八年级下册数学《数据统计》方差 知识点整理
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2021年01月28日 03:49
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数据统计、方差
一、本节学习指导
这一节的 知识点很简单，
不像我们前面学习的几何那么多性质，
这一节的知识只要我们
理解了， 基本上不会有什么问题。但是算式中可能数据比较多比较大，所以还是细心为好。
二、知识要点
1
、
加权平均数：加权平均数的计算公式。
权的理解
:
反映了某个数据在整个数据中的重要程度。
学会权没有 直接给出数量，
而是以比的或百分比的形式出现及频数分布表求加权平均数的
方法。
2
、将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数， 则处于
中间位置的数就是这组数据的中位数
(median)
；
如果数据的个 数是偶数，
则中间两个数据
的平均数就是这组数据的中位数。
3
、一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数（
mode
）
。
4
、一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差
( range)
。
5
、方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。
数据的收集与整理的步骤：
（
1
）
.
收集数据
（
2
）
.
整理数据
（
3
）
.
描述数据
（
4
）
.
分析数据
(5).
撰写调查报告
(6).
交流
6.
平均数受极端值的影响众数不受极端值的影响，这是一个优势，中位数的计算 很少不受
极端值的影响。
宽和长的比是
5
-
1
（ 约为
0.618
）的矩形叫做黄金矩形。
2
三、经验之谈：
考得比较多 的是平均数和方差，
理解方差是表示一种事物的波动情况，
方差越大说明这
１
组数据也不稳定，
考试中会经常让我们判断，
那一个 班级的成绩跟稳定等等，
我们要想到用
方差来判断。
正方形、梯形
一、
本节学习指导
几何题，同学们在掌握了它们的性质过后多做练习吧，没什么诀窍！
二、知识要点
1
、正方形【重点】
（
1
）
、正方形定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
警示
：①
正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；
②
既是矩形又是菱形的四边形是正方形；
③
正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，还是特殊的菱形。
（
2
）
、正方形的性质：
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
①
边
--
四条边都相等，邻边垂直、对边平行；
②
角
--
四个角都是直角；
③
对角线
--
对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
④
对称性
--
是轴对称图形，有四条对称轴。
⑤
特殊性质
--
正方形的一条对角线把正方形分成两 个全等的等腰直角三角形，
对角
线与边的夹角是
45°
；
正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形
（
3
）
、正方形的判定：
判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条：
２
①
先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；
②
先证它是菱形，再证它有一个角是直角。
2
、梯形
（
1
）
、梯形的定义：
一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
（
2
）
、梯形的分类：一般梯形，
直角梯形，等腰梯形
①
直角梯形：有一个角是直角的梯形。
②
等腰梯形：两腰相等的梯形。
（
3
）
、等腰梯形的性质：
①
等腰梯形两腰相等，两底平行；
②
等腰梯形同一底边上的两个角相等；
③
等腰梯形的两条对角线相等。
④
等腰梯形是轴对称图形，它只有
1条对称轴，
过两底中点的直线是它的对称轴。
（
4
）
、等腰梯形的判定：
①
两腰相等的梯形是等腰梯形；
②
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
③
对角线相等的梯形是等腰梯形。
提示
：
等腰梯形的判定思路：
先证四边形为梯形
（即一组对边平行且不等或另一组对边
不平行）
，再证两腰相等或同一底上的两个角相等。< br>
３
①
“
平移腰
”
：过上底端点作一腰的平行线，构造一个平行四边形和一个三角形；
②
“
作高
”
：使两腰在两个直角三角形中；
③
“
平移对角线
”:
使两条对角线在同一个三角形中；
④
“
延长两腰
” :
构造具有公共角的两个三角形；
< br>⑤
“
等积变形
”:
连接梯形一腰的端点和另一腰中点，
并延长 与底的延长线交于一点，
构
成三角形。
综 上所述
：
解决梯形问题的基本思想和方法：
梯形问题
“
转换，
拼接
”
为三角形或平行四
边形问题，
４
这种思路常常通过平移或旋转来实现。
3
、重心
（
1
）
、
重心的定义：平面图形中，
几何图形的重心是当支撑或悬 挂时图形能在水平面处
于平衡状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，也叫做重心。
（
2
）
、几种几何图形的重心：
①
线段的重心就是线段的中点；
②
平行四边形及特殊平行四边形的重心是它的两条对角线的交点；
③
三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心；
④
任意多边形都有重心，以多边形的任意两个顶点 作为悬挂点，把多边形悬挂时，
过这两点铅垂线的交点就是这个多边形的重心。
提示
：①
无论几何图形的形状如何，重心都有且只有一个；
②
从物理学角度看，几何图形在悬挂或支撑时，位于重心两边的力矩相同。
（
3
）
、常见图形重心的性质：
①
线段的重心把线段分为两等份；
②
平行四边形的重心把对角线分为两等份；
③
三角形的重心把中线分为
1 :2
两部分（重心到顶点距离占
2
份，重心到对边中点距
离占
1份）
。
三、经验之谈：
正方形和梯形都是特殊的平行四边形中的重点，
希望同学们一定要记住它 们的特点，
特
别是在考梯形的时候，变幻莫测。但是万变不离其中，只要牢牢的掌握的基础知识 ，其他都
不是问题。
矩形、菱形
５
一、本节学习指导
矩形、
菱形是特殊的平 行四边形中非常重要的两种，
因此平行四边形拥有的性质它们均
有。
那么它们也有只属 于它们的特征，
这一节就来学习这些。
同样，
同学们需要多做练习题。
二、知识要点
1
、矩形【重点】
（
1
）
、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
（
2
）
、矩形的性质：①
矩形具有平行四边形的一切性质；
②
矩形的四个角都是直角；
③
矩形的对角线平分且相等；
（
AC=BD
）
④
矩形是轴对称图形，它有
2
条对称轴。
提示
：⑴
“
矩形的四个角都是直 角
”
这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等，
“
矩
形的对角线 相等
”
这一性质可用来证线段相等；
⑵
矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。
（
3
）
、矩形判定方法：
⑴
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
⑵
方法
1
：对角线相等的平行四边形是矩形。
⑶
方法
2
：有三个角是直角的四边形是矩形。
６
2
、菱形【重点】
（
1
）
、菱形的定义
：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
(2)
、菱形的性质：
①
矩形具有平行四边形的一切性质；
②
菱形的四条边都相等；
③
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
④
菱形是轴对称图形。
提示
:< br>利用菱形的性质可证得线段相等、角相等，它的对角线互相垂直且把菱形分成四
