排列组合经典例题透析
玛丽莲梦兔
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2021年01月28日 06:01
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.
.
组合经典例题透析
类型一：组合数公式及其性质
1
．计算：
（
1
）
；
（
2
）
.
思路点拨：
可以直接依据组合数公式计算，也可以先利用性质化简后再计算
解析：
（
1
）方法一：
；
方法二：
；
（
2
）方法一：
；
方法二：
.
总结升华：
当
于恒等式的证明。
举一反三：
【变式
1
】计算：
< br>时，利用性质
计算
比较简便．性质
2
表达组合数的递推性质，它可用于 计算求值，更重要的是用
（
1
）
【答案】
；
（
2
）
；
（
3
）
（
1
）
或
（
2
）
或
（
3
）
【变式
2
】计算：
（
1
）
【答案】
；
（
2
）
（
1
）
页脚
.
.
.
=
…
（
2
）
=
…
【变式
3
】求证：
．
证明：
右边
左边
2
．解方程：
.
解析：
原方程可化为
，
整理得
:
，
解得
或
（不合题意舍去）
．
经检验
是原方程的根．
总结升华：
解含组合数的方程和不等式时要注意组合数
知数的取值围；应强调解组合数方程 要验根。
举一反三：
中，
且
这些限制条件，要注意含组合数的方程和不等式中未
页脚
.
.
.
【变式
1
】解方程：
【答案】
原方程为
∴
2x
＝
x
＋
4
或
2x
＝
21-x
解得：
x
＝
4
或
x
＝
7
经检验
x
＝
4
，
x
＝
7
都是原方程的根。
【变式
2
】已知
，求
、
的值．
【答案】
依题意得
，
整理得
，解得：
.
类型二：组合的应用
3
．平面有
10
个点，
（
1
）以其中每
2
个点为端点的线段共有多少条？
（
2
）以其中每
2
个点为端点的有向线段共有多少条？
思路点拨：
线段不考虑线段两个端点的顺序，是组合问题；有向线段考虑 线段两个端点的顺序，是排列问题．
解析：
（
1
）以每
2
个点为端点的线段的条数，就是从
10
个不同元素中取出
2
个元素的组合数，
即以其中每
2
个点为端点的线段共有
（
2
）由于有向线段的两个端点中一个是起点，一个是终点，
（条）
以每
2个点为端点的有向线段的条数，就是从
10
个不同元素中取出
2
个元素的 排列数，
即以其中每
2
个点为端点的有向线段共
(
条
)
总结升华：
一个问题是排列问题还是组合问题，在于取出的元素之间有没 有顺序，交换其中两个元素是否改变所得的结果．
举一反三：
【变式
1
】下面的问题是排列问题？还是组合问题？并计算结果。
（
1
）从
1
，
3
，
5
，
9
中任取两个数相加，可以得到多少个不同的和？
（
2
）从
1
，
3
，
5
，
9
中任取两个数相除，可以得到多少个不同的商？
（
3
）
10
个同学毕业后互相通了一次信，一共写了多少封信？
（
4
）
10
个同学毕业后见面时，互相握了一次手，共握了多少次手 ？
【答案】
（
1
）组合问题，可以得到
个不同的和；
（
2
）排列问题，可以得到
个不同的商；
（
3
）排列问题，一共写了
封信；
页脚
.
.
.
（
4
）组合问题，共握了
次手
.
【变式
2
】一个口袋装有大小相同的
7
个白球和
1
个黑球．
（
1
）从口袋取出
3
个球，共有多少种取法？
（
2
）从口袋取出
3
个球，使其中恰有
1
个黑球，有多少种取法？
（
3
）从口袋取出
3
个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
【答案】
（
1
）
56
；从 口袋的
8
个球中取出
3
个球，取法种数是
< br>（
2
）
21
；从口袋取出
3
个球恰有
1个黑球，也就是除黑球外还要从
7
个白球中再取出
2
个，
取法种数是
。
（
3
）
35
；由于所取出的
3
个球中不含黑球，也就是要从
7
个白球中取出
3
个球，取法种数是
。
4
．在
100
奖券中，有
1一等奖，
3
二等奖，
6
三等奖，从中任意抽出
2
．
（
1
）一共有多少种不同的抽法？
（
2
）其中恰好有
1
是二等奖的抽法有多少种？
（
3
）其中至少有
1
是二等奖的抽法有多少种？
思路点拨：
“
2
中恰好有
1
是二等奖”即为“< br>1
是二等奖
1
非二等奖”
，可以分步完成；
“
2中至少有
1
是二等奖”即为“
2
中恰好有
1
是二等奖” 或“
2
都是
二等奖”
，可以从对立面解决。
解析：
（
1
）所求就是从
100< br>奖券中取出
2
的组合数，为
（
2
）分两步完成：
；
第一步，从
3
二等奖中抽出
1
二等奖的抽法有
种，
第二步，从
97
非二等奖中抽出
1
的抽法有
种．
因此共有
（
3
）方法一：直接法
分两类：
种。
第一类：
“< br>2
中恰好有
1
是二等奖”的抽法有
；
第二类：
“
2
都是二等奖”
的抽法有
；
故共有方法
方法二：间接法
种。
抽出的
2
中至少有
1
二等奖的抽法的种数，
就是从100
中抽出
2
的抽法种数减去
2
都是非二等奖的抽法的种数，
即
页脚
.
.
.
