数学的发展历史概述
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数学的发展历史概述
数学史研究证明：数学的发源地除古代非洲的尼罗河，还有西亚的底格里斯河和幼发拉
底河、中南亚的印度河和恒河、东亚的黄河和长江。
知识简介：
尼罗河－世界上最长的大河
尼罗河纵贯非洲大陆东北部，
流经布隆迪、卢旺达、坦桑尼亚、
乌干达、埃塞俄比亚、苏丹、埃及，
跨越世界上面积最大的撒哈拉沙漠，最后注入地中海
。流域面积约
335
万平方公里，占非洲大陆面积的九
分之一
，
全长
6650
公里
，
年平均流量每秒
3100
立方米，
为世界最长的河流
< br>。
尼罗河——阿拉伯语意为
“大
河”
。
“尼罗，尼罗，长比天河”
，是
苏丹人民赞美尼罗河的谚语。
古埃及人在这里创造出高度的文明。
世界三大河流：非洲尼罗河、南美洲亚马逊河、亚洲长江
中
国
第
一
大
河
—
—
长
江
长江的上源沱沱
河出自青海省西南边境唐古拉山脉各拉丹冬雪山，干流全长
6300
公里
。以干流长度
和入海水量论，长江均
< br>居世界第三位
。
长江流经青海
、西藏、四川、重庆、云南、湖北、湖南、江西、安徽、江苏、上海，注入东海。
长江在湖北省宜昌市以上为上游，宜昌至江西省湖口间为中游，湖口以下为下游
长江流域是中国人口密集经济繁荣的地区，
沿江重
要城市有重庆、武汉、南京、上海。
长江在四川奉节以下至湖
北宜昌为雄伟险峻的
三峡江段（瞿塘峡、巫峡、西陵峡）
世界最大的水利枢纽工程
三峡工程位于西陵峡中段的三斗坪
（
1994
年
12
月
14
日开工，
总
工期
17
年）
中
华
民
族
的
母
亲
河
—<
/p>
黄
河
黄河，
发源于青海省巴颜喀拉山脉的约古宗列渠，流经青海、四川、甘肃、宁夏、内蒙古、陕西、山
西、河南、山东
9
个省区，最后于山东省东营垦利县注入渤
海。
干流河道全长
5464
千米，
仅次于长江，
为中国第二长河
,
世界第五长河
黄河从源头到内蒙古自治区托
克托县河口镇为上游，河口镇至河南郑州桃花峪间为中游，桃花峪以下为下游
.
数学的发展史一般分为四个时期
（有很多分法）<
/p>
，
即数学的萌芽时期，古代数学时期，
近
代数学时期和现代数学时期。
一、数
学萌芽时期
（
公元前
6
世纪以前
）
1.
“
数”概念的产生
早在
远古时代，人类就已具备了识别事物
多少
的能力。逐渐地，这种
原始的“数觉”经过
漫长的历史演进，发展并形成了“数”的概念。早期人类在对事物数
量共性的认识与提炼中，
获取数的概念，
从而播下了人类文明史
上的数学火种。
大约发生于
30
万年以
前的这一过程可
能与早期人类对火的认识与使用一样悠久而漫长。
数对于人类文明的意义决不亚于火的使用
。
当对“数”的认识变得越来越明确时，人们开始对其表达萌生了一种冲动，于是就有了
< br>记数（实物记数、书写记数）
的产生。
最早比较成功的计数方式可能来自于最方便的实物工具，那就是人类自己的
手指
。一只
手上的五个指头可以被现成地用来表示五个以内事物的集
合。两只手上的指头合在一起，不
超过
10
个元素的集合就有办法表示。
当十指不够用时，
随处可见的
石子
便成了当然的替代与补充。
但记数的石子堆，
很难长久
保存信息，于是
又有了
结绳记数
和
书契
(qi)
记数
。
结绳记数是我国原始公社时期的一种计量方法，
是原始公社时期社会生产力
发展到一定程
度，由于社会生活的实际需要而产生的。
《周易<
/p>
·
系辞下》
：
“
上古结绳而治
”
。传说结绳记数，
始于伏羲时代。
西汉时曾经出现伏羲与女娲结绳的画像；
