值具体情况分布
省份
试卷题号
陕西
8
（抛物线）
20
（椭圆）
北京
5
（极坐标）
13
（双曲线，
椭圆）
19
（椭圆）
考查分值
18
表
2
：
2011
年考查的知识点及分值具体情况分布
省份
试卷题号
陕西
2
（抛物线）
15
（参数方程，
极坐标）
17
（椭圆）
考查分值
22
22
19
18
北京
广东
江苏
14
（圆）
18
（椭圆）
24
19
26
广东
12
（圆）
20
（双曲线）
江苏
6
（双曲线）
9
（圆）
18
（椭圆）
3
（极坐标）
14
（参数方程）
14
（双曲线）
19
（椭圆）
19
（椭圆）
表
3
：
2012
年考查的知识点及分值具体情况分布
4
省份
试卷题号
陕西
4
（圆）
13
（抛物线）
19
（椭圆）
北京
广东
江苏
8
（双曲线）
10
（圆）
19
（椭圆）
12
（抛物线）
14
（参数方程）
19
（椭圆）
20
（椭圆）
考查分值
22
19
17
26
2,1.2
解析几何命题中考察知识点分布特点分析
我们从表中可得，虽然解析几何部分的平均 分值仅占总分的
15%
，但涉及的
知识点分布广，覆盖全面，具有这样一些特点：
（
1
）
题型与分值：解析几何部分所占分数稳定在
17
分—
26
分，
一般为
2-
3
道客观题和一道解答题，解答题为各省区必考，多是与椭圆有关的知识点；
（
2
）难度：总体来说，新课改地区的解析几何部分考查的内容删减较多，
但高考难度却变化不 大，属于难题；
(3)
试题溯源
:
考察点都来源于课本中的定义与几何性质；
客观题一般直接来源于课本，往往是课本的原题或变式题，解析几何的主观
试题的生长点也是课本< br>
4
.
（
4
）客观题特点：
主要考查内容为直线与圆的位置关系（这部分内容主要
考查直线与圆的相关概念
,
如倾 斜角与斜率、距离公式、直线方程、对称问题、
直线与圆位置关系判定等
,
其中直线与圆的位置关系是这部分高考的重点和热
点
,
涉及利用三种位置关 系求参数的取值范围、
轨迹、
切线长、
弦长、
弦的中点、
夹角等）< br>,
线性规划
,
圆锥曲线的定义、标准方程、简单几何性质、极坐标与参
数方程等
,
注重考 查基础知识、基本方法，多数题目难度为中等或者是简单题，
文理科区别不大，有少部分题目设置为选择 或填空题的压轴位置；
（
5)
主观题特点：
解答题一般设置成
2
-3
问
,
第一问一般为求标准方程< br>（如
2012
年浙江卷）、圆锥曲线的离心率或标准方程；
第二问主要考查直线 与圆锥曲
线的位置关系这一热点内容
,
通常设问的内容有：弦长公式，参数取值范围 ，
最
值问题，
定值定点问题，
存在性问题，
直线与圆锥曲线的位置关 系等，
综合性强，
对计算能力要求特别高，
同时对分析能力及几何知识有较高要求，< br>并且易与向量、
5
数列、导数等融合考查，整体难度大，有些省 区作为压轴题出现，文理科的难度
有所区别；
(6)
主要考查点：两点间的 距离，点到直线的距离，直线与圆的几何特征与
关系，椭圆、双曲线、抛物线的定义、性质和相关点法求 轨迹方程等；
热点：直线与圆的关系及方程，椭圆、抛物线的定义与性质，相关点法求轨
迹方程；
冷点：直线间平行与垂直的判断和运用；
盲点：直线的斜率、倾斜角，圆的弦长问题 ，空间直角坐标系，圆与圆锥曲
线的实际应用等
.
2.2
解析几何部分命题特征分析
通过以上表格分析解析几何高考的命题特征及趋势：
1
、题量稳定：近几年 来高考解析几何试题一直稳定在一（或二）个选择题，
一个填空题，
一个解答题上，
分 值约为
21
分，
占总分值的
15%
左右，
其中< br>2012
年江苏达到了
26
分之多，足见其之不可动摇的重要地位
.< br>文理考点与分值差别不
大，只是顺序变化，特别是客观题完全相同，而解答题理科都放在第
21
题，而
文科都放在第
22
题
.
