社会公德调查报告-爱国诗歌朗诵大全

2021年1月28日发(作者：协调工作)
1
平均值不等式及其证明


平均值不等式是最基本的重要不等式之 一，在不等式理论研究和证明
中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了< br>部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，
其本身又具有重要的意义 ，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章
节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分 析综合方法等，
这些也是证明不等式的常用方法和技巧。

1.1

平均值不等式



一般地，假设
a
1
,
a
2
,...,
a
n
为
n
个非负实数，它 们的算术平均值记为





A
n
< br>a
1

a
2

...

a
n
n
1
,

几何平均值记为







G
n

(
a
1
a
2
...
a
n
)
n

a
1

a
2

...

a
n
n< br>n
a
1
a
2
...
a
n
。

算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。




< br>n
a
1
a
2
...
a
n
，

即














A
n

G
n
，

当且仅当
a1

a
2

...

a
n
时 ，等号成立。



上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。

平均值不等式的表达形式简单 ，容易记住，但它的证明和应用非常灵
活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选 择了其
中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。

1.2

平均值不等式的证明

证法一（归纳法）

（
1
）

当
n

2
时，已知结论成立。

（
2
）

假
设
对
n

k
（
正
整
数
k

2
）
时
命
题
成
立
，
即
对

a
i

0,
i

1,
2,...,
k
,
有

a
1

a
2

...

a< br>k
k
1

(
a
1
a
2
.. .
a
n
)
k
。

那么，当
n

k

1
时，由于



A
k

1

a
1

a
2

...

a
k

1
k

1
，
G
k

1

k

1
a
1
a
2
...
a
k
a
k< br>
1
，

关于
a
1
,
a
2
,...,
a
k

1
是对称的，任意对调
a
i
与
a
j
(
i

j
)
，
A
k

1
和
G
k

1
的值不改变，
因此不妨设
a
1

min

a
1
,
a
2
,...,
a
k

1

，
a
k

1

max

a1
,
a
2
,...,
a
k

1


显然
a
1

A
k

1
a
k

1
，以及
(
a
1

A
k

1
)(
a
k

1

A
k

1
)

0
可得

















A
k

1
(
a
1

a
k

1

A
k

)
1

a
a
k
1

.
所以

A
k

1











k A
k

1
k

(
k

1)
A
k

1

A
k

1
k
(
a

1
k
a

k

1


k
a
1

a
2

...< br>
a
k

1

A
k

1< br>k
A
1

A
1

)
a
2< br>
.
.

.
a
k

)
< br>k
a
2
.
.
.
a
k
(
a< br>
1
a

k

1

k
k< br>即
A
k

1

a
2
...
a
k
(
a
1

a
k

1

A
k

1
)

两边乘以
A
k

1
，得

A
k< br>
1

a
2
...
a
k
A
k

1
(
a
1

a
k

1

A
k

1
)

a
2
...
a
k
(
a
1
a
k

1)

G
k

1
。

k
1
k

1
从而，有
A
k

1

G
k

1








证法二（归纳法）

（
1
）

当
n

2
时，已知结论成立。

（
2
）

假
设
对
n

k
（
正
整
数
k

2
）
时
命
题
成
立
，
即
对

a
i

0,
i

1,
2,...,
k
,
有

a
1

a
2

...

a< br>k

k
k
a
1
a
2
...
a
k
。

那么，当
n

k

1
时，由于





a
1

a
2

. ..

a
k

a
k

1

a
1

a
2

...

a
k< br>
(
a
k

1

G
k
< br>1

...

G
k

1
)

(
k

1)
G
k

1


k
k
a
k

1
1
a
2
...
a
k

k
k
a
k

1< br>G
k

1

(
k

1)
G
k

1


2
k
k
a
k

1
1
a
2
...
a
k
k
a
k

1
G
k

1

(
k

1)
G
k

1


2k
2
k
G
k

1
k

1k

1
G
k

1

(
k
1)
G
k

1

(
k
< br>1)
G
k

1

从而，有
A
k
1

G
k

1

证法三（归纳法）

（
1
）

当
n

2
时，已知结论成立。

（
2
）

假
设
对
n

k
（
正
整
数
k

2
）
时
命
题
成
立
，
a
i

0,
i

1,
2,...,
k
,
有

a
1

a
2

...

a
k

k< br>k
a
1
a
2
...
a
k
。

那么，当
n

k

1
时，由于

a
1

a
2

...

a
k
a
k

1







证法四（归纳法和变换）









对

即

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