排列组合问题经典题型与通用方法 (1)
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2021年01月28日 06:00
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排列组合问题经典题型与通用方法
解析版
1.
相邻问题 捆绑法
:
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列
. 例
1.
A
,
B
,
C
,
D
,< br>E
五人并排站成一排，如果
A
,
B
必须相邻且
B在
A
的右边，则不同的排法有（
）
A
、
60
种
B
、
48
种
C
、
36
种
D
、
24
种
4
解析：把
A
,< br>B
视为一人，且
B
固定在
A
的右边，则本题相当于
4
人的全排列，
A
4
24
种，
答案：
D
.
2.
相离问题插空排
:
元素相离（即 不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的
几个元素插入上述几个元素的空 位和两端
.
例
2.
七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同 的排法种数是（
）
A
、
1440
种
B
、
3600
种
C
、
4820
种
D
、
4800
种
5
2
5
2解析：
除甲乙外，
其余
5
个排列数为
A
5
种，
再用甲乙去插
6
个空位有
A
6
种，
不同的排法种数 是
A
5
A
6
3600
种，选
B
.
3.
定序问题缩倍法
:
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序 ，可用缩小倍数的方法
.
例
3.
A
,
B
,
C
,
D
,
E
五人并排站成一排，如果
B
必须站在
A
的右边（
A
,
B
可以不相邻）那么不同的排法有
（
）
A
、
24
种
B
、
60
种
C
、
90
种
D
、
120
种
解析：
B
在
A< br>的右边与
B
在
A
的左边排法数相同，所以题设的排法只是
5< br>个元素全排列数的一半，即
1
5
A
5
60
种，选
B
.
2
4.
标号排位问题分步法
:
把元素 排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如
此继续下去，依次即可完成< br>.
例
4.
将数字
1
，
2
，
3，
4
填入标号为
1
，
2
，
3
，
4
的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所
填数字均不相同的填法有（
）
A
、
6
种
B
、
9
种
C
、
11
种
D
、
23
种
解析：先把
1
填入方格中， 符合条件的有
3
种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，
又有三种 方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有
3
×
3
×
1= 9
种填法，选
B
.
5.
有序分配问题逐分法
:
有 序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法
.
例
5.
（
1
）有甲乙丙三项任务，甲需
2
人承担，乙丙各需一人承担，从
10
人中选出
4
人承担这三项任务，
不同的选法种数是（
）
A
、
1260
种
B
、
2025
种
C
、
2520
种
D
、
5040
种
解析：先从
10
人中选 出
2
人承担甲项任务，再从剩下的
8
人中选
1
人承担乙项任 务，第三步从另外的
7
人
2
1
1
中选
1
人 承担丙项任务，不同的选法共有
C
10
C
8
C
7
2520
种，
选
C
.
（
2
）
12
名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，
若每个路口
4
人 ，
则不同的分配方案有
（
）
4
4
4
4
4
4
C
C
C
3
C
C
C
4
种
12
8
4
12
8
A
、
种
B
、
4
4
C
12
C
8
4
C
4
4
4
3
3
C
C
A
A
12
8
3
3
C
、
种
D
、
种
答案：
A
.
6.
全员分配问题分组法
:
例
6.
（
1
）
4
名优秀学生全部保送到
3
所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送 方案有多少种？
2
3
2
3
解析：把四名学生分成
3
组有
C
4
种方法，再把三组学生分配到三所学校有
A
3< br>种，故共有
C
4
A
3
36
种方
法
.
说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配
. （
2
）
5
本不同的书，全部分给
4
个学生，每个学生至 少一本，不同的分法种数为（
）
A
、
480
种
B
、
240
种
C
、
120
种
D
、
96
种
答案：
B
.
7.
