四川省成都市第七中学2020-2021学年高三入学考试理科数学试题含答案
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2021年01月28日 06:50
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成都七中
2020~2021
学年度上期
2021
届高三 入学考试
数学试卷（理科）
考试时间：
120
分钟总分：
150
分
一、选择 题（每小题
5
分，共
60
分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求
.
把答案
涂在答题卷上
.
）
1.
已知集合
A
A.
1
3
i
1
i
x
,
y
y
2
x
1
，
B
x
,
y
y
x
，则
A
2
B
（
）
D.
B.
1
的模是（
）
C.
1,1
1
,
1
2.
复数
z
A.
1
B.
x
2
x
C.
2
D.
6
3.
已知命题
p
:
x
,0
,2
3
；命题
q
:
x
0,
A.
p
q
C.
p
q
,sin
x
x
，则下列命题为真命题的是（
）
2
B.
p
q
D.
p
q
4.
抛物线< br>W
:
y
2
4
x
的焦点为
F
，
点
A
在抛物线上，
且点
A
到直线
x
3
的距离是线段
AF
长度的
2
倍，
则线 段
AF
的长度为（
）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
5.
一组数据的平均数是
4.8
，方差是
3.6
，若将这 组数据中的每一个数据都加上
60
，得到一组新数据，则
所得新数据的平均数和方差分 别是
(
)
A. 55.2,3.6
C. 64.8,63.6
1
3
2
3
1
3
B. 55.2,56.4
D. 64.8,3.6
大小关系是（
）
D.
b
c
a
6.
设
a
2
，
b
1
，
c
1
，则
a
，
b，
c
3
3
3
A.
a
b
c
B.
a
c
b
C.
c
a
b
7.
一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积可能为（
）
A.
1
2
8.
若
,
A.
16
65< br>2
4
5
为锐角，且满足
cos
，
cos(
)
，则
sin
的值为（
）
5
13
33
56
63
B.
C.
D.
65
65
65
B.
2
C.
1
D.
2
n
1
9. < br>已知数列
a
n
满足
a
n
3
2
，
现将该数列按下图规律排成蛇形数阵
（第
i< br>行有
i
个数，
，
n
N
*
，
i
N
*
）
*
从左至右第
i
行第
j
个数记为
a
i
,
j
（
i
、
j
N
且
j
i
）
， 则
a
21,20
（
）
a
1
a
2
a
6
a
7
a
15
a
3
a
5
a
8
a
14
a
4
a
9
a
13
a
10< br>a
12
a
11
B.
3
2
212
C.
3
2
230
D.
3
2
211
A.
3
2
231
10.
已知函数
f(
x
)
sin(
x
)
，其中
0
，
0
，
f
(
x
)
f
上恰有两个零点， 则
的取值范围是（
）
A.
(6,10)
B.
(6,8)
C.
(8,10)
f
(
x
)
在区间
0,
恒成立 ，且
4
4
D.
(6,12)
11.
正方形
ABCD
A1
B
1
C
1
D
1
中，
若
CM
2
MC
1
，
P
在底面
ABCD
内运动，
且满足
的轨迹为（
）
DP
CP
，
则点
P
D
1
PMP
A.
圆弧
12.
已知函数
f
x
B.
线段
C.
椭圆
一部分
D.
抛物线的一部分
f
x
1
f
x
2
m
x
1
x
2
1
1
1
2ln
x
x
,
x
0,
0,
的定义域为
，若对任意 的
，
1
2
2
x
x
x
1
2
x
2
e
x
2
e
1
2
恒成立，则实数
m
的取值范围为（
）
A.
,3
B.
,4
C.
,5
二、填空题（本大题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分，把答案填在答题卷的横线上
.
）
13.
在空间直角坐标系
O
xyz
中， 记点
A
1,2,3
在
xOz
平面内的正投影为 点
B
，则
OB
________
．
x
2
14.
已知
x
，< br>y
满足
y
x
，则
z
2
x
y
的最大值为
____________
.
x
y
2
15.
在
ABC
中，
a
，
b
，
c
分别是角
A
，
B
，
C
的对边，且
则
a
的值为
______.
cos
B
b
，若
b
13
，
a
c
4
，
cos
C
2
a
c
x
2
y
2
x
2
y
2
16.
已知椭圆
：
2
2
1
与双曲线
：
2
2< br>
1
共焦点，
F
1
、
F
2
分别为左 、右焦点，曲线
与
在第
a
b
m
n一象限交点为
P
，
且离心率之积为
1.
若
sin
F
1
PF
2
2sin
PF
1
F
2
，
则该双曲线
的
D.
,6
离心率为
____________
.
三、解答题（共
70
分，
22
与
23
题二选一，各
10
分，其余大题均为12
分）
17.
