误差理论及数据处理第二章 误差的基本性质与处理
玛丽莲梦兔
631次浏览
2021年01月28日 03:43
最佳经验
本文由作者推荐
放射科岗位职责-爱情诗词歌赋
第二章
误差的基本性质与处理
2-1
．试述标准差
、平均误差和或然误差的几何意义。
答：从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从
N
维空间的一个点到一条直线的距离
的函数；
从几何学的角度出发，平均误差可以理解为
N
条线段的平均长度；
2-2
．
试述单次测量的标准差
和算术平均值的标准差
，
两者物理意义及实际用途有何不同。
【解】单次测量的标准差
表征同一被测量
n
次测量的测量值分散性的参数，可作为测量列
中单次测量不 可靠性的评定标准。
1
2
2< br>2
n
n
2
算术平均值的标 准差
是表征同一被测量各个独立列算术平均值分散性的参数，可作
x为算术平均值不可靠性的评定标准
x
n
在
n
次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的
次数
n
愈大时
,
算术平均值愈接近被测量的真值，测量精度也愈高。
2-3
试分析求服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在中的概率
【解】
（
1
）误差服从正态分布时
1
，当测量
n
P
(
2
)
1
2
2
2
e
2
(2
2
)
d
2
2
2
0
e
2
(2
2
)
d
引入新变量
t:
t
,
t
,
经变换上式成为：
2
P
(< br>
2
)
2
e< br>0
t
t
2
2
dt
2
(
t
)
2
0.4195
0 .84
84%
（
2
）误差服从反正弦分布时
因反正弦分布的标准差为：
a
2
，所以区间
2
,
2
a
,
a
,
故
:
P
(
2
)
1
a
2
1
a
2
a
d
1
（
3
）
误差服从均匀分布时
因其标准差为：
a< br>
2
2
a
,
a
< br>，故
，所以区间
2
,
< br>2
3
3
3< br>
P
(
2
)
1< br>
2
a
3
2
a
3
< br>1
1
2
d
2
a< br>
0.82
82%
2
a
2
a
3
2-4
．测量某物体重量共
8
次，测的数据
(
单位为
g)
为
236.45，
236.37
，
236.51
，
236.34
，236.39
，
236.48
，
236.47
，
236 .40
，是求算术平均值以及标准差。
x
236.4
236.43
0.05
(
0.03)
0.11
(
0.06)
(
< br>0.01)
0.08
0.07
0
< br>8
v
i
1
n
2< br>i
n
1
0.0599
x
n
0.0212
2-5
用別捷尔斯法、极差法和最大误差法计算
2-4
，并比较
2-6
测量某电路电流共
5
次，
测得数据
（单位 为
mA
）为
168.41
，
168.54
，
168 .59
，
168.40
，
168.50
。试求算术平均值及其标准差 、或然误差和平均误差。
x
168.41
168.5 4
168.59
168.40
168.50
5
168.488(
mA
)
5
v
i
1
2
i
5
1
0
.
082(
mA
)
x
n
< br>0.082
0.037(
mA
)
5
或然 误差：
R
0.6745
x
0.6745
0.037
0.025(
mA
)
平均误 差：
T
0.7979
x
0.7979
0.037
0.030(
mA
)
2-7< br>在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量
5
次，测得数据（单位为
mm
）为
20.0015
，
20.0016
，
20.0018
，
20.0015
，
20.0011
。若测量值服从正态分布，试以
99%
的置信概率确定
测量结果。
x
20.0015
< br>20.0016
20.0018
20.0015
20.0011
5
20.0015(
mm
)
v
i
1
5
2
i
5
1
0.00025
正态分布
p=99%
时，
t
2.58
lim
x
t
x
2.58
0.00025
5
0.0003(
mm
)
测量结果：
X
x
lim
x
(20.0015
0.0003)
mm
2
—
7
在立式 测长仪上测量某校对量具，重复测量
5
次，测得数据
(
单位为
mm)
为
20
．
0015
，
20.0016
，
2 0.0018
，
20.0015
，
20.0011
。若测量值服从正 态分布，试以
99
％的置信概率确
定测量结果。
解：
n
求算术平均值
l
i
x
i
1
20
.
0015
mm
n
n
求单次测量的标准差
v
i
2
26
10
8
i
1
2
.
55
10
4
mm
n
1
4
求算术平均值的标准差
2
.
55
10
4
x
＝
1
.
14
10< br>
4
mm
n
5
确定测量的极限误差
因
n
＝
5
较小，算术平均值的极限误差应按
t
分布处理。
现自由度为：
ν
＝
n
－
1
＝
4
；
α
＝
1
－
0.99
＝
0.01
，
查
t
分布表有：
ta
＝
4.60
极限误差为
lim
x
< br>
t
x
4
.
60
1
.
14
10
4
5
.
24
10
4
mm
写出最后测量结果
L
x
lim< br>x
20
.
0015
5
.
24< br>
10
4
mm
2-8
对某工件进行5
次测量，在排除系统误差的条件下，求得标准差
σ
=0.005mm
， 若要求测
量结果的置信概率为
95%
，试求其置信限。
【解】因 测量次数
n=5
，次数比较少，按
t
分布求置信限（极限误差）
。< br>
已知：
P=95%
，故
显著度
α
=1
－< br>P
＝
0.05
；而自由度
ν
＝
n
－
1
＝
5
－
1
＝
4
。
根据显著度
α
=0.05
和自由度
ν
查
附录表
3
的
t
分度表，得置信系数
ta=2.78
。
所以算术平均值的置信限为：
2-9
用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差
0
.
004
mm
，若要求
测量结果的置信限为
0< br>.
