高中数学讲义 均值不等式
巡山小妖精
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2021年01月28日 03:38
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微专题
45
利用均值不等式求最值
一、基础知识：
1
、高中阶段涉及的几个平均数：设
a
i
0
i
1
,2,
L
,
n
（
1
）调和平均数：
H
n
n
1
1
1
L
a1
a
2
a
n
n
（
2）几何平均数：
G
n
（
3
）代数平均数：
A
n
a
1
a
2
L
a
n
a
1
a
2
L
a
n
n
2
2
a
1
2
a
2
L
a
n
（
4
） 平方平均数：
Q
n
n
2
、均值不等式：
H
n
G
n
A
n
Q
n
，等号成立的条件均为：
a
1
a
2
L
a
n
特别的，当
n
2
时，
G
2
A
2
3
、基本不 等式的几个变形：
（
1
）
a
b
2
ab
a
,
b
0
：多 用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情
况
ab
a
b
即基本不等式
2
a
b
（
2
）
ab
：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况
< br>2
（
3
）
a
b
2< br>ab
，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，
要
注 意此不等式的适用范围
a
,
b
R
4
、利用均值不等式求最值遵循的原则：
“一正二定三等”
（1
）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（
2
）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当< br>x
0,
求
2
2
2
y
x
2
3
3
2
的最小值。
此时若直接使用均值不等式 ，
则
y
x
2
4
x
，
右侧依然含有
x
，
x
x
4
3
为了乘积消 掉
x
，则要将
拆为两个
x
x
则无法找到最值。
①
求和的式子→乘积为定值。例如：
上式中
y
x
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
3
，则
y
x
x
3
3
x
3
4
x
x
x
x
x
x
②
乘积的式子→和为定值，例如
0
x
3
，求
f
x
x
3
2
x
的最大值。则考虑变积为
2
2
11
2
x
3
2
x
9
和后保证
x
能够消掉，
所以
f
x
x
3
2
x
2
x
3
2
x
（
3
）
2
2
2
8
等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
①
若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同 时成立
（彼此不冲突）
②
若涉及的变量有初始范围要求，则使用 均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证
是否符合初始范围。
5
、常见求最值的题目类型
（
1
）构造乘积与和为定值的情况，如上面所举的两个例子
（2
）已知
ax
by
1
（
a
为常数）
，求
m
n
的最值，
x
y< br>此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰
好相反 ，位于分母（或分子）上，则可利用常数“
1
”将已知与所求进行相乘，从而得到常数
项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。
例如：已知
x
0,
y
0,2
x
3
y
1< br>，求
3
2
的最小值
x
y
解：< br>3
2
3
2
9
y
4
x< br>
2
x
3< br>y
6
6
x< br>y
x
y
x
y
9
y
4< br>x
9
y
4
x
12
2
24
x
y
x
y
12
（
3
）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解 不等式求解：
例如：已知
x
0,
y
0,2
x
y
xy
4
，求
2
x
y
的最小值
1
解：
xy
2
x
y
2
2
x
y
1
2
x
y
2
2
8
2
2
所以
2
x
y
xy
4
2
x
y
2
2
x
y
8
2
4
即
2
x
y
8
2
x
y
32
0
，可解得
2
x
y
4
3
4
，即
2
x
y
min< br>
4
3
4
注：
此类问题还可 以通过消元求解：
2
x
y
xy
4< br>
y
4
2
x
，
在代入到所求表 达式求
x
1
出最值即可，但要注意
y
0
的范围由
x
承担，所以
x
0,2
二、典型例题：
(
x
5)(
x
2)
的最小值为
_______________
x
1(
x
5)(
x
2)
4
思路：考虑 将分式进行分离常数，
y
x
1
5
，使用均值不等式可
x
1
x
1例
1
：设
x
1
，求函数
y
得：
y
2
答案：
9
例
2
：已知
x
0,
y
0
，且< br>x
y
x
1
< br>4
4
5
9
，等号成立条件为
x
1
x
1
，所以最小值为
9
x
1
x
1
1
1
5
，则
x
y
的最大值是
________
x
y
思路：
本题观察到所求
x
y
与1
1
的联系，
从而想到调和平均数与算术平均数的关系，
即< br>x
y
2
1
1
x
y
x< br>
y
1
1
4
，代入方程中可 得：
2
x
y
x
y
x
y
4
答案：
4
4
2
5
x
y
5
x
y
4
0
，解得：< br>1
x
y
4
，所以最大值为
x
y
m
2
n
2
例
3
：已知实数
m
,
n
，若
m
0 ,
n
0
，且
m
n
1
，则
的最小值为（
）
m
2
n
1
A.
1
4
1
1
B.
C.
D.
