排列组合知识点汇总及典型例题
萌到你眼炸
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2021年01月28日 06:03
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心中不灭的光-修养类谚语
一．基本原理
1
．加法原理：做一件事有
n
类办法，则完 成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2
．乘法原理：做一件事分
n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．
排
列
：
从
n
个
不
同
元素
中
，
任
取
m
（
m
≤
n）
个
元
素
，
按
照
一
定
的顺
序
排
成
一
m
列，叫做从
n
个不同元 素中取出
m
个元素的一个排列，所
有排列的个数记为
A
n
.
1.
公式：
1.
2.
m
A
n
n
n
1
n
2
…
…
n
m
1
n
!
n
m
!
规定：
0!
1
(1)
n
!
n
(
n
1)!,(
n
1)
n
!
(
n
1)!
(2)
n
n
!
[(
n
1)
1]
n
!
(
n
1)< br>
n
!
n
!
(
n
< br>1)!
n
!
；
(3)
n
n
1
1
n
1
1
1
1
(
n
1)!
(
n
1)!
(
n
1) !
(
n
1)!
n
!
(
n
1)!
m
n
三．组合：从
n
个不同元素中任取
m
（
m
≤
n
）个元素并组成一组，叫做从
n
个不同的
m
元素中任取
m
个元素的组合数，记作
Cn
。
n
n
1
……< br>
n
m
1
A
m
n< br>!
n
1.
公式：
C
m
!
m
!
n
m
!
A
m
m
2
.
组合数性质：
C
n
①
若
C
n
1
m
规定：
C
n
0
1
m
n
m
m
m
1
m
0
1
n
n
C
n
，
C
n
C
n
C
n
1
，
C
n
C
n
…
…
C
n
2
；②
；③
；④
r
r
r
1r
r
r
r
r
1
r
r
rr
1
注：
C
r
r
C
r< br>r
1
C
r
r
2
< br>L
C
n
1
C
n
C< br>r
1
C
r
1
C< br>r
2
L
C
n
1
< br>C
n
C
r
2
C
r< br>
2
L
C
n
1
C< br>n
C
n
1
m2
C
n
则
m
1
=m
2
或< br>m
1
+m
2
n
四．处理排列组合应用题
1.
①明确要完成的是一件什么事（审题）
②有序还是无序
③分步还是分类。
2
．解排列、组合题的基本策略
（
1
）两种思路：①直接法；
②间接法：对有限制条件的问题，先 从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。
（
2
）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注 意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所
有各类的并集为全集。
（3
）
分步处理：
与分类处理类似，
某些问题总体不好解决时，
常 常分成若干步，
再由分步计数原理解决。
在处理排列组合问题时，
常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。
（
4
）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。
3
．排列应用题：
（
1
）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；
(2)
、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；
（
3
）．相邻问题：捆邦法：
对于某些元素要求相邻的排列问题， 先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。
（
4
）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊 位置时可采用插空法
.
即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相
邻接元素在已排 好的元素之间及两端的空隙之间插入。
（
5
）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插
解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，
可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，
然 后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。
即先全排，再除以定序元素的全排列。
解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若 定序元素要求从左到右或从右
到左排列，则只有
1
种排法；若不要求，则有
2
种排法；
（
6
）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略
对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再 进行“小团体”内部的排列。
（
7
）分排问题用“直排法”把元素排成几排 的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。
（
8
）．数字问题（组成无重复数字的整数）
①
能被
2
整除的数的特征：末位数是偶数；不能被
2
整除的数的特征：末位数 是奇数。②能被
3
整除的数的特征：各位数字之和是
3
的倍数；
< br>③能被
9
整除的数的特征：
各位数字之和是
9
的倍数④能被< br>4
整除的数的特征：
末两位是
4
的倍数。
⑤能被< br>5
整除的数的特征：
末位数是
0
或
5
。
< br>⑥能被
25
整除的数的特征：末两位数是
25
，
50
，
75
。
⑦能被
6
整除的数的特征：各位数字之 和是
3
的倍数的偶数。
4
．组合应用题：（
1
）
.
