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2021年1月28日发(作者：微琪)


3
．
4
．
1

【教学目标】

基本不等式（
1
）

1
学 会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号
“≥”取等号的条件 是：当且仅当这两个数相等；

2
．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；

3
．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式
a b

过程；

【教学难点】

基本不等式
ab


【教
学过
程】

1.
课题导入

基本不等式
ab

a

b
的几何背景：

2
a

b
等号成立条件

2
a

b
的证明
2
探究：如图是在北京召开的第
24
界国际数学家 大会的会标，

会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色

的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

2
合作探究

（
1
）问题
1
：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

（教师引导学生从
面积
的关系去找相等关系或不等关。












系）

提问
2:
我们把“风车”造型抽象成图在正方形
AB CD
中有
4
个全等的直角三角形
.
设直角三
角形的长为a
、
b
，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？

生答：< br>a
2

b
2
，
a

b
< br>2
2
提问
3
：那
4
个直角三角形的面积和呢？

生答：
2
ab

提问
4
：好，根据观察
4
个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等
式，
a

b

2
ab
。什么时候这两部分面积相等呢？

生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即
a

b
时，正方形
EF GH
变成一个点，这时有
2
2
a
2

b
2

2
ab

结论：
（板书）一般地，对于任意实数

a
、
b
，我们有
a

b

2ab
，当且仅当
a

b
时，
等号成立。

提问
5
：你能给出它的证明吗？

(
学生尝试证明后口答
,
老师板书
)
2
2
(
a

b
)

0,
当
a
b
时
,
(
a

b
)

0,< br>
证明
:
a

b

2
ab

(
a

b
)
,
当
a

b
时，
所以

a

b

2
ab

注意强调

当且仅当
a

b
时
,
a

b

2
ab

(2)
特别地
,
如果
a

0,
b

0,
用a
和
b
分别代替
a
、
b
,
可得
a

b

2
ab
,
也可写成

2
2
2
2
2
2
2
2
2
ab

a

b
(
a

0,
b
0)
,
引导学生利用不等式的性质推导

2
(
板书
,
请学生上台板演
):
a
< br>b

ab
(
a

0,
b

0)

①

2
即证

a

b


②

要证②
,
只要证

a

b



0

③

要证
:
要证③
,
只要证
( - )


0

④

显然
,
④是成立的
,
当且仅当
a

b
时
,
④的等号成立

(3)
观察图形
3.4-3,
得到不等式①的几何解释

两 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
ab

2
a

b
2

探究：
课本中的“探究”

在右图中，
AB
是圆的直径，点
C
是
AB
上的一点，
AC=a,BC=b< br>。过点
C
作垂直于
AB
的弦
DE
，连接
AD
、
BD
。你能利用这个图形得出基本
a

b
不等式
ab

的几何解释吗？

2

易证
Ｒt
△
A
Ｃ
D
∽
Ｒ
t
△
DＣ
B
，那么
Ｃ
D
2
＝
Ｃ
A
·
Ｃ
B
即
Ｃ
D
＝
ab
.
a
b
a

b
，显然，它大于或等于
CD
，即< br>
ab
，其中当且仅当
2
2
点
C
与圆心重合 ，即
a
＝
b
时，等号成立
.
这个圆的半径为
因此 ：基本不等式
ab

a

b
几何意义是“
半径不小 于半弦
”

2
a

b
看作是正数
a
、
b
的等差中项，
ab
看作是正数
a
、
b
的等
2
比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项
.
评述：
1
.
如果把

即学即练
:

1
若
0

a

b
且
a

b

1
，则下列四个数中最大的是








（





）

Ａ．

2 a
,
b
是正数，则
Ａ．
Ｃ．
1






Ｂ．
2
a

b
,
2
a
2

b
2





Ｃ．
2
ab






Ｄ．
a


ab
,
2
ab
三个数的大小顺序是

（



）

a

b
a

b
2
ab
a

b
2
ab















Ｂ．
ab



ab

2
a

b
2
a

bab

2
ab
a

b



a

b
2
2
ab
a

b















Ｄ．

ab

a

b
2
答案


B

C

例题分析：


(1)
x
y
x
y
x
y


2

＝
2
即

≥
2.
y
x
y
x
y
x
(2)
x
＋
y
≥
2
xy
＞
0












x
2
＋
y
2
≥
2
x
2
y
2
＞
0









x
3
＋
y
3
≥
2
x
3
y
3
＞
0
∴（
x
＋
y
）
（
x
2
＋
y
2
）
（
x
3
＋
y
3
）≥
2
xy
·
2
x< br>2
y
2
·
2
x
3
y
3
＝８
x
3
y
3

即（
x
＋
y
）
（
x
2
＋
y
2
）
（
x
3
＋
y
3
）≥８
x
3
y
3
.
变式训练：









Ｘ＞
0
，当Ｘ取何值时Ｘ
+

解析：因为Ｘ＞
0
，


















Ｘ
+
1
有最小值，最小值是多少

x
1
1
•
x
=2




≥
2
x
x













当且仅当Ｘ
=
1
时即
x=1
时有最小值
2

x








点 评：此题恰好符合基本不等式的用法，
1
正
2
定
3
相等

可以具体解释每一项的
意思。







当堂检测：

1.
下列叙述中正确的是（

）
.
（
A
）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数

（
B
）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数

（
C
）若两个数的和为常数，则它们的积有最大值

（
D
）若两个数的积为常数，则它们的和有最小值

12
下面给出的解答中，正确的是（

）
.
1（
A
）
y
＝
x
＋
≥
2
xx
·
＝
2
，∴
y
有最小值
2
x4
|sin
x
|
·
＝
4
，∴
y
有最小值
4
|sin
x
|
2
）
＝（
2
1
4
（
B
）
y
＝
|sin
x|
＋
≥
2
|sin
x
|
（
C
）
y
＝
x
（－
2
x
＋
3
）≤（< br>当
x
＝
1
时，
y
有最大值（
9
x< br>－
2
x
＋
3
－
x
＋
3
2< br>）
，又由
x
＝－
2
x
＋
3
得
x
＝
1
，∴
2
－
1
＋
3
2）
＝
1
2
≤
3
－
2
（
D< br>）
y
＝
3
－
x
－