名额分配问题隔板法
:
例
7
：
10
个三好学生名额分到
7
个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
< br>解析：
10
个名额分到
7
个班级，就是把
10
个名额 看成
10
个相同的小球分成
7
堆，每堆至少一个，可以在
6
10
个小球的
9
个空位中插入
6
块木板，
每一种插法对应着 一种分配方案，
故共有不同的分配方案为
C
9
84
种.
8.
限制条件的分配问题分类法
:
例
8.
某高校 从某系的
10
名优秀毕业生中选
4
人分别到西部四城市参加中国西部经济开发 建设，
其中甲同学
不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
4< br>①若甲乙都不参加，则有派遣方案
A
8
种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有
3
种方法，然后安排其余学
3
3
3
生有
A
8
方法，所以共有
3
A
8
；③若乙参加而甲不参加同理也有
3
A
8
种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，
2
2
有
7
种方法，然后再安排其余
8
人到另外两个城市有
A
8
种 ，共有
7
A
8
方法
.
所以共有不同的派遣方法总数
4
3
3
2
为
A
8
3
A
8
3
A
8
7
A
8
4088
种
.
9.
多元问题分类法：
元素多，取出的情况也多种， 可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总
计
.
例
9
（
1
）
由数字
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
组成没有重复数字的六位数，
其中个位数字小 于十位数字的共有
（
）
A
、
210
种
B
、
300
种
C
、
464
种
D
、
600
种
5
1
1
3
1
1
3
1
1
3
1
3
解析：按题意，个位 数字只可能是
0
，
1
，
2
，
3
，
4
共
5
种情况，分别有
A
5
个，
A
4A
3
A
3
,
A
3
A
3
A3
,
A
2
A
3
A
3
,
A3
A
3
个，合并总计
300
个
,
选
B
.
（
2
）从
1
，
2
，
3
…，
100
这
100
个数中，任取两个数，使它们的乘积能被< br>7
整除，这两个数的取法（不
计顺序）共有多少种？
解析：被取的两 个数中至少有一个能被
7
整除时，他们的乘积就能被
7
整除，将这
1 00
个数组成的集合视
为全集
I,
能被
7
整除的数的集合记 做
A
7,14,21
,
做
A
1,2,3,4,
98
共有
14
个元素
,< br>不能被
7
整除的数组成的集合记
2
，
从
A
中 任取一个，
,100
共有
86
个元素；
由此可知，
从
A
中任取
2
个元素的取法有
C
14
1
1
2
1
1
又从
A
中任取一个共有
C
14< br>，两种情形共符合要求的取法有
C
14
C
86
C< br>14
C
86
1295
种
.
（
3
）
从
1
，
2
，
3
，
…，
100
这
100
个数中任取两个数，
使其和能被
4
整除的取 法
（不计顺序）
有多少种？
解析：将
I
1
,2,3
,100
分成四个不相交的子集，能被
4
整除的数集
A
4,8,12,
100
；能被
4
除余
97
，
能
被
4
除
余
2
的
数
集
C
2,6,
, 98
，
能
被
4
除
余
3
的
数
集
1
的
数
集
B
1,5,
9,
99
，
易见这四个集合中每一个有
25个元素；
从
A
中任取两个数符合要；
从
B
,
D
中各取一
个数也符合要求；从
C
中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不 符合要求；所以符合要求的取法共有
2
1
1
2
种
.
C
25
C
25
C
25
C
2 5
10.
交
叉
问
题
集
合
法
：某
些
排
列
组
合
问
题
几
部分
之
间
有
交
集
，
可
用
集合
中
求
元
素
个
数
公
式
n(
A
B
)
n
(
A
)
n
(
B
)
n
(
A
B
)
例
10.
从
6
名运动员中选出
4
人参加
4
×
100
米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒， 共有多少种
不同的参赛方案？
解析：设全集
=
｛
6
人中任取
4
人参赛的排列｝
，
A=
｛甲跑第一棒的排列｝
，
B=
｛乙跑第四棒的排列｝
，根据求
D
3, 7,11
,