在东汉武梁祠的浮雕上还刻有
“
伏羲
仓精，初造王业，画卦结绳，以理海内
”
的铭文。<
/p>
原始公社时期，代结绳记事而起的一种比较进步的计量方法是书
契记数。
《周易
·
系辞下》
：
“
上古结绳而治，后世圣人易之以书契
”
。
“
书
”
指文字，刻字在竹、木或龟甲、兽骨上以记数，
称
为
“
书契
”
。
1
结绳
、刻痕之法大约持续了有数万年之久，才迎来书写记数的诞生。
大约距今五千年左右，
人类历史上开始先后出现一些不同的
书
写记数
方法
（数字的产生）
。
随之逐步形成各种
较为成熟的记数系统
。如
古埃及的象形数字
（公元前
3400
年左右）
、古巴
比伦的
楔
(xie)
形数字
（公元前
2400
年左右）
、中国的
< br>甲骨文数字
（公元前
1600
年
左右）以及
中美洲的
玛雅数字
（约公元
前
1000
年左右）
。到公元前
500
年左右，人类关于书写记数的方
法已经
发展得相当完善，如
古希腊数字
、
古罗
马数字
、中国的
算筹数码
。
在这些记数系统中，除了巴比伦楔形数字采用六十进制、
玛雅数字
采用二十进制外，其
他均属十进制数系。由中
国人首创的
十进位值制记数法
，对人类文明尤其是一项特殊贡献
。
记数系统的出现使数与数之间的书写运算成为可能，在此基础上初等算术便在几个古老
的文
明地区发展起来。
2.
形概念的产生
< br>与算术的产生相仿，最初的几何知识也从人们对形的直觉中萌发出来。史前人类首先从
自然界本身提取几何形式，如注意到圆月与挺松在形象上的区别，并从圆月处获得圆形的感
< br>悟。他们还把自己的这种感悟再现于器皿制作、建筑设计和绘画装饰。
（
埃及陶罐
）
经验的几
何知识随着人们的实践活动而不断扩展，不过在不同的地区，几何学的这种实
践来源方向
不尽相同。
古埃及
几何学产生于尼罗
河泛滥后土地的重新丈量。埃及是世界上文化发达最早的几个
地区之一，位于尼罗河两岸
，公元前
3200
年左右，形成一个统一的国家。尼罗河定期泛
滥，
淹没全部谷地，水退后，要重新丈量居民的耕地面积。由于这种需要，多年积累起来
的测地
知识便逐渐发展成为几何学。
公元前
2900
年以后，埃及人建造了许多金字塔，作为法老的
坟墓。从金字塔的结构，可
知当时埃及人已懂得不少天文和几何的知识。
现今对古埃及数学的认识，主要根据两卷用僧侣文写成的纸草书（见上右彩图
）
；一卷藏
在伦敦，叫做莱因德纸草书，一卷藏在莫斯科。两卷
纸草书的年代在公元前
1850
～前
1
650
年之间，相当于中国的夏代。纸草书给出圆面积的计算方法、正四棱台体积的计算
方法。
古巴比伦几何学是与实际测量有密切联系的。从许多具
体例子可以看到，巴比伦人在公
元前
2000
< br>到
1600
年，就已熟悉了计算长方形面积、直角三角形
和等腰三角形（也许还不知
道一般三角形）面积，有一边垂直于平行边的梯形面积、长方
形的体积，以及以特殊梯形为
底的直棱柱体积的一般规则。
<
/p>
古代印度几何学的起源则与宗教实践密切相关，公元前
8
世纪至
5
世纪就有对祭坛与寺
< br>庙建造中几何问题及其求解法则的记载。
在
古代中国
，几何学的起源更多地与天文观测相联系。至晚成书于公元前
2
世纪的中国
数学经典
《周髀（
bi
）算经》
，就是一部
讨论西周初年（公元前
1100
年左右）天文测量中所
用数学方法的著作。不过在此之前，即夏禹治水之初，规矩准绳之用在中国已相当普遍。
（
伏
羲规矩
）
（四大文明古国简介：见视频）
附：古埃及文明
很少文明能够像古埃
及人那样，在历史上留下如此永难消逝的记号。
古埃及从公元
3
500