设数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，且
a
1
< br>1,
a
n
1
2
S
n
1
，数列
b
n
满足
a
1
b
1
，点
P
b
n
,
b< br>n
1
在
x
y
2< br>
0
上，
n
N
*.
（
1
）求数列
a
n
，
b< br>n
的通项公式；
（
2
）设
c
n
b
n
，求数列
c
n
的前< br>n
项和
T
n
a
n
．
18.
某厂生产不同规格的一种产品，
根据检测标准，
其合格产品的质量< br>y
g
与尺寸
x
(mm)
之间近似满足关
系式
y
c
x
b
（
b
，
c
为大于
0
的常数）
.
按照某指标测定，当产品质量与尺 寸的比在区间
(0.302,0.388)
内时
为优等品
.
现随机抽 取
6
件合格产品，测得数据如下：
尺寸
x
(mm)
38
48
58
68
78
88
质量
y
(
g
)
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
质量与尺寸的比
y
x
0.442
0.392
0.357
0.329
0.308
0.290
（
1
）现从抽取的
6
件合格产品中再任选
2
件，求选中的
2
件均为优等品的概 率；
（
2
）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：
ln
x
ln
y
i
i
i
1
6
ln
x
i
i
1
6
ln< br>y
i
i
1
6
< br>ln
x
i
i
1
6
2
75.3
24.6
18.3
101.4
根据所给统计量，求
y
关于
x
的回归方程
.
附： 对于样本
v
i
,
u
i
(
i< br>
1
,2,
n
n
,6)
，其回归直线
u
b
v
a
的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别 为：
ˆ
b
v
v
u
u
v
u
nvu
i
i
i
i
2
i
i
1
v
v
i
i
1
n
2
i
1
n
v
i
1
nv
2
ˆ
，
e
2.7183
.
，
a
ˆ
u
bv
19.
如图，在以
P
为顶点
圆锥中，母线长为
2
，底面圆的直径
A B
长为
2
，
O
为圆心
.
C
是圆
O
所在平面
上一点，且
AC
与圆
O
相切
.
连 接
BC
交圆于点
D
，连接
PD
，
PC
，< br>E
是
PC
的中点，连接
OE
，
ED
.
（
1
）求证：平面
PBC
平面
P
AC
；
（
2
）若二面角
B
PO
D
的大小为
2
，求面
P< br>AC
与面
DOE
所成锐
二面角的余弦值
.
．
3
x
2
y
2
20.
已知抛物线
x
4
y
，
F
为其焦点，椭圆
2
2
1
(
a
b
0)
，< br>F
1
，
F
2
为其左右焦点，离心率
a
b2
e
1
4
6
，过
F
作
x< br>轴的平行线交椭圆于
P
,
Q
两点，
|
PQ
|
.
2
3
（
1
）求椭圆的标准方程；
（
2
）过抛物线上一 点
A
作切线
l
交椭圆于
B
,
C
两点，设< br>l
与
x
轴的交点为
D
，
BC
的中点为
E
，
BC
的中
垂线交
x
轴为
K
，
KED
，
FOD
的面积分别记为
S
1
，
S
2
，
若
坐标．
21.
已知函数
f
x
x
1
e
，
g
x
a
l n
x
，其中
e
是自然对数的底数
.
x
S
1
18
，
且点
A
在第一象限．
求点
A< br>的
S
2
49
（
1
）若曲线
y
f
x
在
x
1
处的切线与曲线< br>y
g
x
也相切
.
求实数a
的值；
（
2
）设
h
x
bf
x
g
x
a
，求证：当
0
b
1
时，
h
x
恰好有
2
个零点
.
e
（
22
题与
23
题为选做题，二选一）
1
x
t
t
22.
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
（
t
为参数）
.
1
y
t
2< br>
4
t
2
（
1
）求 曲线
C
普通方程；
（
2
）以
O
为极点，
x
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线
l
的极坐标 方程为
与曲线
C
交于
A
,
B
两点，求线段
AB
的长度
AB
.
23.
已知函数
f
x
x
（
1
）求M
；
（
2
）证明：当
a
，
b
M
时，
2
1
ab
≥
a
< br>b
．
6
，
（
R< br>）
，直线
l
1
1
x
，
M
为不等式
f
x
2
的解集．
4
4
参考答案
考试时间：
120
分钟总分：
150
分
一、选择 题（每小题
5
分，共
60
分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求
.
把答案
涂在答题卷上
.
）
1. C
2. B
.
3. C.
4.
B
5.D
6. B
7. B
8. B
9. D
10. A
11. A
12. B
二、填空题（本大题共
4
小题，每小题< br>5
分，共
20
分，把答案填在答题卷的横线上
.
）
13.
在空间直角坐标系
O
xyz
中，记点
A
1,2,3
在
xOz
平面内的正投影为点
B< br>，则
OB
________
．
【答案】
10
【解析】
分析】
根据正投影定义确定点
B
坐标，再根据空间两点距离公式求结果
.
