全球女性创业者大会-歌星陈琳

2021年1月28日发(作者：guanzhu)
高中数学常用解题方法之定义法

定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭 示了客观世界的事物的
本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，< br>是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。


所谓定义法，就是直接用 数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则
等，
都是由定义和公理推演出来。
定 义是揭示概念内涵的逻辑方法，
它通过指出
概念所反映的事物的本质属性来明确概念。

一．奇（偶）函数的定义


一般地，对函数
f(x)
，如果对于定义域内每一个
x
，都有
那么函数
f(x)
就叫做奇函 数；如果都有
f
(

x
)

f
(
x
)
f
(

x
)


f
(
x
)
，
，那么函数
f(x)
叫做偶函
数．奇偶函 数的定义域关于原点对称．

例
1.
设函数
f(x)
和g(x)
分别是
R
上的偶函数和奇函数
,
则下列结论恒成立的是
(

)
(A)f(x)+|g(x)|
是偶函数
(B)f(x)-|g(x)|
是奇函数

(C)|f(x)|+g(x)
是偶函数
(D)|f(x)|-g(x)
是奇函数

解析
:
选
A.< br>∵
g(x)
是
R
上的奇函数
,
∴
|g(x) |
是
R
上的偶函数
,
从而
f(x)+|g(x)|
是偶函数。

例
2
．判断下列函数的奇偶性．

1
－
x
4
－
x
2
2
2
(1)
f(
x
)
＝
3
－
x
＋
x
－3
；

(2)
f
(
x
)
＝
(
x
＋
1)
；

(3)
f
(
x
)
＝
.
1
＋x
|
x
＋
3|
－
3
2

< br>3
－
x
≥
0
，

解析
(1)
由

得
x
＝
±
3.
∴
f
(x
)
的定义域为
{
－
3,3}
．

2


x
－
3
≥
0












又
f
(3)
＋
f
(
－
3)
＝0
，
f
(3)
－
f
(
－
3)
＝
0
，即
f
(
x
)
＝
±
f
(
－
x
)
．


∴
f
(
x
)
既是奇函数，又是偶函数．

1
－
x


≥
0
，







(2)
由

1
＋
x


1
＋
x
≠
0

＝
得－
1<
x
≤
1.
∵
f
(< br>x
)
的定义域
(
－
1,1]
不关于原点对称．


∴
f
(
x
)
既不是奇函数，也不是偶函数．

2


4
－
x
≥
0
，







(3)
由

得－
2
≤
x
≤
2
且
x
≠
0.


|
x
＋
3|
－
3
≠
0


∴
f
(
x
)
的定义域为
[
－
2,0)
∪
(0,2]
，关于原点对称．< br>

∴
f
(
x
)
＝
4
－
x
2

x
＋
3

－
3
4
－
x
2
x
.

∴
f
(
x
)
＝－
f
(
－
x
)
，∴< br>f
(
x
)
是奇函数．

注：先求定义域，看定义域是 否关于原点对称，在定义域下，解析式带绝对值号
的先尽量去掉，再判断
f(-x)
与
f(x)
的关系，分段函数应分情况判断
.
1
＋
a
是奇函数，则
a
＝
________.
2
－
1
1
1

解析

∵
f
(
x
)
为奇函数，∴
f
(
－
x
)
＝－
f
(
x
)
．即
x
＋
a＝－
x
－
a
.
－
2
－
1
2
－
1
例
3
．若
f
(
x
)
＝
x
2
x
－
1
1










∴
＋
a
＝－
－
a
.
∴
＝
2
a
，∴
a
＝
.
x
x
x
2
1
－
2
2
－
1
2
－
1
2
x
1
例
4.
设
f(x)
为定义在
R
上的奇函数
,
当
x
≥
0
时,f(x)=2
x
+2x+b(b
为常数
),
则
f(- 1)=(

)
(A)-3


(B)-1


(C)1


(D)3
解：
选< br>A.
因为
f(x)
为定义在
R
上的奇函数
,
所以有
f(0)=2
0
+2
×
0+b=0,
解得
b =-1,
所以当
x
≥
0
时
,f(x)=2
x
+2x-1,
所以
f(-1)=-f(1)=-(2
1
+2
×1-1)=-3
。

二．周期性函数的定义


一般地，对函数
f(x)
，存在非零正常数
T
，如果对于定义域内每一个x
，都
有
f
(
x

T
)
< br>f
(
x
)
，
那么函数
f(x)
就叫周期函数 ，
T
叫函数
f(x)
的周期．
特别地，
1
，且当< br>x
∈
[
－
3
，－
2]
时，
f

x

对于
k
∈
Z
且
k
≠0
，
kT
也是函数
f(x)
的周期．

例1
．设偶函数
f
(
x
)
对任意
x
∈< br>R
，都有
f
(
x
＋
3)
＝－
f(
x
)
＝
2
x
，则
f
(113.5)
的值是
(


)
2
2
1
1






A
．－
7






B.
7







C
．－
5




D.
5


解析：选
D
∵
f(
－
x
)
＝
f
(
x
)
，f
(
x
＋
6)
＝
f
(
x
＋< br>3
＋
3)
＝－
1
f
(
x

3
)
＝
f
(
x
)
，
∴
f
(
x
)
的周期为
6.
∴
f
(113.5)
＝
f
(19
×
6
－
0.5)
＝
f
(
－
0.5)
＝
f
(0.5)
＝
f
(－
2.5
＋
3)
＝－
1
f
(