年开始，经早王朝、古王国、中王国、新王国、后埃及和希腊、罗马统治时代，直
至
公元
641
年被阿拉伯人征服为止<
/p>
，
先后持续了
4000
< br>年的文明，
为世界文明的发展作出了杰
出的贡献。
在这
4000
年里，
古埃及经历了从分散、
独立的城市国家到统一王国的历史阶段，
又从统一王国发展到称霸亚非的古代世界第一大帝国，后被希腊、罗马、阿拉伯所征服。
（古埃及文明：见课件）
见
证
：
卡拉克神殿是埃及规模最大的多元化神殿，
为神殿王者。占地二十公顷。其中极品
--
埃及之柱
,
共十四双。
2
一
、
已<
/p>
走
过
从
前
：
尼罗河入境埃及，贯穿南北。在他的孕育下，发热，发光。创造了埃
及独特的文化，
滋生了无穷的神秘与风采。在尼罗河迷
濛
的夜色中，浮现了炫丽的开罗之夜，充满浪漫与神奇。
梦妲
(da)
栅花园，一座充满土耳其与意大利风格
的国王宫殿，为土耳其统治埃及时的国王避暑胜地。
1922
年
，埃及独立后，即对外开放。这座国王宫殿已成为梦妲栅饭店。
“弥纳之家”大饭店为“开罗会谈”的场所。第二次世界大战结束前夕，公元
1943
年
12
月
22
日。
中华民国
(
蒋中正
)
，美国
(
< br>罗斯福
)
，英国
(
邱吉尔
)
三国元首在埃及首都开罗举行会谈。
二
、
永
恒
的
沙
漠
:
巴哈利亚绿洲为游牧民族常驻之处
白
色沙漠
:
撒哈拉沙漠分为三个区域：白色沙漠、黄色沙漠、黑色
沙漠。此为白色沙漠一景。找不见
人迹，见不到绿荫，摸不著甘露，闻不到烟火！体验唯
一的灼热、炎阳。哈拉沙漠奇特的黑色沙漠
:
蔚蓝
的天空下有黑色的山峦、黑色的地貌、黑色地毡。如似一幅梦幻中的奇景！
拉美西斯二世
,
在
13
世纪曾统治
埃及
长达
67
年之久
金字塔参考资料：在尼罗河的西岸，从开罗附近的吉沙
Giza
到上埃及的希拉康坡里斯一带，分布
着大大小小近一百座金字塔．金字塔一词是中国人对古埃及的角锥体陵墓的形象化的称呼，因为这种建筑
物的外形类似汉字中金字的外形．古埃及人称之為麦尔
Mr
,
意為国王及其父太阳神升天
的地方．至於现
代西方通用的
Pyramid
一词来源於古希腊文的
Pyramis
，意為小麦饼，因為古希腊人见到金字塔，联
想
到他们吃惯的叁角形小麦饼，故名之．最早建造的金字塔是第叁王朝名建筑师伊姆霍太
普
(Imhotep)
為其君
主左塞王
(Djoser)
建造的，
这就是有名
的梯阶金字塔．
最早按标準设计的金字塔是第四王朝斯尼弗鲁王的金
字塔，座落在达赫舒尔
(Dahshur)
，不过，第一个
并不成功，变成了弯曲金字塔，斯尼弗鲁王不满意，后来
又建造了第二个，这次成功了，
因為塔身用红色石灰石覆盖，所以人们称之為红色金字塔．斯尼弗鲁的儿
子胡夫，在开罗
近郊尼罗河的西岸吉沙
(Giza)
建造金字塔，塔高原
146.5
米（现减损為
137.2
米）
，基底边
长
230
.38
米（现减损為
227.5
米）<
/p>
，角度為
51
度
51
分，塔身共计
250
层，以平均<
/p>
2.5
吨重的
230
万块石材
砌成，总计约
570
万吨
重．因為这个金字塔最大，所以人们称為大金字塔．在大金字塔的东西南面，分佈
着一些
王妃的金字塔及王室人员的马斯塔巴．距离胡夫大金字塔
160
米处，有一座胡夫的儿子哈夫拉金字
塔，这座金字塔着名处在於他有一个举世闻名的狮身
人面像相伴；在哈夫拉金字塔西南
200
米处，还有一
座孟考拉
(Menkaure)
金字塔，规模只
有胡夫大金字塔的一半，这叁座金字塔，人们通称之為吉沙叁大金字
塔．
阿
尔忒
(te)
弥斯神庙
附：中国传统数学
（中国古代数学：见课件）