总结升华：
< br>1
．组合问题的解法，既要注意两个计数原理的运用，还要恰当地选择直接法或间接法．
2
．
“至少”的问题可以从正面用直接法来计算，也可以从反面 用间接法计算。
举一反三：
【变式
1
】在
100
件产品中，有
98
件合格品，
2
件次品．从这
100
件产品中任意抽出
3
件．
（
1
）一共有多少种不同的抽法？
（
2
）抽出的
3
件中恰好有
1
件是次品的抽法有多少种？
（
3
）抽出的
3
件中至少有
1
件是次品的抽法有多少种？
【答案】
（
1
）所求的不同抽法的种数，就是从
100
件产品中取 出
3
件的组合数，
为
（
2
）第一步从
2
件次 品中抽出
1
件次品的抽法有
种，
第二步从
98
件合格品中抽出
2
件合格品的抽法有
种．
因此抽出的
3
件中格有
1
件是次品的抽法的种数是
（
3
）方法一：间接法
抽出的
3
件中至少有
1
件是次品的抽法的种数，
就是从
100
件中抽出
3
件的抽法种数减去
3
件都是合格品的抽法的种数，
即
方法二：直接法
分两类：
①恰有一件次品
；
②恰有两件次品
故共有
（种）
。
【变式
2
】某乒乓球队有
9
名队员，其中
2名是种子选手，现要挑选
5
名队员参加比赛，种子选手有且仅有一个在，那么不同的选法共 有多少种？
【答案】
70
；
分两步完成：
第一步，选种子选手有
种，
第二步，选非种子选手有
种，
共有
种。
【变式
3
】有
1 1
个工人，其中
5
人只会当钳工，
4
人只会当车工，还有甲、乙2
人既会当钳工又会当车工．现在要从这
11
人中选出
4
人当钳 工，
4
人当车
工，一共有多少种选法？
【答案】
185
；
分为以下三类完成：
页脚
.
.
.
第一类：甲、乙都没有被选在的方法有
第二类：甲、乙中恰有一人被选在
＝
5
种．
①甲、乙中有一人被选当钳工的方法有
种．
②甲、乙中有一人被选当车工的方法有
第三类：甲、乙都被选在．
种．
①甲、乙都被选当钳工的方法有
种．
②甲、乙都被选当车工的方法有
种．
③甲、乙中有一人当钳工，另一人当车工的方法有
种．
所以一共有：
种选法．
类型三：分配问题
5.
教育局将
11
个夏令营指标分配给
8
所不同的学校， 要求每校至少分到
1
个名额，共有多少种不同的分配结果？
思路点拨：
夏令营指标是相同的元素，分配的不同方法是指各校获得的数量不同
解析：
方法一：
由各校至少分到
1
个名额，可先给每校
1
个名额，只需考 虑余下
3
个名额的分配方法有多少种不同情况。
第一 类：将
3
个余额分给
3
所不同的学校，共有
种方法；
第二类：将
3
个余额分给
2
所不同的学校，共 有
种方法；
第三类：将
3
个余额分给
1
所学校，共有
种方法，
不同分配结果的总数为
方法二：
可将
11
个名额分成非零的
8
份， 将
8
所学校看成是放置这
8
份名额的位置。
11
个名额排一列，共有
12
个空档，去掉两端的空档，还有
10< br>个空档，
从中任取
7
个空档，则
11
个名额被取到的空档分成了
8
份，每一份对应地放在学校的位置上，
即不同分配结果共有
举一反三：
【变式
1
】电梯有
7
位乘客，在< br>10
层楼房的每一层停留，如果三位乘客从同一层出去，另外两位在同一层出去，最后两人各从不 同的楼层出去，有多少种
不同的下楼方法？
【答案】
分
2
步完成：
第一步，先 把
7
位乘客分成
3
人，
2
人，一人，一人四组，有
种；
页脚
.
.
.
第二步，选择
10
层中的四层下楼有
【变式
2
】有
6
本不同的书按下列分配方式分 配，问各有多少种不同的分配方式？
（
1
）分成1
本、
2
本、
3
本三组；
（非均匀分组）
（
2
）分给甲、乙、丙三人，其中一个人
1
本 ，一个人
2
本，一个人
3
本；
（
3
）分成每组都是
2
本的三个组；
（均匀分组）
（
4
）分给甲、乙、丙三人，每个人
2
本。
【答案】
（
1
）先选出
1
本的方法有
种，
再由剩下的
5
本中选出
2
本的方法有
种，
剩下的
3
本为一组有
种，
依分步计数原理得分组的方法有
种。
（
2
）把上面分好的三组分给甲、乙、丙三人有
种。
（
3
）选
2
本为一组有
种，剩下
4本再选
2
本为另一组有
种，最后
2
本为一组有
种，
又每
种分法只能算一种，所以不同的分法有
（种）
。
（重复情况列举如下：记
6
本书为
a
、
b
、
c
、
d
、
e
、
f
。
以下
种分法只能算一种：
ab / cd / ef
；
ab / ef / cd
；
cd / ef / ab
；
cd / ab / ef
；
ef / cd / ab
；
ef / ab / cd
。
）
（
4
）把上面分好的三组分给甲、乙、丙三人有
种。
（或甲先选有
种，接着乙选有
，最后丙选 有
种。共
种。
）
经典例题透析
类型一：排列数公式
1
．解不等式：
．
思路点拨：
依据排列数公式
化简后解答。
解析：
原不等式等价于
，
因为
页脚
.