01-三角函数中的数学文化题
余年寄山水
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2021年01月28日 03:54
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高考中数学文化的考查
一
三角函数中
的数学文化题
一．考点解读：
三角函数中的 数学文化题一般以我国古代数学名著中的几何测量问题
或几何图形为背景，考查解三角形或三角变换．< br>
二．数学文化的典型题：
（
1
）赵爽弦图：
< br>1700
多年前，赵爽绘制了极富创意的弦图，采用“出入相补”原理使得勾
股定理的证 明不证自明
.
该题取材于第
24
届国际数学家大会会标，
题干大气，
设
问自然，流露出丰富的文化内涵
.
既巧妙地考查了三角函数的相关知识，又 丰富
了弦图的内涵，
如正方形四边相等寓言各国及来宾地位平等，
小正方形和三角形< br>紧紧簇拥在一起，表明各国数学家要密切合作交流等。
（
2
）
《九章算术》
：
《九章算术》
是我国古代数学成就的杰出代表，
它的出现标志着中国古代数
学形成了完整的体系．其 中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，
1
矢又自乘，并之，二而一．其大意是， 弧田面积计算公式为：弧田面积＝
(
弦×
2
矢＋矢×矢
)
． 弧田是由圆弧
(
弧田弧
)
和以圆弧的端点为端点的线段
(
弧 田弦
)
围
成的平面图形，
公式中的“弦”指的是弧田弦的长，
“矢” 指的是弧田弧所在圆
的半径与圆心到弧田弦的距离之差。
（
3
）
《数学汇编》
：
早在
4
世纪，
古希腊数学家帕波斯在其代表作
《数学汇编》
第
3
卷第
2
部分就给
出了算术平均、
几何平均、
调和平均三种平均数的理论．
嵌入几何意义考查不等
式，
同时以平面几何为载体，
考查判断三角形相似，
及由三角形相似得到对应线
段成比例求出线段的比例关系，
凸显经典数学名题的深邃内涵和命题 专家的过人
之处．
（
4
）割圆术：
我国古代数 学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率
π，理论上能把
π
的值计算到任意精度．祖 冲之继承并发展了“割圆术”，将
π
的值精确到小数
点后七位，其结果领先世界一千多 年．
例
1
(2007
北京高考
)2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代
数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个 全等直角三角形与一个小正
方形拼成的一个大正方形
(
如图
)
，如果 小正方形的面积为
1
，大正方形的面
积为
25
，直角三角形中较小的 锐角为
θ
.
那么
cos 2
θ
的值等于
________
．
思路点拨< br>：
本题先根据题意确定大、
小正方形的边长，
再由直角三角形中锐角的
三角函数值确定角
θ
满足的条件，依据相关的三角函数公式进行计算即
可．
解题分析
：∵小正方形的面积为
1
，大正方形的面积为
25. ∴每一个直角三角形的面积是
6
，
设直角三角形的两条直角边长分别为
a
，
b
，
则
1
2
a b
＝
6
，
a
2
＋
b
2
＝
25
，
∴两条直角边的长分别为
3
，
4
，
又∵直角三角形中较小的锐角为
θ
，
4
7
∴
cos
θ
＝
，
cos 2
θ
＝
2cos
2
θ
－
1
＝
.
5
25
正确答案：
7
25
例
2
：
《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，它的出现标志着中国古代
数学形成了完整的体 系．
其中
《方田》
章有弧田面积计算问题，
术曰：
以弦乘矢，
1
矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积＝
(
弦×< br>2
矢＋矢×矢
)
．弧田是由圆弧
(
弧田弧
)
和以圆弧的端点为端点的线段
(
弧田弦
)
围
成的平面图形，
公式中的“弦”指的是弧田弦的长，
“矢”指的是弧田弧所在圆
的半径与圆心到弧田弦的距离之 差．现有一弧田，其弧田弦
AB
等于
6
米，其弧
7
田弧所在 圆为圆
O
，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为
平方米，
2
则
cos
∠AOB＝
(
)
A.
B.
C.
D.
思路点拨
：本题在理解弧田面积及计算公式之后，结合直角三角形的勾股定理
求出边长，再利用余弦定理求角。
解题分析：
如下图依题意
AB< br>＝
6
，设
CD
＝
x(x>0)
，
1
7
则
(6x
＋
x
2
)
＝
，解得
x
＝
1.
2
2
设
OA
＝
y，则
(y
－
1)
2
＋
9
＝
y
2
，解得
y
＝
5.
由余弦定理得
cos
∠AOB ＝
25
＋
25
－
36
7
＝
.
2 ×5×5
25
1
25
3
25
1
5
7
25
正确答案：
选
D
2ab
例
3
：
设
a
＞
0
，
b
＞
0
，
则
为
a
，
b
的调和平均数．
如图，
C
为线段
AB
上的点，
a
＋
b
AC
＝
a
，
CB
＝
b
，
O
为
AB< br>的中点，以
AB
为直径作半圆．过点
C
作
AB
的垂线 交
半圆于
D
，连接
OD
，
AD
，
BD.< br>过点
C
作
OD
的垂线，垂足为
E.
则图中线段
OD
的
长度是
a
，
b
的算术平均数，
线段
CD
的长度是
a
，
b
的几何平均数，
线段
___ _____
的长度是
a
，
b
的调和平均数．
思路点拨
:
将线段
OD
，
CD
融入相关 直角三角形中，利用三角形相似进行计算，
再结合调和平均数的定义即可得到正确结果．
解题分析：
因为
Rt
△
DEC
∽
Rt
△
DCO
，
2
CD
DE
CD
所以
＝
，从而
DE
＝
.
CD
OD
OD
依题意可得
OD
＝
所以
DE
＝
a
＋
b
2
，
CD
＝
ab
，
2
ab
，
a
＋
b
即线段
DE< br>的长度是
a
，
b
的调和平均数．
正确答案：
DE
三．课后检测：
1
．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率
π，理论上能把
π
的值计算到任意精度．
祖冲之继承并发展了“割圆术”，
将
π
的值精确到小
数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆
内接正六边形的面积
S
6
，
S
6
＝
________.
< br>2
．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜
求积”公 式：设△ABC
的三个内角
A
，
B
，
C
所对的边分 别为
a
，
b
，
c
，
则△ABC
的面积
S
＝
1
2
2
c
＋a
－
b
2
c
a
－
.
若
a
2
sin
C
＝
4
sin
A
，
2
4
2
2
2
(a
＋
c)
2
＝< br>12
＋
b
2
，则用“三斜求积”公式求得△ABC
的面积为< br>(
)
A.
3 B
．
2 C
．
3 D.
6
3
．
【2018
广东惠州高三
4
月模拟】如图
1
，
《九章算术 》中记载了一个“折竹抵
地”问题
:
今有竹高一丈
,
末折抵地
,
去本三尺，
问折者高几何
?
意思是
:
有一根
竹子
,
原高一丈（
1
丈
=10
尺）
,
现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的