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2021年1月28日发(作者：下阴)
排列组合二项式
递推数列求通项
常见题型解法自用资料集

排列组合的常见题型及其解法









排列、
组合的概念具有广泛的实际意义，
解决排列、
组合问题，
关键要搞清楚是否与元素的顺序有关。
复杂的排列、组合问题往往是对元素 或位置进行限制，因此掌握一些基本的排列、组合问题的类型与解法
对学好这部分知识很重要。

一
.
特殊元素（位置）用优先法





把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置）
，对于这类问题一般采取特殊元 素（位置）优先
安排的方法。



例
1. 6
人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？





分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。





解法
1
：
（元素分析法）因为甲 不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有
1
5
1
5
种站法；
第二步再让其余的
5
人站在其他
5
个位置上，< br>有
A
5
种站法，
故站法共有：
A
4
＝
480
（种）


A
5
A
4




解法
2
：
（位置分析法）
因为左右两端不站甲 ，
故第一步先从甲以外的
5
个人中任选两人站在左右两端，
2
42
4
有
A
5
种；第二步再让剩余的
4
个人（含 甲）站在中间
4
个位置，有
A
4
种，故站法共有：
A
5

A
4

480
（种）


二
.
相邻问题用捆绑法




对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”
：即将这几个元素看作一个整体，视为一
个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。



例
2. 5
个男生和
3
个女生排成一排，
3
个女生 必须排在一起，有多少种不同排法？

6
3




解：把
3
个女生视为一个元素，与
5
个男生进行排列，共有
A
6
种，然后女生内部再进行排列，有
A
3
6
3
种 ，所以排法共有：
A
6
。


A
3

4320
（种）

三
.
相离问题用插空法





元素相离（即不相邻 ）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置
之间和两端的空中。


例
3. 7
人排成一排，甲、乙、丙
3
人互不相邻有多少种排法？





解：先将其余
4
人排成一排，有
A
4
种，再往
4
人之间及两端的
5
个空位中让甲、乙、丙插入，有A
5
种，所以排法共有：
A
4

A
5

1440
（种）


四
.
定序问题用除法





对于在排列中，当某些 元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将
n
个元素进行全排列有
A
n< br>种，
m
m
(
m

n
)
个元素的全排 列有
A
m
种，由于要求
m
个元素次序一定，因此只能取其中的某一种 排法，可以
n
A
n
利用除法起到调序的作用，即若
n
个元素 排成一列，其中
m
个元素次序一定，则有
m
种排列方法。

A
m
4
3
4
3
n
1

排列组合二项式
递推数列求通项
常见题型解法自用资料集



例
4.
由数字
0
、
1
、
2< br>、
3
、
4
、
5
组成没有重复数字的六位数，其中个位 数字小于十位数字的六位数有多
少个？

1
5




解：不考虑限制条件，组成的六位数有
A
5
种，其中个位与十位上 的数字一定，所以所求的六位

A
5
数有：

1
5
A
5

A
5





300
（个）

2
A
2

五
.
分排问题用直排法





对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。



例
5. 9
个人坐成三排，第一排
2
人，第二 排
3
人，第三排
4
人，则不同的坐法共有多少种？





解：
9
个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件 ，所以三排可以看作一排来处理，不同的坐标共
9
有
A
9
种。


六
.
复杂问题用排除法





对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无 限制条
件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要注意做到不重不漏。



例
6.
四面体的顶点和各棱中点共有
10
个 点，取其中
4
个不共面的点，则不同的取法共有（




）





A. 150
种


B. 147
种


C. 144
种


D. 141
种

4




解：从
10
个点中任取
4
个点有
C
10
种 取法，其中
4
点共面的情况有三类。第一类，取出的
4
个点位于
4< br>四面体的同一个面内，有
4
C
6
种；第二类，取任一条棱上的
3
个点及该棱对棱的中点，这
4
点共面，有
6
种；第三类，由中位线 构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱）
，它的
4
个点共4
4
面，有
3
种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有：
C
10
。


4
C
6

6

3

141
（种）

七
.
多元问题用分类法





按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最后计算总数。



例
7.
已知直线
ax

by

c

0
中的
a
，
b
，
c是取自集合
{
－
3
，－
2
，－
1
，< br>0
，
1
，
2
，
3}
中的
3
个不同的
元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。

a

0
，即
a
，
b
异号。

b




（
1
）若
c
＝
0
，
a
，
b
各有
3
种取法，排除
2
个重复（
3
x

3
y

0
，
2
x

2
y

0
，
x

y

0
）
，故有：



解：设倾斜角为

，由

为锐角，得
tan



3
×
3
－
2
＝
7
（条）。





（
2
）若
c< br>
0
，
a
有
3
种取法，
b
有
3
种取法，而同时
c
还有
4
种取法，且其中任意两条直线均不相< br>同，故这样的直线有：
3
×
3
×
4
＝
36< br>（条）
。