个全等的直角三角 形，由此又可与勾股定理联系，
可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于对角线一半的平方和。
（
3
）
、菱形的判定方法：
７
⑴
定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
⑵
判断方法
1
：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
⑶
判断方法
2
：四条边相等的四边形是菱形。
（
4
）
、菱形面积的计算：
菱形面积
=
底
×
高
=
对角线长乘积的一半
S
菱形
=1 /2×
ab
（
a
、
b
为两条对角线）
归纳
：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长乘积的一半。
三、经验之谈：
菱形和矩形 考试经常出现，
并且频率相当高。
同学们要记住它们的特性和判定方法，
证
明 此类题型的时候要
“
根据已有条件来凑条件
”
来证明会容易些。
８
平行四边形及其判断
一、本节学习指导
这一节学习的知识纯粹是几何知识，
在学习过程中我们要多思 考，
多做练习题。
至于平
行四边形的判定要掌握好常见的一两种证明方法，其他的基本 上都是推导而来。
二、知识要点
一、平行四边形
1
、平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2
、平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等 ；平行四边形
的对角线互相平分。
3
、平行四边形的面积：
（
1< br>）
、平行四边形的面积
=
底
×
高
=
ah< br>（
a
是平行四边形的任何一条边长，
h
必须是边长
为
a
的边与其对边的距离）
（
2
）
、同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。
4
、平行四边形的判定【重要】
（
1
）
.
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（
2
）
.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（
3
）
.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（
4
）
.
对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（
5
）
.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
９
提示
：
（
1
）
平行四边形的判定方法都需要关于边、角、对角线之间的两个适当条件作为
命题正确的构成条 件；
（
2
）判定方法可作为
“
画平行四边形
”
的依据；
（
3
）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形。
我们一起来看一个关于证明平行四边形的题目：
5
、三角形中的中位线【重要】
（
1
）
、三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（
2
）
、
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一
半。
提示
：
（
1
）
三角形共有三条中位线，
并且它们又重新构成一个新的三角形。每一条中位
线与第三边都有相应的位置关系和数量关系。
１０
（
2
）三角形的中位线不仅可以证明直线平行，也可以证明线段的倍分关系。
（
3
）三角形中位线不同于三角形的中线，应从它们各自的定义加以区别。
（
3
）
、三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
（
4
）
、常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论
1
：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论
2
：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论
3
：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论
4
：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论
5
：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
6
、两条平行线间的距离
（
1
）
、定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直 线的距离，叫做这两条
平行线间的距离。
（
2
）
、性质：⑴
两条平行线间的距离处处相等；
⑵
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的。
三、经验之谈：
这一节中要求我们理解 的非常多，
要求死记硬背的也很多。
这里给点建议，
数学中涉及
记忆型的理论 ，希望同学们能先理解，后记忆。像三角形的中位线平行于三角形的第三边，
且等于第三边的一半。如果我们理解了这一条的话，
记忆起来就容易很多，
并且在遇到相关
题目的时候绝 对能运用自如。
１１
命题
（
）加速度学习网
整理
一、本节学习指导
这一节重在理解命题的概念，< br>命题是能判断一件事情的正确与错误的句子，
不能是问句，
也不能是省略句，这个句子必 须是完整的，并且能判断正确与否才叫做命题。
二、知识要点
1
、命题、定理、证明
⑴
命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
理解
：命题的定义包括两层含义：
（
1
）命题必须是个完整的句子；
（
2
）这个句子必须对某件事情做出判断。
⑵
命题的分类（按正确、错误与否分）
命题：真命题（正确的命题）
；假命题（错误的命题）
所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
１２
⑶
公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
⑷
定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
⑸
证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
⑹
证明的一般步骤
①
根据题意，画出图形。
②
根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
③
经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
2
、常用数学口诀
.
１３
口诀
：完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；
首
±
尾括号带平方，尾项符号随中央。
三、经验之谈：
命题部分理解了命题的概念，
基本上题目中都不会错，
不过还是要细心些，
越是容易的
题目越不要放过。
后面还总结本节的几个常用公式，
这些公式一直到大学毕业都在用，
同学
们一定要记住，如果记不住的下面还总结了口诀方便记忆。世上无难事，只怕有心人。
１４
如图：
RT
△
ABC
中，∠
ACB = 90°
，
CD
⊥
AB
，则有：
5
、常用关系式
由三角形面积公式可得：
AB·
CD=AC·
BC
6
、直角三角形的判定
1
、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2
、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3
、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长
a，
b
，
c
有关系
a²
＋
b²
=c²< br>，那么这个三角
形是直角三角形。
三、经验之谈：
上面总结了很多公式，
有 些是书上给出的，
有些是平时做题的积累，
希望给同学们平时
的学习带来帮助，
可能你会对有些公式不太理解，
没关系，
因为有些知识我们只需要死记就
OK
，不管是白猫黑猫，待到分数就是好猫。
１５