古典概型与几何概型 练习题
余年寄山水
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2021年01月28日 03:48
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古典概型与几何概型
1
．(2019·长沙长郡中学选拔性考试
)
长郡中学要从师生推荐的参加讲课比赛的
3
名男教师和
2
名女教师中 ，
任选
2
人参加讲课比赛，则选取的
2
人恰为一男一女的概率
为
(
)
2
A.
5
1
C.
3
3
B.
5
2
D.
3
解析：选
B
从
3
名男教师和
2
名女教师中任选
2
人参加讲课比赛，基本事件总数为
10
，
选取的
2
人恰为一男一女包含的基本事件个数为
6
，
故选取的
2
人恰为一男一女
的概率为
P
＝< br>＝
m
6
3
＝
.
故选
B.
n
10
5
2
．(2019·贵阳模拟
)
某市国际马拉松邀请赛设置了 全程马拉松、半程马拉松和迷
你马拉松三个比赛项目，
4
位长跑爱好者各自任选一个项 目参加比赛，则这三个项目都
有人参加的概率为
(
)
8
A.
9
2
C.
9
4
B.
9
D.
8
27
解析：
选
B
基本事件总数
n
＝
3< br>4
＝
81
，
这三个项目都有人参加所包含的基本事件个
3数
m
＝
C
2
4
A
3
＝
36< br>，故这三个项目都有人参加的概率为
P
＝
＝
m
36
4
＝
.
n
81
9
3
．(2019·广东五校联考< br>)
从
1
～
9
这
9
个自然数中任取
7
个不同的数，
则这
7
个数
的平均数是
5
的概率为< br>(
)
2
A.
3
1
C.
9
1
B.
3
1
D.
8
7
解析：选
C
从
1
～
9
这
9
个自然数中任取
7
个不同的数 的取法共有
C
9
＝
36
种，从
(1,9)
，
(2,8)
，
(3,7)
，
(4,6)
中任选
3
组，有
C
3
4
＝
4
种选法，故这
7
个数的 平均数是
5
4
1
的概率为
＝
，选
C.
3 6
9
4
．(2019·成都外国语学校月考
)
《九章算术》中有如下 问题：今有勾八步，股一
十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为
8
步和
15
步，
问其内切圆的直径为多少步．
现若向此三角 形内随机投一粒豆子，
则豆子落在其
1
内切圆外的概率是
(
)
A.
3π
10
B.
3π
20
3π
C
．
1
－
10
3π
D
．
1
－
20
解析：选
D
直角三角形的斜边长为
8
2
＋< br>15
2
＝
17
，
设内切圆的半径为
r，则
8
－
r
＋
15
－
r
＝
1 7
，解得
r
＝
3.
∴内切圆的面积为
π
r
2
＝9π，
9π
3π
∴豆子落在内切圆外的概率
P
＝
1
－
＝
1－
.
1
20
×8×15
2
5
．(2019· 长春质检
)
如图，
扇形
AOB
的圆心角为
120°，
点
P
1
在弦
AB
上，
且
AP
＝
AB
，
延长
OP
交弧
AB
于点
C
，
现向扇形
AOB
内
3
投一点，则该点落在扇形
AOC
内的 概率为
(
)
1
A.
4
2
C.
7
1
B.
3
3
D.
8
解析：选
A
设
O A
＝
3
，则
AB
＝
3
3
，
AP< br>＝
3
，由余弦定理可求得
OP
＝
3
，则∠
3 π
4
3π
AOP
＝30°，
所以扇形
AOC
的面积 为
，
又扇形
AOB
的面积为
3π，
从而所求概率为
4
3π
1
＝
.
4
6
．在如图所示的圆形图案中有
12
片树叶，构成树叶的圆弧均相
π
同且所对的圆心角为
，若在圆内 随机取一点，则此点取自树叶
(
即图
3
中阴影部分
)
的概率 是
(
)
3
3
A
．
2
－
π
1
3
C
．
4
－
3
2π
6
3
B
．
4
－
π
2
D
．
4
3
解析：选
B < br>设圆的半径为
r
，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的
1
3
2
2
2
面积
S
＝24×
π
r
2
－
r
2
＝4π
r
－
6
3
r
，
圆的面积
S
′＝π
r
，
所以此点取自树叶
(
即
4
6
2
图中阴影部分
)
的概率为
S
6
3
＝< br>4
－
，故选
B.
S
′
π
1
7．已知函数
f
(
x
)
＝
x
3
＋
ax
2
＋
b
2
x
＋
1
，若
a< br>是从
1,2,3
三个数中任取的一个数，
b
3
是从
0 ,1,2
三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为
(
)
7
A.
9
5
C.
9
2
2
1
B.
3
2
D.
3
2
解析：选
D
f
′(
x
)
＝
x
＋
2
ax
＋
b
，要使函数
f
(
x
)
有两个极值点，则有
Δ< br>＝
(2
a
)
－
4
b
2
＞
0
，
即
a
2
＞
b
2
.
由题意知所有 的基本事件有
9
个，
即
(1,0)
，
(1,1)
，
(1,2)
，
(2,0)
，
(2,1)
，
(2,2 )
，
(3,0)
，
(3,1)
，
(3,2)
，其中 第一个数表示
a
的取值，第二个数表示
b
的取值．
满足
a< br>2
＞
b
2
的有
6
个基本事件，
即
( 1,0)
，
(2,0)
，
(2,1)
，
(3,0)
，
(3,1)
，
(3,2)
，
6
2
所以所求事件的 概率为
＝
.
9
3
8
．
(2019·安阳模拟)
在边长为
a
的正三角形内任取一点
P
，
则点
P
到三个顶点的距
离均大于
的概率是
(
)
2
A
．
11
3
－
π
12
6
B
．
1
－
1
D
．
4
3
π
6
a
1
C
．
3
解析：选
B
如图，正△
ABC
的边长为
a
，分别以它的三个顶
点为圆心 ，
为半径，在△
ABC
内部画圆弧，得到三个扇形，则点
P
2
3
2
1
a
a
－
×π×
< br>
2
4
2
2
3
2
a< br>4
a
在这三个扇形外，因此所求概率为
＝
1
－
3π，
6
故选
B.
9
．(2019·石家庄毕业班摸底
)
一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为
x
，
y
，
z
，当且仅当
y
＞
x
，
y
＞
z
时 ，称这样的数为“凸数”(如
243)
，现从集合
{1,2,3,4}
中取出 三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为
(
)
2
A.
3
1
B.
3
3