005
mm
，当置信概率为
99%
时，试求必要的测量次数 。
正态分布
p=99%
时，
t
2.58
lim
x
t
n
n
2.58
0.004
2.064
0.005
n
4.26
取
n
5
2
－10
用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差
σ
＝
0.001mm
，若要求测量的允许极限
误差为±
0.0015mm
，而置信概率
P
为
0.95
时，应测量多少次？
解：根据极限误差的意义，有
t
x
t
根据题目给定得已知条件，有
n
0
.
0015
t
n
0
.
0015
1
.
5
0
.
001
查教材附录表
3
有
若
n
＝
5
，
v
＝
4
，
α
＝
0.05
，有
t
＝
2.78
，
t
n< br>
2
.
78
5
2
.
78
1
.
24
2
.
236
若
n< br>＝
4
，
v
＝
3
，
α
＝
0. 05
，有
t
＝
3.18
，
t
n
3
.
18
4
3
.
18
1
.
59
2
即要达题意要求，必须至少测量
5
次。
2-11
已知某仪器测量的标准差为
0.5
μ
m
。①若在 该仪器上，对某一轴径测量一次，测得值
为
26.2025mm
，
试写出测量 结果。
②若重复测量
10
次，
测得值
（单位为
mm
）
为
26.2025
，
26.2028
，
2 6.2028
，
20.2025
，
26.2026
，
26. 2022
，
20.2023
，
26.2025
，
26.20 26
，
26.2022
，
试写出测量结果。
③若手头无该仪器测量的 标准差值的资料，
试由②中
10
次重复测量的测
量值，写出上述①、②的测量结果。
2-12
某时某地由气压表得到的读数（单位为
Pa
）为
10252 3.85
，
102391.30
，
102257.97
，
1 02124.65
，
101991.33
，
101858.01
，< br>101724.69
，
101591.36
，其权各为
1
，< br>3
，
5
，
7
，
8
，
6
，< br>4
，
2
，试求加权算术平均值及其标准差。
x< br>
p
x
i
1
8
8
i< br>i
102028
.
34
(
Pa
)
p
i
1
i
x
p
i
v
xi
i
1
8
i
1
8
2
86
.
95< br>(
Pa
)
(
8
1
)
p
i
2-13
测量某 角度共两次，测得值为
1
24
1
3
3
6
，
2
24
13
'
24
'< br>'
，其标准差分别为
1
3
.
1
,
2
13
.
8
，试求加权算术平均值及其标准差。
p
1
:
p
2
1
1
2
2
2
:
1
19044< br>:
961
x
24
13
'
20
'
'
< br>
x
x
19044
16
'< br>'
961
4
'
'
24
13
'
35
'
'
19044
961
p
i
i
p
i
1
2
3
.
1
'
'
i
19044< br>
3
.
0
'
'
19044
961
2-14
甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体 的锥角
各重复测量
5
次，测得值如下：
甲< br>:
7
2
2
0
,< br>7
3
0
,
7
< br>2
3
5
,
7
2< br>
2
0
,
7
2
< br>1
5
;
乙
:
7< br>
2
2
5
,
7
< br>2
2
5
,
7
2< br>
2
0
,
7
2
< br>5
0
,
7
2
4< br>5
;
试求其测量结果。
甲：
x
甲
7
2'
20
60
35
20
15
7
2'30
5
甲
v
i< br>
1
5
2
2
2
2
2
（
-1 0
）
（
30
）
5
2
（
-10
）
（
-15
）
5
1
4
i
18.4
x
甲
甲
5
18.4
8.23
5
25
25
20
50
4 5
7
2'33
5
乙：
x
乙
7
2'
乙
v
i
1
5
2
2
2
2
2
2
（
-8
）
（
-8
）
（
13
）
（
17
）
（
12
）
5
1
4
i
13.5
x
乙
乙
5
13.5
6.04
5
p
甲
:
p
乙
1
x
甲
2
x
:
1
2
乙
1
1
:
3648:
6773
8.23
2
6.04
2
x
< br>p
甲
x
甲
p
乙
x
乙
36 48
30
6773
33
7
2'
7
2'32
p
甲
p
乙
3648
6773
p
甲
p
甲
p
乙
8
.
2
3
3648
4
.
8
7
3648
6773
x
x
甲
X
x
3
x
7
2
'
32
'
'
15
'
'
2-15
．试证明
n
个相等精度测得值的平均值的权为
n乘以任一个测量值的权。
证明：
解：因为
n
个测量值属于等精度测量，因此具有相同的标准偏差：
n
个测量值算术平均值的标准偏差为：
x
n
已知权与方差成反比，设 单次测量的权为
P1
，算术平均值的权为
P2
，则
P
1
:
P
2
1
2
2
x
:
1
1
:
n
P
2
nP
1
m
/
s
2
、标准差为
0
.
014
m
/
s
2
。另
2-16
重力加速度的
20
次测量具有平均值为
9
.
811
外
30
次测量具有平均值为
9
.
802
m
/
s
2
，
标准差为
0
.
022
m
/
s
2
。假设这两组测量属
于同一正态总体。试求 此
50
次测量的平均值和标准差。
p
1
:
p
2
1
2
x
1
2
:
1
2
2
x
2
1
0
.
014
20
2
:
1
0
.022
30
2
242
:
147
x
24
2
9.811
147
9.802
9.808
(
m
/
s
2
)
242
147< br>
x
0
.
014
242
0.0025
（
m/s
2
）
242
147
20
2-17
对某量进行
10
次测量，测得数据为
14.7
，
15.0
，
15.2
，
14.8
，15.5
，
14.6
，
14.9
，
14.8
，
15.1
，
15.0
，试判断该测量列中是否存在系统误差。
x
14
.
96
按贝塞尔公式
1
0
.
2633
按别捷尔斯法
2
1
.
253
v
i
1
10
i
10
(
10
1)
0.2642