2
、整体平 衡，重点突出：以
2012
年全国大纲卷数学高考《考试说明》为参
考，综合起来可理 解为有
19
个关于解析几何的知识点，一般每套试卷考查的知
识点在
60％左右，其中对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，每年
的试题都有涉及，一般对知识的 重新组合，考查时不仅注意全面，
而且注意突出
重点，
对支撑数学解析几何部分体系的 主干知识，
考查时保证较高的比例并保持
一定深度，在高考数学中属于难点与易错点
.
直线与圆的方程、圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是支撑解析几何
的基石，也是高考命 题的基本内容．高考十分注重对这些基础知识的考查
5
，有
的是 考查定义的理解和应用，
有的是求圆锥曲线的标准方程，
有的是直接考查圆
锥曲线的离 心率，有的是考查直线与圆和圆锥曲线的位置关系等．
近几年全国卷数学高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：
（
1
）求曲线方程（类型确定，有的给出曲线方程）
；
（
2
）直线、圆和圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）
；
6
（
3
）与圆锥曲线定义有关的试题（涉及焦半径、 焦点弦、焦点三角形和准
线，利用余弦定理等）
（
4
）与曲线有关的最值问题（含三角形和四边形面积）
；
（
5
）与曲线有关的几何证明
(
圆线相切、四点共圆、对称性或求对称曲线 、
平行、垂直等
)
；
（
6
）探求曲线方程中几何 量及参数间的数量特征
(
很少
)
；
3
、立意于能 力，渗透数学思想：如
2012
年理第
21
题（文科第
22
题）
，以
抛物线和圆为背景，
将两者的概念、
性质与应用导数求曲线切线等知 识融为一体，
有很强的综合性
.
一些虽是常见的基本题型，但如果借助于数形结合的思 想，就
能快速准确的得到答案
.
4
、题型、内容及位置稳定
.在课改区，试题更不好做
.
对某个知识的考查都有
一些变化更有新的花样
.
近几年来课改区试卷的解析几何试题的难度有所提高，
但也不算太大，选择题、填空题大多属 易中等题，圆一般不单独考查，总是与直
线、圆锥曲线相结合的综合型考题
.
高考试题 一般不给出图形（选择题、填空题
从没有，
解答题也只有
2012
年江苏卷给 了图）
，以考查学生的想象能力、
分析问
题的能力，
从而体现解析几何的基本 思想和方法，
解答题加大与相关知识的联系
（如向量、函数与导数、方程、不等式等）
，难度比全国大纲卷对应位置的稍大，
所设问题并不很直接，有的具备探索性
.
特别是 近
3
年的解答题都与椭圆有关，
计算量减少，
但思考量增大，对于用代数方法 研究有关直线与椭圆、
抛物线位置
关系问题，体现在解法上，
不仅仅只是利用根与系数 关系研究，
而是在方法的选
择上更加灵活，
如联立方程求交点或向量的运算等，
思维层次的要求并没有降低
.
若再按以前的解题方法解题显然难以成功
.
3.
解析几何部分的命题特点
围绕着高质量的解析几何部分的命 题特点，本文通过《新课程标准数学科考
试大纲》与《数学科考试说明》的详细解读，结合陕西、北京、 广东、江苏四省
三年理科选择题、
填空题、解答题中知识点对解析几何试题的量化分析，
得出了
如下结论
.
3.1
解析几何部分的命题特点
7
3.1.1
解析几何部分选择题、填空题的命题特点
在各地的高考试题中大多数选择、填空题考察的知识点比较简单直观，若是
牢记书本知识，结合相关 公式基本就能直接得出答案
6
.
纵观近两年的全国各地
高考，有关解析几何试卷的选择、填空题基本上继承和发扬题型、内容、难度相
对稳定，突出考查数学主 干知识，注重通性、通法和适度创新的特点
.
有关此方
面的命题日趋成熟，
多 数题目源于教材又高于教材，
在这两部分题型中多考察直
线方程，圆的标准方程，直线与圆的位 置关系，弦长，圆锥曲线标准方程，渐近
线，离心率等基本量的计算
3.1.2
解析几何部分解答题的命题特点
探究性问题是高考根据测试能力的要求，
常 出现的一类高考综合试题题型
7
.
