直接法与间接法
余年寄山水
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2021年01月28日 05:30
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直
接
证
明
出题人：郑志博
知识清单：
1
、直接证明是指①
________
，常用的直接证明方法有②
________
和③
___ _____.
2
、综合法是指④
____ ___.
3
、分析法是指⑤
______ __.
4、综合法是一种⑥
________
的证明方法，推证过程是⑦
________
⇒
…
⇒
⑧
________
，分析
法是一种⑨________
的证明方法，推证过程是⑩
________
⇐
…⇐⑪
________.
它们的逻辑依据
是
⑫
________
的演绎推理法．
5
、综合法
（
1
）综合法的基本思路
综合法的基本思路是“由因导果”
，由已知推导求证，即从数学题的已知条件出发，经过逐
步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求的问 题．综合法有如顺流而下，直奔终点．若
P
表示已知条件，已有的定义、定理、公理等，
Q
表示所要证明的结论，则综合法可以用以下
的框图表示：
、
（
2
）综合法的特点
①从“已知”看“可知”
，逐步推向 “未知”
，由因导果，其逐步推理，实际上是寻找它的必
要条件．
②用综合 法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于
表达推理的思维轨迹．
③由于综合法证明命题“若
A
则
D
”的思考过程可表示为：
故要从
A
推理到
D
，由
A
推演出的中间结论未必唯 一，如
B
、
B
1
、
B
2
等，可由
B
、
B
1
、
B
2
能
推演出的进一步的中间 结论则可能更多，如
C
、
C
1
、
C
2
、< br>C
3
、
C
4
等等．所以如何找到“切入
点”和有效的 推理途径是有效利用综合法证明不等式等问题的“瓶颈”
．
6
、分析法
（
1
）分析法的基本思路
分析法的基本思路是“执果索因”
，由求证探求已知，即从数学题的待证结论或需求问题出
发，
一步一步地探索下去，
最后达到一个明显成立的条件．
分析法有如逆流而上，
寻找源头．
若用
Q
表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示．
（
2
）分析法的特点
①分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看 “需知”
，执果索因，逐步靠拢“已知”
，其逐
步推理，实际上是逐步寻找结论成立的 充分条件．
②由于分析法是逆推证明，
故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性 ，
即分析法有独特
的表述．
7
、分析法与综合法的综合应用
分析法解题方向较为明确，利于寻找解题思 路；综合法解题条理清晰，
宜于表述．
实际
解题时，通常以分析法为主寻求解题思路， 再用综合法有条理地表述解题过程．
在实际解题时，
经常把综合法和分析法结合起来 使用：
根据条件的结构特点去转化结论，
得到中间结论
Q
′；根据结论的结构 特点去转化条件，得到中间结论
P
′
.
若由
P
′可以推出< br>Q
′成立，即可证明结论成立．
注意：
(1)
对 于较为简单的命题的证明，如果没有特别要求，一般用分析法探路，然后用综合法证
明．
(2)
对于并列条件较多且与待证结论的关系比较隐蔽的命题的证明，往往需要综合应用分析
法与综合法
.
典型例题
题型一
用综合法证明数学命题
例
1
、已知
a
，
b
，
c
为不全相等的正实数，求证：
题型二
用分析法证明数学命题
例
2
、设
a
、
b
、
c
为任意三角形三边长，
I
＝
a
＋
b
＋
c
，
S
＝
ab
＋
bc
＋
ca
，试证：
3
S
≤
I
<4S
.
变式探索：
例
3
、△
ABC
的三个内 角
A
，
B
，
C
成等差数列，它们的对边分别是
a< br>，
b
，
c
，求证
(
a
＋
b
)
－
1
＋
(
b
＋
c
)
－
1
＝
3(
a
＋
b
＋
c
)
－
1.
题型三
综合法和分析法的应用
例
4
、设
f
(
x
)
＝
ax
＋
bx
＋
c
(
a
≠
0)
，若函数
f
(
x
＋
1)
与
f
(
x
)的图象关于
y
轴对称，求证：
2
2
b
＋
c－
a
c
＋
a
－
b
a
＋
b－
c
＋
＋
>3.
a
b
c
f
(
x
＋
1
)
为偶函数．
2
变式探索：
例
5
、
（
1< br>）已知
n
∈
N
，且
n
>1
，求证：
log
n
(
n
＋
1)>log
n
1
(
n
＋
2)
．