数学名著——《算经十书》
《算经十
书》是指汉、唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时候国子监算学科（国家
所设学校的数学科）的教科书。十部算书的名字是：
《周髀算经》
、
《九章算术》
、
《海岛算经》<
/p>
、
《五曹算经》
、
《孙子算经》
、
《夏侯阴算经》
、<
/p>
《张丘建算经》
、
《五经算术》
、
《缉古算经》
、
《缀
zhui
术》
。
这十部算书，以《周髀算经》为最早，不知道它的作者是谁，据考证，它成书的年代
当不晚于西汉后
期（公元前一世纪）
。
《九章算术》
，也不知道确实的作者是谁，只知道西汉早期的著名数学家张苍（前
201
—前
152
）
、耿寿昌等人都曾经对它进行过增订删补。三国时期刘徽作过注。第三部是《海岛算经》
，它是
刘徽（约
225
—约
295
）所作。
《五曹算
经》
、
《五经算术》
为
[
北周
]
甄鸾撰。
《孙子算经》
、
《夏侯阴算经》
、
《张丘建算经》
、
《缉古算
经》为
唐武德八年
(625)
王孝通撰
，
《缀
zhui
术》是南北朝时期著名数学家祖冲之
的著作。
宋元数学，从它的发展速度之快、数学著作出现之多和取得成
就之高来看，都可以说是中国古代数学
史上最光辉的一页。
<
/p>
特别是公元十三世纪下半叶，在短短几十年的时间里，出现了秦九韶（
1202
—
1261
）
、李冶（
1192
—
12
79
）
、杨辉、朱世杰四位著名的数学家。所谓宋元算书就指的
是一直流传到现在的这四大家的数学著作，
包括：秦九韶著的《数书九章》
（公元
1247
年）
，李冶
的《测圆海镜》
（公元
1248
年）和
《益古演段》
（公
3
元
1259
年）
，杨辉的《
详解九章算法》
（公元
1261
年）<
/p>
、
《日用算法》
（公元
< br>1262
年）
、
《杨辉算法》<
/p>
（公元
1274
—
1275
年）
，朱世杰的《算学启蒙》
（公元
1299
年）和《四元玉鉴》
（公元
1303
年）
。
二、
古代数学时期
（
公元前
6
世纪至公元
16
世纪末
）
古代数学
(
即常量数学、初等数学
)
时期，数学研究的主要对象是常数、常量和不变的图
形。
公元前六世纪，希腊几何学的出现成为第一个转折点，数学从此由具
体的、实验的阶段，
过渡到抽象的、理论的阶段，开始创立初等数学。此后又经过不断的
发展和交流，最后形成
了几何、算术、代数、三角等独立学科。这一时期的成果大致相当
于现在中小学数学课的主
要内容。
1
．希腊文明
古代希腊从地理疆城上讲，
包括巴尔干半岛南部
、
小亚细亚半岛西部、
意大利半岛南部、
西西里岛及爱琴海诸岛等地区。这里长期以来由许多大小奴隶制城邦国组成，其发展可分为
雅典时期和亚历山大时期两个阶段。
雅典时
期各学派多以哲学探讨为主，但他们的研究活动极大地加强了希腊数学的理论化
色彩，这
一时期始于泰勒斯
为首的伊奥尼亚学派
，其贡献在于开创了命题
的证明，为建立几
何的演绎体系迈出了第一步。
稍后有毕达哥拉
斯领导的学派
，
这是一个带有神秘色彩的政治、
宗教、哲学团体，以“万物皆数”作为信条，将数学理论从具体的事物中抽象出来，予数学
以特殊独立的地位。公元前
480
年以后，雅典成为
希腊的政治、文化
中心，各种学术思想在
雅典争奇斗妍，演说和辩论时有所见，在这种气氛下，数学开始从个别学派闭塞的围墙里跳
< br>出来，来到更广阔的天地里。这个时期出现了
古希腊的四大学派
< br>，
埃利亚学派
提出四个著名
的悖
论，迫使哲学家和数学家深入思考无穷的问题。
智人学派