从而符合要求的直线共 有：
7
＋
36
＝
43
（条）


八
.
排列、组合综合问题用先选后排的策略





处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。



例
8.
将
4
名教师分派到
3
所中学任 教，每所中学至少
1
名教师，则不同的分派方案共有多少种？

2

排列组合二项式
递推数列求通项
常见题型解法自用资料集

2
1
1
C
4

C
2

C
1




解：
可分两步进行：
第一步先将
4名教师分为三组
（
1
，
1
，
2
）
，< br>（
2
，
1
，
1
）
，
（
1< br>，
2
，
1
）
，
共有：

6
2
A
2
3
（种）
，第二步将这三组教师分派到
3
种 中学任教有
A
3
种方法。由分步计数原理得不同的分派方案共有：
2
1
1
C
4

C
2

C
1
3
。因此共有
36
种方案。


A

36
（种）
3
2
A
2

九
.
隔板模型法





常用于解决整数分解型排列、组合的问题。



例
9.
有
10
个三好学生名额，分配到
6
个班，每班至少
1
个名额，共有多少种不同的分配方案？





解：< br>6
个班，可用
5
个隔板，将
10
个名额并排成一排，名额之间 有
9
个空，将
5
个隔板插入
9
个空，
5
每 一种插法，对应一种分配方案，故方案有：
C
9

126
（种）



例说二项式定理的常见题型及解法

二 项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率
理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。
二项式定理在每年的高考中基本上都有考 到，
题型多为选择题，
填空
题，
偶尔也会有大题出现。
本文将针对高 考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，
希望能够起到抛砖引玉的作用。

一、求二项展开式

1
．
“
(
a

b
)
”型的展开式

n
例
1
．求
(3
x

1
x
4
)
4
的展开式；

解：原式
=
(
3
x

1
(
3
x

1
)
4
)
=
x
2
x

1
0
1
2
3
4
4
3
2
[
(
3
x
)

(
3
x
)

(
3
x
)

(
3
x
)

]

C
C
C
C
2
C
4
4
4
4
4
x
1
4
3
2








=
2
(
81
x

84
x

54
x
12
x

1
)

x
12
1
2


54









=
81
x

84
x

x
x
2
=

小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高 考题
目中会有体现的。

2
．

“
(
a

b
)
”型的展开式

n

例
2
．求
(
3
x

1
x
)
4
的展开式；

3

排列组合二项式
递推数列求通项
常见题型解法自用资料集

分析：解 决此题，只需要把
(
3
x

1
x
)
4改写成
[
3
x

(

1
x
) ]
4
的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。
本题主要考察了学生的“问题转化” 能力。

3
．二项式展开式的“逆用”

例
3
．计 算
1

3
解：原式
=
0
n
n
< br>9

27

....

(

1)
3
c
n
；

C
n
C
nC
n
1
2
3
3
1
2
3
n1
2
3
n
n
n
C
n

Cn
(

3
)

C
n
(
3
)

C
n
(

3
)
....

C
n
(

3
)

(
1

3
)

(

2
)

小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。

二、通项公式的应用

1
．确定二项式中的有关元素

例< br>4
．已知
(
9
a
x
9

)
的展开式中
x
3
的系数为
4
x
2
r
9，常数
a
的值为
















解：
T
r

1

r

9
a
9

r
x
r
r
r
9

r
2
2


C
(
)
(

)

C
9
(

1
)

2

a

x
x
2
r
3




令
3
r

9

3
，即
r

8

2
8
C
9
(

1
)
8

2

4

a
9

8

依题意，得

9
4
，解得
a


1

2
．确定二项展开式的常数项

例
5
．
(
x

3
1
x
)
10
展开式中的常数项是













解：
T
r

1

C
(
x
)
r
10
10

r
(
3
1
x
)

(

1
)
C
x
r
r
r
10
5
5

r< br>6






令
5
< br>5
r

0
，即
r

6
。

6
6
6
C
10

210





所以常数项是
(

1
)
3
．求单一二项式指定幂的系数

例
6
．
（
03全国）
(
x
解：
T
r

1
1
9
)
展开式中
x
9
的系数是







；

2
x
1
1
1
1
r
r
r

C
9
(
x
2
)
9

r
(

)
r
=
C
9
x
18

2
r
(

)
r
(
)
r
=
C
9
(

)
r
x
18

3
x

2
x
2
x
2
2




令
18

3
x


3

9
,
则
r

3
，从而可以得到
x
9
的系数为：

1
3
21
21
(

)