【详解】因为点
A
1,2,3
在
xOz
平面内 的正投影为
1,0,3
，即
B
1,0,3< br>
，
所以
OB
1
2
+0+3< br>2
=
10
故答案为：
10
【点睛】本题 考查空间直角坐标正投影以及空间两点距离公式，考查基本分析求解能力，属基础题
.
x
2
14.
已知
x< br>，
y
满足
y
x
，则
z
2
x
y
的最大值为
___________ _.
x
y
2
【答案】
1
【解析】
【分析】
作可行域，作目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．
【详解】作可行域，如 图
ABC
内部（含边界）
，作直线
l
:
2
x
y
0
，
y
x
x
1
由
得
，即C
(1,1)
，
x
y
2
y
1
平移直线
l
，向上平移时
z
2
x
y
增大，∴当直线
l
过点
C
(1,1)
时，
z
2
x
y
取得最大值
1
．
故答案为：
1
．
【点睛】本题考查简单的线性规划，作出可行域是解题关键．
15.
在< br>ABC
中，
a
，
b
，
c
分别是角
A
，
B
，
C
的对边，且
则
a
的值为
______
.
【答案】
1
或
3
【解析】
【分析】
利用正弦定理把边角关系式转化为角的三角函数关系式，再利用两角和的正 弦公式化简该式可得
B
cos
B
b
，若
b
13
，
a
c
4，
cos
C
2
a
c
2
，
3
利用余弦定理可求
a
的值．
详解】
cos
B
b
，
co s
C
2
a
c
即有
2
a
cos
B
b
cos
C
c
cosB
，
即
2sin
A
cos
B
sin
B
cos
C
cos
C
si n
B
sin
B
C
sin
A
，
即有
cos
B
【
【
又
a
c
4
，
解得，
a
1
，
c
3
或
a
3
，
c
1
.
故答案为：
1
或
3
．
而确定用什么定理解决问题．
【答案】
1
2
， 由于
B
为三角形的内角，则
B
，
2
3
又
b
2
a
2
c
2
2
ac
cos
B
，即有
13
a
2
c
2
ac
，
【点睛】在解三角形 中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种
混合关系式转化为边 的关系式或角的关系式
.
另外，注意分析三边三角中哪些是已知的，哪些是未知的，从
x
2
y
2
x
2
y
2
16.
已知 椭圆
：
2
2
1
与双曲线
：
2
2
1
共焦点，
F
1、
F
2
分别为左、右焦点，曲线
与
在第< br>a
b
m
n
一象限交点为
P
，
且离心率之积为
1.
若
sin
F
1
PF
2
< br>2sin
PF
1
F
2
，
则该双曲线的离心 率为
____________.
5
1
2
【解析】
分析】
根据正弦定理，
可得
PF
2
c
，
根据椭圆与双曲线定义可求得
a
m
c
，
结合椭圆与双曲线的离心率乘积
为
1，
可得
c
2
m
2
mc
0
，进而求得双曲线的离心率
e
【详解】设焦距为
2c
c
．
m
在三角形
PF
1
F
2< br>中，根据正弦定理可得
PF
2
sin
F
1
PF
2
F
1
F
2
sin
PF
1
F
2
因为
sin
F1
PF
2
2sin
PF
1
F2
，
代入可得
F
1
F
2
2
PF
2
，
所以
PF
2
c
在椭圆中，
PF
1
PF
2
PF
1
c
2
a
在双曲线中，
PF
1
PF
2
PF
1
c
2
m
所以
PF
1
2
a
c
,
PF
1
2
m
c
即
2
a
c
2
m
c
所以
a
m
c
因为椭圆与双曲线的离心率乘积为
1
c
c
c
2
即
1
，
即
a
a
m
m
c
2
所以
m
c
m
化简得
c2
m
2
mc
0
，
等号 两边同时除以
m
2
c
c
c
得
1
0
，因为
即为双曲线离心率
m
m
m
所 以若双曲线离心率为
e
，则上式可化为
e
2
e
1
0
由一元二次方程求根公式可求得
e
因为双曲线中
e
1
所以
e
2
1
5
2
1
5
2
【点睛】本题考查了椭圆与双曲线性 质的综合应用，正弦定理的应用，双曲线离心率的表示方法
，
计算量
复杂，属于难题．
三、解答题（共
70
分，
22
与
23
题 二选一，各
10
分，其余大题均为
12
分）
17. 设数列
a
n
的前
n
项和为
Sn
，且
a
1
1,
a
n
1
2
S
n
1
，数列
b
n
满足
a
1
b
1
，点
P< br>
b
n
,
b
n
1
在< br>x
y
2
0
上，
n
N
*.
（
1
）求数列
a< br>n
，
b
n
的通项公式；