直接法与间接法
巡山小妖精
971次浏览
2021年01月28日 05:30
最佳经验
本文由作者推荐
好听的白话歌-耳麦说不了话
直
接
证
明
出题人:郑志博
知识清单:
1
、直接证明是指①
________
,常用的直接证明方法有②
________
和③
___ _____.
2
、综合法是指④
____ ___.
3
、分析法是指⑤
______ __.
4、综合法是一种⑥
________
的证明方法,推证过程是⑦
________
⇒
…
⇒
⑧
________
,分析
法是一种⑨________
的证明方法,推证过程是⑩
________
⇐
…⇐⑪
________.
它们的逻辑依据
是
⑫
________
的演绎推理法.
5
、综合法
(
1
)综合法的基本思路
综合法的基本思路是“由因导果”
,由已知推导求证,即从数学题的已知条件出发,经过逐
步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求的问 题.综合法有如顺流而下,直奔终点.若
P
表示已知条件,已有的定义、定理、公理等,
Q
表示所要证明的结论,则综合法可以用以下
的框图表示:
、
(
2
)综合法的特点
①从“已知”看“可知”
,逐步推向 “未知”
,由因导果,其逐步推理,实际上是寻找它的必
要条件.
②用综合 法证明不等式,证明步骤严谨,逐层递进,步步为营,条理清晰,形式简洁,宜于
表达推理的思维轨迹.
③由于综合法证明命题“若
A
则
D
”的思考过程可表示为:
故要从
A
推理到
D
,由
A
推演出的中间结论未必唯 一,如
B
、
B
1
、
B
2
等,可由
B
、
B
1
、
B
2
能
推演出的进一步的中间 结论则可能更多,如
C
、
C
1
、
C
2
、< br>C
3
、
C
4
等等.所以如何找到“切入
点”和有效的 推理途径是有效利用综合法证明不等式等问题的“瓶颈”
.
6
、分析法
(
1
)分析法的基本思路
分析法的基本思路是“执果索因”
,由求证探求已知,即从数学题的待证结论或需求问题出
发,
一步一步地探索下去,
最后达到一个明显成立的条件.
分析法有如逆流而上,
寻找源头.
若用
Q
表示要证明的结论,则分析法可以用如下的框图来表示.
(
2
)分析法的特点
①分析法是综合法的逆过程,即从“未知”看 “需知”
,执果索因,逐步靠拢“已知”
,其逐
步推理,实际上是逐步寻找结论成立的 充分条件.
②由于分析法是逆推证明,
故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性 ,
即分析法有独特
的表述.
7
、分析法与综合法的综合应用
分析法解题方向较为明确,利于寻找解题思 路;综合法解题条理清晰,
宜于表述.
实际
解题时,通常以分析法为主寻求解题思路, 再用综合法有条理地表述解题过程.
在实际解题时,
经常把综合法和分析法结合起来 使用:
根据条件的结构特点去转化结论,
得到中间结论
Q
′;根据结论的结构 特点去转化条件,得到中间结论
P
′
.
若由
P
′可以推出< br>Q
′成立,即可证明结论成立.
注意:
(1)
对 于较为简单的命题的证明,如果没有特别要求,一般用分析法探路,然后用综合法证
明.
(2)
对于并列条件较多且与待证结论的关系比较隐蔽的命题的证明,往往需要综合应用分析
法与综合法
.
典型例题
题型一
用综合法证明数学命题
例
1
、已知
a
,
b
,
c
为不全相等的正实数,求证:
题型二
用分析法证明数学命题
例
2
、设
a
、
b
、
c
为任意三角形三边长,
I
=
a
+
b
+
c
,
S
=
ab
+
bc
+
ca
,试证:
3
S
≤
I
<4S
.
变式探索:
例
3
、△
ABC
的三个内 角
A
,
B
,
C
成等差数列,它们的对边分别是
a< br>,
b
,
c
,求证
(
a
+
b
)
-
1
+
(
b
+
c
)
-
1
=
3(
a
+
b
+
c
)
-
1.
题型三
综合法和分析法的应用
例
4
、设
f
(
x
)
=
ax
+
bx
+
c
(
a
≠
0)
,若函数
f
(
x
+
1)
与
f
(
x
)的图象关于
y
轴对称,求证:
2
2
b
+
c-
a
c
+
a
-
b
a
+
b-
c
+
+
>3.
a
b
c
f
(
x
+
1
)
为偶函数.
2
变式探索:
例
5
、
(
1< br>)已知
n
∈
N
,且
n
>1
,求证:
log
n
(
n
+
1)>log
n
1
(
n
+
2)
.