“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法
:
（
2
）．
“含”与“不含”
用间接排除法或分类法
:
3
．分组问题：
均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。
非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。
混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。
4
．分配问题：
定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。
随机 分配：（不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀 分组组数的阶乘。
5
．隔板法：
不可分辨的球即相同元素分组问题
例
1.
电视台连续播放
6
个广告，
其中含
4
个不同的商业广告和
2
个不同的公益广 告，
要求首尾必须播放公益广告，
则共有
种不同的
播放方式（结果用数值表示）
.
2
4
2
4
解：分二步：首尾必须播放公益广告的有
A
2
种；中间
4
个为不同的商业广告有
A
4
种，从而应当填
A
2
·
A
4
＝
48.
从而应填
48
．
例人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？
解一：间接法 ：即
6
5
5
4
A
6
A
5
A
5
A
4
720
2< br>
120
24
504
解二：（
1
）分类求解：按甲排与不排在最右端分类
.
(1)
甲排在最右端时
,
有
共有
5
1
1
4
种排法；
(2)
甲不排在最右端（甲不排在最左端）时，则甲有
A
4
种排法，乙有
A
4
种排法，其他人有
A
4< br>种排法，
A
5
1
1
4
5
1
1
4
种排法，分类相加得共有
A
5
+
A
4
A
4
A
4
=504
种排法
A
4
A
4
A
4
例
.
有
4
个男生，
3
个 女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？
分析一：先在
7
个位置上任取
4
个位置排男生，有
A
7< br>种排法
.
剩余的
3
个位置排女生，因要求“从矮到高”，只有
1
种排法，故共有
A
7
·
1=840
种
.
1.
从
4
台甲型和
5
台乙型电视机中任取
3
台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有
解析
1
：逆 向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有
C9
3
3
3
C
4
C
5
70
种
,
选
.
C
2
1< br>1
2
C
5
C
4
70
台
,
选
C
.
4
4
解析
2
：
至少要甲型和乙
型电视机 各一台可分两种情况：
甲型
1
台乙型
2
台；
甲型
2
台乙型
1
台；
故不同的取法有
C
5
C
4< br>2
．从
5
名男生和
4
名女生中选出
4
人去参 加辩论比赛
（
1
）如果
4
人中男生和女生各选
2
人 ，有
种选法；
（
2
）如果男生中的甲与女生中的
乙必须在内，有
种选法；
（
3
）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有
1
人在内，有
种选法；
（
4
）如果
4
人中必须既有男生又有女生，有
种选法
分析：本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题
.
由于 选出的人没有地位的差异，所以是组合问题
.
解：（
1
）先从男生 中选
2
人，有
C
5
种选法，再从女生中选
2
人，有
C
4
种选法，所以共有
C
5
C
4
=60< br>（种）；
（
2
）除去甲、乙之外，其余
2
人可以从 剩下的
7
人中任意选择，所以共有
C
2
C
7
=21
（种）；
（
3
）在
9
人选
4
人 的选法中，把甲和乙都不在内的去掉，得到符合条件的选法数：
C
9
4
22
2
2
2
2
C
7
4
=91
（种）；
4
C
5
4
C4
=120
（种）
.
1
3
1
32
2
3
3
2
直接法，则可分为
3
类：只含甲； 只含乙；同时含甲和乙，得到符合条件的方法数
C
1
=91
（种）
.
C
7
C
1
C
7
C
2
C
7
C
7
C
7
C
7
（
4
）在
9
人选
4
人的选法 中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数
C
9
直接法：分别按照含男生
1
、
2
、
3
人分类，得到符合条件的选法为
C5
C
4
1
3
4
2
3
1
C
5
2
C
4
C
5
C
4=120
（种）
.