2
.
5
)


1
2

(

2
.
5
)

1
5
，
. 例
2.
已知定义在
R
上的函数
f(x)
是偶函数
,
对
x
∈
R
都有
f(2+x)=f(2-x),
当
f(-3)=-2
时
,f(2 007)
的值为
(

)
(A)2

(B)-2

(C)4

(D)-4

解析：
选
B .
∵函数
f(x)
是
R
上的偶函数
,
∴
f (2+x)=f(2-x)=f(x-2),

∴
f(x+4)=f(x),
故函数
f(x)
是以
4
为周期的偶函数
,

∴
f(2 007)=f(3)=f(-3)=-2.
例
3
．定义 在
R
上的偶函数
f
(
x
)
满足：
f
(
x
＋
1)
＝－
f
(
x
)
，且 在
[
－
1,0]
上是增函数，
给出下列关于
f
(< br>x
)
的判断：


①
f
(
x
)
是周期函数；
②
f
(
x
)
的图象关于 直线
x
＝
2
对称；
③
f
(
x
)< br>在
[0,1]
上是增函
数；④
f
(
x
)在
[1,2]
上是减函数；⑤
f
(4)
＝
f
( 0)
．

其中判断正确的序号是
________
．



解析

f
(
x
＋
1)
＝－
f
(
x
)
⇒
f
(
x
＋2)
＝
f
(
x
)
，故
f
(
x
)
是周期函数．又
f
(
x
)
＝
f
(
－
x
)
，所
以
f
(
x
＋
2)
＝
f
(
－
x
)
，故
f
(< br>x
)
关于直线
x
＝
1
对称，由此可得①⑤正确．【答案】

①
⑤

三、增函数和减函数的定义：


一般地，
设函数
f(x)
的定义域为
I
：
如果对于定义域
I
内某个区间
D
上的任
意两个自变量的值< br>x
1
,
x
2
，当

x
1
间
D
上是增函数．


如果对 于定义域
I
内某个区间
D
上的任意两个自变量的值
x
1,
x
2
，
当

x
1
都有
f< br>(
x
1
)

f
(
x
2
)< br>
x
2

x
2
，都有
f
(
x
1
)

f
(
x
2
)
那么就说函 数
f(x)
在区
，
那么就说函数
f(x)
在区间
D
上是减函数
.

例
1.
定义在
R
上的函 数
f(x)
满足
f(x+y)=f(x)+f(y),
当
x<0时
,f(x)>0,
则函数
f(x)
在
[a,b]
上有
(

)
(A)
最小值
f(a)
(B)
最大值
f(b) (C)
最小值
f(b) (D)
最大值
f(
a

b
2
)

解析
:
选
C.
设
x
1
2,
由已知得
f(x
1
)=f((x
1
-x
2< br>)+x
2
)=f(x
1
-x
2
)+f(x
2
).

又
x
1
-x
2
<0,
∴
f(x
1
-x
2
)>0,
∴
f( x
1
)>f(x
2
),
即
f(x)
在
R< br>上为减函数
.

∴
f(x)
在
[a ,b]
上亦为减函数
.
∴
f(x)
min
=f(b),f( x)
max
=f(a),
故选
C.

例
2.已知
f(x)=
x
x

2
(x
≠
a) ,
试证
f(x)
在
(-
∞
,-2)
上单调递增.
x
1
x
1
＋
2

x
2

解析
:
任设
x
1
2
<-2,
则
f(x
1
)-f(x
2
)=
x
2
＋< br>2
（
x
1
＋
2
）
（
x
2< br>＋
2
）
=
2
（
x
1

x< br>2
）
.

∵
(x
1
+ 2)(x
2
+2)>0,x
1
-x
2
<0,
∴
f(x
1
)2
),

∴
f(x)
在
(-
∞
,-2)
上单调递增
.
例
3.
已知函数

x

4
x
,
x

0
,

f(x)=

2


4
x

x
,
x

0
,
2
若
f(2-a
2
)>f(a),
则实数
a
的取值范围是

(A)(-
∞
,-1)
∪
(2,+
∞
) (B)(-1,2)
(C)(-2,1) (D)(-
∞
,-2)
∪
(1,+
∞
)
解析：< br>选

（
x

2
）

4
,< br>x

0
,

x

4
x
< br>C.f(x)=


2
2

x

2
）

4
,
x

0
,


4
x

x

（
2
2
图

由
f(x)
的图
1
可知
f(x)
在
(-< br>∞
,+
∞
)
上是单调增函数
,
由
f(2-a
2
)>f(a)
得
2-a
2
>a,
即
a
2
+a-2<0,
解得
-2例
4.
已知函数
（
,

3
a

2
）
x< br>
6
a

1
（
x
＜
1
）< br>f(x)=

x
单调递减
,
那么
a
（
x

1
）

2
3
a
的取值范围是

(A)(0,1)
(B)(0,
)
(C)[
,
8
3
2
3
)
(D)[
,1)
8
3
8
2
3
3
解析：< br>选

3
a

2
＜
0
,
< br>C.
由题意知需满足
:

0
＜
a
＜
1,

1
（

1

6
a

1

a

3
a

2
）


a
＜
.

例
5
．
已知
f(
x
)
在区间
(0
，
＋∞
)
上是减函 数，
那么
f
(
a
2
－
a
＋
1)< br>与
是
(


)
f
(
3
4
)
的大小关系

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