排列组合中常用的分析方法及例题
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2021年01月28日 06:00
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中秋节的习俗100字-杨钰莹的资料
4.
排列组合中常用的分析方法
（
1
）拿到题后首先弄清 什么是一个事件？是排列？还是组
合
？
如
：从
0
、
1
、
2
、
3
、
4
、
5
六个数中选取三个数，能被
5
整除的三位数有多少个？
一个事件：①三位数②能被
5
整除
排列。
条件：①
5
或
0
必须在末尾②
0
不能在首位
（
2
）深刻理解构成一个事件的条件是什么？
（
3
）判断是逐个满足条件组成所求事件与求对立事件的简繁程度，从而确定是直接求出还是间接求出—
— 扣除法。
如：从
5
名男生，
3
名女生中选出
4< br>名学生，至少有一个女生的选法有多少种？
很显然，对立面是没女生比较简洁，用扣除 法。若用直接法，得求出只有
1
或
2
或
3
名女生的选法之和 ，
费事。
。
。
（
4
）无论是求事件
A< br>，还是求其对立事件，接下来应考虑的是逐步完成事件
A
，还是分类完成事件
A
（
5
）完成一个事件
A
应注意
①模型化——转化为入座问题
②考虑条件时，应将不稳定的条件转化为稳定的条件，例如不占有的问题转化为占有的问题。
如：由
0
、
1
、
2
、
3
、
4
、
5
组成多少个能被
5
整除的三位数？
0
不能 占首位，则
1~5
占首位，且
0
，
5
占末尾。
把复杂问题变为简单的问题；把有条件的问题转化为无条件的问题。
③善于用数形结合思想和实排法
④用有序问题解决无序问题
有序问题往往很好解决，无序问题有时反而很麻烦。
二、例题
（一）排列应用题
1.
简单排列问题
如：
4
列火车停放到
8
个站台上，共几种？
2.
条件排列问题
（
1
）若干元素占有或不占有一定的位置
例
1
（
2004
·天津文
16
）从
0
，
1，
2
，
3
，
4
，
5
中任选
3
个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被
5
整除的三位数共有
个。
（用数字作答）
一个事件：①三位数②能被
5
整除
排列。
条件：①
5
或
0
必须在末尾②
0
不能在首位
从正面考虑还是从反面考虑？位置有条件，元素也有条件，双 关的。但
0
，
5
很特殊。
0
不能在首位，有时
候还 必须在个位。
解法一：从正面入手逐个满足条件
以位置为准，一种情况：
0
在个位时，前面
2
位数是
1~5
，没有条件排列；另外一 种：
5
在个位时，前两位
有条件，
0
不能在第一位，因此让
1~4
去“抢”第一个位置，剩下的
4
个数再“抢”中间的位置。因此，
以个 位（位置）为准，
0
和
5
是不一样的，因此我们必须分为
2
类。过程如下：
0
在个位的三位数有：
A
2
5
20
< br>5
在个位的三位数有：
A
1
·
A
1
4
4
=16
则能被
5
整除的三位数共有：
A
2< br>
A
1
A
1
5
4
4
=36
（个）
解法
2
：从反面入手
由已知数可组成三位数共有 ：
5
A
2
5
=100
其中不能被5
整除的三位数有
4
4
4=64
（第一步：个数上的
1
，
2
，
3
，
4
不 满足；第二步：
1~5
去掉一个还剩
4
个，百位上占一个，有
4种；最后
十位还剩
4
个数，有
4
种。根据分步乘法计数原理，共 有
64
种）
所以能被
5
整除的三位数有
5
A
2
1
1
5
－
A
4
A
4
A
1
4
=36
个
例
2
< br>用
1
，
2
，
3
，
4
，
5< br>组成无重复数字的五位数，且
2
不在左起第二位，
4
不在左起第四位， 问这样的五
位数共有多少个？
正面考虑（不占有问题转化为占有问题）
< br>2
不在第二位
1
，
3
，
4
，5
在第二位
4
不在第四位
1
，
2
，
3
，
5
在第四位
从位置考虑，先考虑第二位，
（再考虑元素）但
1
，
3
，
5
占第二位与
4
占第二位情况不同（
4
占不占第
2
位）
解法< br>1
：以位置为准，先满足第二位数，再满足第四位数，把不占有变为占有，首先按排第二位的数， 显
然
4
占与不占不一样，故分两类：
4
在第二位，
（其他四个数无条件排列）有
A
4
4
=24
个
4
不在第二位，第二位由
1
，
3
，
5
去占，有A
1
3
，再由
1
，
3
，
5
余 下的两个和
2
去占
4
号位有（或
4
去占
第
1
，
3
，
5
个位置）
A
1
，最后由余下的 三个去占三个位，有
A
3
3
3
，故有：
A
1
A
1
A
3
3
3
3
=54
< br>4
1
1
3
共有
A
4
+
A
3
A
3
A
3
=78
个
解法
2
：从反面入手
由已知的五位数可组成
5
位 数共有：
A
5
5
=120
（个）
其中：
2
在第二位的有
A
4
，
4
在第四位的有
A
4
4
4
.
（
2
在第二位的同时
4
可能也在 第
4
位，反之亦然。有重
复）
2
在第二位且
4
在第四位的有：
A
3
3
所以共有
A
5
4
3
5
2
A4
A
3
=78
（个）
注：
A5
2
A
1
3
A
3
1
33
5
3
A
3
3
=78
个
（
A
3
A
3
是只满足
1
个条件的，
A
3
是两个条件都满足）
解法
3
：先满足一个条件，然后扣除不满足另一条件的。
2
不在第二位的有：
A
1
4
4
A
4
=96
（个）
其中有不合条件的——
2
不在第二位且
4
在第四位 的有
A
1
3
3
A
3
=18
（个）
共有：
A
1
4
1
3
4
A
4
A
3
A
3
=78
（个）
小结：扣除 法：①不考虑条件求总数，扣除不满足条件
1
的和不满足条件
2
的情况数，再 加上两个条件同
时不满足的情况数。②先满足一个条件，然后扣除不满足另一条件的。③
3个条件，先满足
2
个，在扣除
不满足第三个的；先满足
1
个，扣 除不满足
2
和
3
的。
例
3
生产过程有
4
道工序，
每道工序需要安排一人照看。
现从甲乙丙等六名工人中安排
4
人分别照看每一
道工序，第一道工序只能从甲乙两工人中安排
1
人，第四 道工序只能从甲丙两工人中安排
1
人，则不同的
安排方案有（）
A.24
种
B.36
种
C.48
种
D.72
种
解法
1
：若第一道工序由甲来完成，则第四道 工序必由丙来完成，故完成方案共有
A
2
4
=12
种
；
若第一道工序由乙来完成，则第四道工序必由甲丙二人之一来完成，故完成方案共有
A< br>1
·
A
2
2
4
=24
种
；∴
则不同的安排方案共有
A
2
A
1
·
A
2
4
2
4
=36
种
。
解法
2
：先排一、四，再排二、三
一、四两道工序的排法有：甲丙 ，乙甲，乙丙
3
种方法。其余两道工序任意，其排法有
A
2
4
=12
所以共有：