1
．
6
个人分 乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐
4
人，则不同的乘车方法数为
(
)
A
．
40
B
．
50
C
．
60
D
．
70
C
6
[
解析
]
先分组再排列，一组
2
人一组
4
人有< br>C
＝
15
种不同的分法；两组各
3
人共有
2
＝
10
种不同的分法，
所以乘车方法数为
25
×
2
＝
50
，
故选
A
2
B.
2
．有
6
个座位连成一排，现有
3
人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有(
)
A
．
36
种
B
．
48
种
C
．
72
种
D
．
96
种
3
2
[
解析
]
恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人， 然后插空，从而共
A
3
A
4
＝
72
种排法，故选< br>C.
3
．只用
1,2,3
三个数字组成一个四位数，规定这 三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有
(
)
A
．
6
个
B
．
9
个
C
．
18
个
D
．
36
个
1
[
解析
] < br>注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有
C
3
＝
3(
种
)
选法，即
1231,1232,12 33
，
2
2
而每种选择有
A
2
×
C
3
＝
6(
种
)
排法，所以共有
3
×
6< br>＝
18(
种
)
情况，即这样的四位数有
18
个．
4
．男女学生共有
8
人，从男生中选取
2
人，从女生 中选取
1
人，共有
30
种不同的选法，其中女生有
(
)
A
．
2
人或
3
人
B
．
3
人或
4
人
C
．
3
人
D
．
4
人
2
1
[
解析
]
设男生有
n
人，则女生 有
(8
－
n
)
人，由题意可得
C
n
C8
－
n
＝
30
，解得
n
＝
5
或
n
＝
6
，代入验证，可知女生为
2
人或
3
人．
5
．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共
10
级，上楼可以一步上 一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用
8
步走完，则方法有
(
)
A
．
45
种
B
．
36
种
C
．
28
种
D
．
25
种
2
[
解析
] < br>因为
10
÷
8
的余数为
2
，故可以肯定一步一个台阶 的有
6
步，一步两个台阶的有
2
步，那么共有
C
8
＝
28
种走法．
6
．某公司招聘来
8
名员工，平 均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分
在同一个部门，则不同的分配方案共有
(
)
A
．
24
种
B
．
36
种
C
．
38
种
D
．
108
种
[
解析
]
本题考查排列组合的综合应用，
据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，
共有
2
种方法，
第二步将
3
名电脑编程人员分成两组，
一组
1
1
2
1
人另一组
2
人，共有
C
3
种分法，然后再分到两部门去共有
C
3
A
2
种方法，第三步只需将其 他
3
人分成两组，一组
1
人另一组
2
人即可，由于是每个< br>1
1
2
1
部门各
4
人，故分组后两人所去的部门就已 确定，故第三步共有
C
3
种方法，由分步乘法计数原理共有
2C
3< br>A
2
C
3
＝
36(
种
)
．
7
．已知集合
A
＝
{5}
，
B
＝
{1,2}
，
C
＝
{1,3,4}
，从这三个集合中各取一个元素构 成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为
(
)
A
．
33
B
．
34 C
．
35
D
．
36
1
3
[
解析
]
①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不 含
1
的有
C
2
·
A
3
＝
12个；
1
3
3
②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有
1
个
1
的有
C
2
·
A
3
＋A
3
＝
18
个；
1
③所得空间直角坐标系中 的点的坐标中含有
2
个
1
的有
C
3
＝
3< br>个．
故共有符合条件的点的个数为
12
＋
18
＋< br>3
＝
33
个，故选
A.