，
填


C
9
22
2
2
三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数

例
7
．
(
x

1
)

(
x

1
)

(
x

1
)
3

(
x

1
)
4

(
x

1
)
5
的展开式中，
x
2
的系数等 于

4

排列组合二项式
递推数列求通项
常见题型解法自用资料集

解：x
的系数是四个二项展开式中
4
个含
x
的，则有



C
2
(

1
)
0< br>0
1
2
3
0
1
2
3

C< br>3
(

1
)
1

C
4
(< br>
1
)
2

C
5
(

1< br>)
3


(
C
2

C
3< br>
C
4

C
5
)


20

2
2
2






例
8
．
（
02
全国）
（
x
1
)(
x

2
)
7
的展开式中，
x< br>3
项的系数是








；







解：在展开式中，
x
的来源有：

①

第一个因式 中取出
x
，则第二个因式必出
x
，其系数为
3
2
3
C
6
7
(

2
)
6
；

4
②

第一个因式中取出
1
，则第二个因式中必出
x
，其系数为
6
4
4
(

2
)

C
7

x
3
的系数应为：
C
7
(

2
)
6

C
7
(

2
)
4

1008
,

填
1008
。

四、利用二项式定理的性质解题

1
．

求中间项

例
9
．求（
x

3
r
1
x
)
10
的展开式的中间项；

1
x< br>1
x
解：

T
r

1

C
10
(
x
)
10

r
(

3
5
6
)
r
,

展开式的中间项为
C< br>10
(
x
)
5
(

3
5
)
5



即：

252
x
。


当
n为奇数时，
(
a

b
)
的展开式的中间项是
当
n
为偶数时，
(
a

b
)
的展开式的中间 项是
2
．

求有理项

例
10
．求
(
n
n
C
C
n

1
2
n
n
2
n
a
n
2
n

1
2
n
2
b
n

1
2
和
C
n

1
2
n
a
n

1
2
b
n

1
2
；

a
b
。

x

3
r
1
x
)
10
的展开式中有理项 共有












项；

解：

T
r

1

C
10
(
r
)
10
< br>r
(

3
1
x
)

C
10
(

1
)
x
r
r
r
10

4
r
3


当
r

0
,
3
,
6
,
9
时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项 有
4
项。

①

当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；

②

当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。

3
．

求系数最大或最小项

（
1
）

特殊的系数最大或最小问题

例
11
．
（
00
上海）在二项式
(
x

1< br>)
的展开式中，系数最小的项的系数是






；

解：

T
r

1
11

C
11
x
11

r
(
< br>1
)
r

5

r
排列组合二项式
递推数列求通项
常见题型解法自用资料集


要使项的系数最小，则
r
必为奇数，且使
C
11
为最大 ，由此得
r

5
，从而可知最小项的系数为
r
C
5
11
(

1
)
5


462
（
2
）

一般的系数最大或最小问题

< br>例
12
．求
(
x

1
2
4
x
)
8
展开式中系数最大的项；



解：记第< br>r
项系数为
T
r
，设第
k
项系数最大，则有















T
k

T
k

1
r

1

r

1
T

.
2
，那么有







又

r
C
8
T

T
k

1

k
k

1

k

1
k

2


C
8
.
2

k

2

C
8
.
2


k

1

k

1
k

k

C
8
.
2


C
8
.
2













8
!
8
!



2


(
k

1
) !.(
9

K
)!
(
K

2
)! .(
10

K
)!













即


8
!
8
!


2


(
K

1
)!.(
9
K
)!
K
!
(
8

K
)!

2

1


K

2
















K

1
2
1



9

K
K
解得
3

k

4
，


系数最大的项为第
3
项T
3

7
x
（
3
）

系数绝对值最大的项

例
13
．在（
x

5
2
和第
4
项
T
4

7
x
7
2
。

y
)
7
的展开式中，系数绝对值最大项是






；

n
n
解：求系数绝对最大问题 都可以将“
(
a

b
)
”型转化为

(a

b
)
故此答案为第
4
项
2
53
4
C
7
x
y
，和第
5
项

C
7
x
y
。

4
5

型来处理，

五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和







例
14
．若
(
2
x













则
(
a
0
3
)
4

a
0

a
1
x

a
2
x
2

a
3
x
3

a
4
x
4
，


a
2

a
4
)
2

(
a
1

a
3
)
2
的值为







；


解：


(
2
x












令
x











令
x
3
)
4

a
0

a
1
x

a
2
x
2

a
3
x
3

a
4
x
4


1
，有
(
2

3
)
4

a
0

a
1

a
2

a
3

a
4
，



1
，有
(

2

3
)
4

(
a
0

a
2

a
4
)

(
a
1

a
3
)

6

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