因为存在性问题体现理性思维 的特征，
所以在解析几何综合题中更多的是以探索
存在与否的问题体现出来
.
存在性问题的表现形式一般有：肯定型、否定型和讨
论型
.
解决存在性的探索型问题， 较少存在现成的思路和常规程序，需要较多的
分析和数学思想方法的综合运用，对观察、联想、类比、猜 测、抽象、概括各方
面的能力有较高的要求
8
.
而且解 答题一般设置成
2 -3
问
,
第一问一般为求标准方
程
（如
2012
年江苏卷）、
圆锥曲线的离心率或标准方程
;
第二问主要考查直线与
圆锥曲线的位置关系这一热点内容
,
通常设问的内容 有：
弦长公式，
参数取值范
围范围，
最值问题，
定值定点问题，存在性问题，
直线与圆锥曲线的位置关系等，
综合性强，
对计算能力要求特别高，
同时对分析能力及平面几何知识有较高要求，
并且易与向量，数列，导数等形成交汇，整体难度 大，也有少数省区作为压轴题
出现
.
3.2
解析几何部分的命题的研究
3.2.1
文理科关于解析几何部分的命题应注重区别
在解析几何试题所涉及的知识点个数，选 择题、填空题文理可以保持一致，
解答题理工类比文史类可以多
1-2
个知识点，由于探究性问题能够全面考查学生
对数学知识的掌握程度，
能够深入考查学生各种数学能力
9
，
所以文理高考试题
命题时应注重文理之间的差异< br>.
建议在给出这部分命题时，结合平面解析几何内
容的特点（如圆锥曲线的定义、方程、 以及与之相关的简单而重要的性质，圆的
8
方程及直线与圆、圆与圆位 置关系的讨论等）
，
注重对文理学生不同的综合分析
和解决问题的能力进行命题的制造 ，
同时无论文理解析几何部分的命题也不可忽
视解题的对计算量及其精确度的要求
.
3.2.2
解析几何部分的命题在题型方面应有所侧重
客观题主要考查圆 锥曲线的标准方程、几何性质等，解答题要以圆锥曲线为
载体的有一定难度的综合题，
问题可以 涉及其他模块的知识，
并蕴含着函数与方
程的思想、化归与转化的思想、分类与讨论的思想、数 形结合的思想
.
解答题要
注意控制运算量，增加思维量，让学生在思想上有一个更深层 次的锻炼
.
4
、典型解析几何试题解答方法总结
4.1
利用韦达定理解题的类型试题
与圆、直线不同
,
椭 圆、双曲线、抛物线在几何上用来求待定系数的条件较
少
.
因此
,
一 般通过直线与曲线的交点坐标，从而利用韦达定理寻求解题途径
,
应
用此法不仅可以求 得二次曲线方程，还可以用此模式解答更多此类问题
.
设直线
l
：
F
x
,
y
0
与曲线
(
椭圆、
双曲线或抛物线
)
G
x
,< br>y
0
交于
A
x
1
,
y
1
,
B
x
2
,
y
2
两点，联立
F
x
,
y
0
和
G
x
,
y
0
可得到以
x
1
，
x
2
为两根的
一元二次方程
ax
2
bx
c
0,
因此从数出发可得到
x
1
x
2
和
x
1
x
2
,
用
x
1
x
2
和
x
1
x
2
可以构造出弦长大 小或斜率关系
,
求曲线方程以及一些相关问题
,
基本上
都可以应用这个模式
.
x
2
y
2
例
（
2011
年山东
22
）
已知直线
l
与 椭圆
C:
1
交于
P
x
y
1
.Q
x
1
y
3
2
两不同点，且△
OPQ
的面积
S
6
,
其中
Q
为坐标原点
.
2
2
2
（Ⅰ）证明
x
1
2
x
2
和
y
1
2
y
2
均为定值
（Ⅱ）设线段PQ
的中点为
M
，求
OM
PQ
的最大值；< br>
解
：
（Ⅰ）
（
1
）当直线
l
的斜 率不存在时，
P
，
Q
两点关于
x
轴对称，
所以
x
1
x
2
y
2
y
1
9