8
．由
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
组成没有重复数字且
1
、
3
都不与
5
相邻的六位偶 数的个数是
(
)
A
．
72
B
．
96 C
．
108
D
．
144
2
1
2
2
3
3
[
解析
] 分两类：若
1
与
3
相邻，有
A
2
·
C
3
A
2
A
3
＝
72(
个
)
，若
1
与
3
不相邻有
A
3
·
A
3
＝
36(
个
)
故共有
72
＋
36
＝
108
个．
9
．
如果在一周内
(
周一至周日
)
安排三所学校的学生参 观某展览馆，
每天最多只安排一所学校，
要求甲学校连续参观两天，
其余学校均只参观 一天，
那么不同的安排方法有
(
)
A
．
50
种
B
．
60
种
C
．
120
种
D
．
210
种
1
[
解析
]
先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有
6
种：
(1,2)< br>、
(2,3)
、
(3,4)
、
(4,5)
、
(5,6)
、
(6,7)
，甲任选一种为
C
6
，然后
2
1
2
在剩下的
5
天中任选
2
天有序地安排其余 两所学校参观，
安排方法有
A
5
种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安 排方法
C
6
·
A
5
＝
120
种，
故选
C.
10
．
安排
7
位工作人员在
5
月
1
日到
5
月
7
日值班，
每人值班一天，
其中甲、
乙二人都不能安排在
5
月
1
日和
2
日，
不同的安排方法共有
________
种．
(
用数字作答)
2
5
[
解析
]
先安排甲、乙两人在后
5
天值班，有
A
5
＝
20(
种
)
排法，其余
5
人再进行排列，有
A
5
＝
120(
种
)
排法，所以共有
20
×
120
＝
2400(种
)
安排
2
6
3
方法．
11
．今有
2
个红球、
3
个黄球、
4
个白球，同色球不加以区 分，将这
9
个球排成一列有
________
种不同的排法．
(用数字作答
)
4
2
3
[
解析
]
由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有
C
9
·C
5
·
C
3
＝
1260(
种
)
排法．
12
．
将
6
位志愿者分成
4
组 ，
其中两个组各
2
人，
另两个组各
1
人，
分赴世博 会的四个不同场馆服务，
不同的分配方案有
________
种
(
用 数字作答
)
．
2
2
C
6
C
4
4
[
解析
]
先将
6
名志愿者分为
4
组，共有
2
种分法，再将
4
组人员分到
4
个不同场馆去，共有
A< br>4
种分法，故所有分配
A
2
2
2
C
6
·
C
4
4
方案有：
2
·
A
4
＝
1 080
种．
A
2
13
．要在如图所示的花圃 中的
5
个区域中种入
4
种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有
_ _______
种不同的种法
(
用数
字作答
)
．
[
解析
]
5
有
4
种种法，
1
有
3
种种法，
4
有
2
种种法．若
1、
3
同色，
2
有
2
种种法，若
1
、< br>3
不同色，
2
有
1
种种法，
∴有
4
×
3
×
2
×
(1
×
2
＋
1
×
1)
＝
72
种．
14.
将标号为
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
的
6
张卡片放入
3
个不同的信封中．若每个信封放
2张，其中标号为
1
，
2
的卡片放入同一信封，则不同的方法
共有
（
A
）
12
种
（
B
）
18
种
（
C
）
36
种
（
D
）
54
种
【解析】标号
1,2的卡片放入同一封信有
种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有
种方法，共有< br>种，
故选
B.
15.
某单位安排
7
位员 工在
10
月
1
日至
7
日值班，每天
1
人， 每人值班
1
天，若
7
位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在
10
月
1
日，丁不
排在
10
月
7
日，则不同的 安排方案共有
A. 504
种
B. 960
种
C. 1008
种
D. 1108
种
解析：分两类：甲乙排
1
、
2
号或
6
、
7
号
共有
2
2
1
4
A
2
A
4
A
4
种方法
2
4
1
1
3
(
A
4< br>
A
3
A
3
A
3
)
种方法
甲乙排中间
,
丙排
7
号或不排
7
号，共有
4
A
2
故共有
1008
种不同的排法
排列组合
二项式定理
1
，分类计数原理
完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法
（每一种都可以独立的完成 这个事情）
分步计数原理
完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法
2
，
排列