x
x< br>x
·
9
x
＝－
3
，
y
有最大值－< br>3
4
3.
已知
x
＞
0
，则
x＋
＋
3
的最小值为（

）
.
（
A
）
4
（
B
）
7
（
C
）
8
（
D
）
11
1
4.
设函数
f
（
x
）＝
2
x
＋
－
1
（
x
＜
0
）
，则
f
（
x
）
（

）
.
x
（
A
）有最大值

（
B
）有最小值

（
C
）是增函数

（
D
）是减函数

1 B 2.D 3 B 4 .A
























基本不等式



第一课时

课前预习学案

一、预习目标

不等号“≥”取等号的条件是：当且 仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不
等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理。

二、预习内容

一般地，对于任意实数

a
、
b
，我们有
a

b

2
ab
，当













，等号成立。

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，字母表示：














。

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点







课内探究学案



疑惑内容

2
2
教学目标

a
2

b
2
2
ab
，不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相
等；学会 推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义

教学重点】

应用 数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式
ab

过程；

【教学难点】

基本不等式
ab

a

b
等号成立条件

2
a

b
的证明
2
合作探究
1
证
;
a

b

2
ab

























































































强调：
当且仅当
a

b
时
,
a

b

2
ab


特别 地
,
如果
a

0,
b

0,
用< br>a
和
b
分别代替
a
、
b
,
可得a

b

2
ab
,
也可写成

2
2
2
2
ab

a

b
(a

0,
b

0)
,
引导学生利用不等式的性 质推导

2



证明
:































































结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
ab

a< br>
b
2

探究
2
：
课本中的“探究”

在右图中，
AB是圆的直径，点
C
是
AB
上的一点，
AC=a,BC=b
。过点
C
作垂直于
AB
的弦
DE
，
连接
AD
、
BD
。你
能利
用这
个图
形得
出基< br>本不
等式
ab

a

b
的几何解释

2








































































































练习

1
若
0

a

b
且
a

b

1
，则下列四个数中最大的是








（





）

Ａ．
1






Ｂ．
2
a

b
,
2
ab
,
a
2
b
2





Ｃ．
2
ab






Ｄ．
a


2 a
,
b
是正数，则
Ａ．
Ｃ．
2
ab
三个数的大小顺序是

（



）

a

b
a

b
2
ab
a

b
2
ab















Ｂ．
ab



ab

2
a

b
2
a

bab

2
ab
a

b



a

b
2
2
ab
a

b















Ｄ．

ab

a

b
2









答案


B

C

例题分析：

已知
x
、
y
都是正数，求证：

(1)
y
x

≥
2
；

x
y



( 2
）

Ｘ＞0
，当Ｘ取何值时Ｘ
+
2
2
1
有最小值，最小值是多少

x


分析：
a

b

2
ab
，
注意条件
a
、
b
均为正数，结合不等式 的性质
(
把握好每条性
质成立的条件
)
，进行变形
. 1
正
2
定
3
相等

5
1
变式训练 ：
1
已知
x
＜
，则函数
f
（
x
） ＝
4
x
＋
的最大值是多少？

4
4
x
－
5
2
证明：
（
x
＋
y
）
（
x
2
＋
y
2
）
（
x
3
＋
y
3
）≥８
x
3
y
3
.






分析：注意凑位法的使用。







注意基本不等式的用法。








当堂检测：

1.
下列叙述中正确的是（

）
.
（
A
）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数

（
B
）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数

（
C
）若两个数的和为常数，则它们的积有最大值

（
D
）若两个数的积为常数，则它们的和有最小值

2
下面给出的解答中，正确的是（

）
.
1
（
A
）
y
＝
x
＋
≥
2
x
x
·
＝
2
，∴
y
有最小值
2
x
4
|sin
x
|
·
＝
4
，∴
y
有最小值
4
|sin
x
|
2
）
＝（
2< br>1
4
（
B
）
y
＝
|sin
x
|
＋
≥
2
|sin
x
|
（
C
）
y
＝
x
（－
2
x
＋
3
）≤（当
x
＝
1
时，
y
有最大值（
9
x－
2
x
＋
3
－
x
＋
3
2）
，又由
x
＝－
2
x
＋
3
得
x
＝
1
，∴
2
－
1
＋
3
2
）
＝
1
2
≤
3
－
2
（
D）
y
＝
3
－
x
－

x
xx
·
9
x
＝－
3
，
y
有最大值－3
4
3.
已知
x
＞
0
，则
x
＋
＋
3
的最小值为（

）
.
（
A
）
4
（
B
）
7
（
C
）
8
（
D
）
11
1
4.
设函数
f
（
x
）＝
2
x
＋
－
1
（
x
＜
0
）
，则
f
（
x
）
（

）
.
x
（
A
）有最大值

（
B
）有最小值

（
C
）是增函数

（
D
）是减函数

答案
1 B 2.D 3 B 4.A
课后练习与提高




1

已知
x
、
y
都是正数，求证：

①
如果积
xy
是定值
P
，那么当
x=y
时，和
x +y
有最小值
2
p

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