4
15
8
3
思路： 本题可以直接代入消元解决，但运算较繁琐。考虑对所求表达式先变形再求值，可用
m
2
n
2
4
1
m
2
n
1
分离常数法将分式进行简化。
，结合分母可将 条
m
2
n
1
m
2
n
1
件
m
n
1
，变形为< br>
m
2
n
1< br>
4
，进而利用均值不等式求出最值
m
2
n
2
m
2
4
4
n
2
1
1
4
1
m
2
n
1
解：
m
2
n
1
m
2n
1
m
2
n
1
m
n
3
41
4
1
2
m
2
n
1
m
2
n
1
m
n
1
m
2
n
1
4
4
n
1
m
2
4
1
1
1
1
4
m
2
n
1
4
1
4
m
2
n
1
m
2
n
1
4
m
2n
1
4
n
1
m
2
9
1
5
2
4
m
2
n
1
4
m2
n
2
9
1
m
2
n
2
1
2
，即
的最小值为
m
2
n
1
4
4
m
2
n
1
4
答案：
A
例
4
：已知正实数
x
,
y
满足
xy
2x
y
4
，则
x
y
的最 小值为
__________
思路：本题所求表达式
x
y
刚好在条件中有所体现，所以考虑将
x
y
视为一个整体，将等
式 中的项往
x
y
的形式进行构造，
xy
2
x
y
xy
x
x
y
x
y
1
x
y
，而
x
y< br>
1
可以利用均值不等式化积为和，从而将方程变形为关于
x
y
的不等式，解不等式即
可
解：
xy
2
x
y
4
xy
x< br>
x
y
4
x< br>
y
1
x
y< br>
4
x
y
< br>
1
x
y
< br>1
Q
x
y
1
< br>
方程变形为：
< br>x
y
4
2
2
< br>
2
2
x< br>
y
1
4
< br>x
y
16
2
x
y
6
x
y
15
0
解得：
x
y
答案：
x
y
的最小值为< br>2
6
3
例
5
：已知
2
a
b
0
，则
a
2
6
96
2
6
3
2
4
的最小值为
______________
b
(2< br>a
b
)
思路一：所求表达式为和式，故考虑构造乘积为定值以便于利 用均值不等式，分母为
1
1
b
2
a
b
，所以可将
a
构造为
2
a
2
a
b
b
，从而三项使用均值不等式即可求
2
2
出最小值：< br>
a
1
4
1
8< br>8
3
(2
a
b
)
b
(2
a
b
)
b
3
3
b
(2
a
b
)
2
b
(2
a
b
)
2
b
(2
a
b
)< br>思
路
二
：
观
察
到
表
达
式< br>中
分
式
的
分
母
b
2
a< br>
b
，
可
想
到
作
和
可< br>以
消
去
b
，
可
得
b
< br>
2
a
b
4
4
4< br>2
a
a
，
从而
，
设
，
可从函
b
2
a
b
a
f
a
a
2
2
b
(2
a
b
)a
a
2
数
角
度
求
得最
小
值
（
利
用
导
数
），
也< br>可
继
续
构
造
成
乘
积
为
定< br>值
：
f
a
答案：
3
a
a
4
a
a
4
2
3
3
2
3
2
2
a
2
2
a
小炼有话说：
（
1
）和式中含有分式， 则在使用均值不等式时要关注分式分母的特点，并在变
形的过程中倾向于各项乘积时能消去变量，从而利 用均值不等式求解
（
2
）思路二体现了均值不等式的一个作用，即消元
（
3
）在思路二中连续使用两次均值不等式，若能取得最值，则需要两次等号成立的条件不冲
突。所 以多次使用均值不等式时要注意对等号成立条件的检验
例
6
：
设二 次函数
f
x
ax
2
4< br>x
c
x
R
的值域为
0,
，
则
__________
思路 ：由二次函数的值域可判定
a
0
，且
0
ac
4
，从而利用定值化简所求表达式：
1
9的最大值为
c
1
a
9
1
9
a
9
c
18
a
9c
18
5
，则只需确定
a
9
c< br>的范围
1
c
1
a
9
ac
a
9
c
9
a
9
c
13
a
< br>9
c
13
1
9
即可求出
的最值。由均值不 等式可得：
a
9
c
12
，进而解出最值
c
1
a
9
解：
Q二次函数
f
x
ax
4
x
c
x
R
的值域为
0,
2
16
4
ac
0
ac
4
a
0
a
9
9
c
1
1
9
a
9
c
18
a
9
c
18
5
1
c
1
a
9
c
1
a
9
ac
a
9< br>c
9
a
9
c
13
a
9
c
13
Q
a
9
c
2
9
ac
12
1
9
5
6
1
c
1
a
9
12
13
5
6
答案：
5
例
7
：已 知
x
,
y
,
z
R
，则
xy
yz
的最大值是
________
2
2
2
x
y
z
思路：本题变量个数较 多且不易消元，考虑利用均值不等式进行化简，要求得最值则需要分
子与分母能够将变量消掉，观察分子 为
xy
,
yz
均含
y
，故考虑将分母中的
y
拆分与
x
,
z
搭
配，即
2
2
2
xy
yz
xy
yz
， 而
2
2
2
1
1
x
y
z
2
2
2
2
x
y
y
z
2
2
x
2
1
2
1
1
1
y
2
x
2
y
2
2
xy
,
z
2
y
2
2
z
2
y
2
2
yz
，所以
2
2
2
2
xy
yz
2
2
2
xy
2
yz
2
2
2
答案：
小炼有话说：本题在拆分
y
时还有一个细节，因为分子
xy
,
yz
的系数相同，所以要想分子分
母消去变量，
则分 母中
xy
,
yz
也要相同，
从而在拆分
y
的时候要 平均地进行拆分
（因为
x
,
z
系数也相同）
。所以利用均值 不等式消元要善于调整系数，使之达到消去变量的目的。
例
8
：
已
知
正
实
数
x
,
y
满
足
x
y
3
xy
，
若
对
任
意
满
足
条
件
的
x
,
y
，
都
有
2
2
2
(
x
y
)
2
a
(
x
y
)
1
0
恒成立，则实数
a
的取值范围为
________
思
路
：
首
先
对
恒
成
立
不
等
式
可
进
行
参
变
分
离
，
a
x
y
1
。
进
而
只
需
求
得
x
y
x
y
1
的最小值。将
x
y
视为一个整体，将
x
y
3
xy
中的
xy
利用均值不等式
x
y
换成
x
y
，然后解出
x
y
的范围再求最小值即可
解：
(
x
y
)
a
(
x
y
)
1
0
a
x
y
2
1
x
y
x
y
Q
x
,
y
0
xy
2
2