提出几
何作图的三大问题，使
希腊人的兴趣发展为从理论上去解决这些问题，是几何学从实际应
用向演绎体系靠拢的又一
步。柏拉图在雅典创办著名的
柏拉图学
派
，培养了一大批数学家，成为早期毕氏学派和后来
长期活跃的
亚历山大学派之间联系的纽带。柏拉图的学生
亚里士多德
是形式
主义的奠基者，
其逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路。
约公元前
325
年，亚历山大大帝征服了希腊和近东、埃及，他在尼罗河口附近建立了亚
历山大里亚城，
亚历山大大帝死后他创建的帝国分裂为三个独立的王国，但仍联合在古希腊
文化的约束下
，史称希腊化国家。统治了埃及的托勒密一世大力提倡学术，多方网罗人才，
在亚历山大
里亚建立起一座空前宏伟的博物馆和图书馆，使这里取代雅典，一跃而成为古代
世界的学
术文化中心。
由于地理位置和自然条件，古希腊受到埃及、巴
比伦这些文明古国的许多影响，成为欧
洲最先创造文明的地区之一。从公元前
775
年左右，希腊人开始发展他们的文化，随着古代
西方世界的各条知识支流在希腊汇合起来，经过古希腊哲学家和数学家的过滤和澄清，形成
< br>了长达千年的灿烂的古希腊文化。从公元前
6
世纪到公元
4
世纪，古希腊成了数学发展的中
心。
2
．论证数学的发端
（
1
）伊奥尼亚学派
--
泰勒斯
伊奥尼
亚位于小亚细亚西岸，它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国积累下
来的经验
和文化。在伊奥尼亚，氏族贵族政治为商人的统治所代替，商人具有强烈的活动性，
有利
于思想自由而大胆地发展。城邦内部的斗争，帮助摆脱传统信念。在希腊没有特殊的祭
司
阶层，也没有必须遵守的教条，因此有相当程度的思想自由。这大大有助于科学和哲学从
宗教中分离开来。
米利都是伊奥尼亚的最大城市，也是泰勒斯
的故乡。泰勒斯生于公元前
624
年，是公认
< br>的希腊哲学鼻祖。早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很快就学会古代流传下来的
知识，并加以发扬。以后创立伊奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以
4
水为万物的根源。
当时天文、数学和哲学是不可分的，泰勒斯同时也研究天文和数学。他曾预测到一次日<
/p>
食，促使米太
(
在今黑海、里海之南
)
、吕底亚
(
今土
耳其西部
)
两国停止战争。多数学者认为该
次日食发生在公元前
585
年
5<
/p>
月
28
日。
他在
埃及时曾利用日影及比例关系算出金字塔的高度，
使法老大为惊讶。
泰勒斯在数学方面的贡献是开始了命题的证明，它标志着人们对客观事物的认识从
感性
上升到理性，这在数学史上是一个不寻常的飞跃。伊奥尼亚学派的著名学者还有阿纳
克西曼
德和阿纳克西米尼等。他们对后来的毕达哥拉斯有很大的影响。
< br>
泰勒斯是演绎几何学的鼻祖，开数学证明之先河，据说他最先证明了如下的定理
：
1.
圆被任一直径二等分；
2.
等腰三角形的两底角相等；
3.
两条直线相交，对顶角相等；
4.
半圆
的内接三角形，一定是直角三角形；
5.
如果两个三角形有一条边以及这
条边上的两个角对应相等，那么这两个三角形全等。
泰勒斯在天文学方面也曾有不同凡响的工作，据说他曾测知公元前
5
85
年
5
月
2
8
日的
一次日全食。当时正值战争之际，泰勒斯向世人宣告，若
不停战，到时天神震怒！到了那天
下午，两派将士仍激战不已，霎时间，太阳在天空中消
失，星辰闪烁，大地一片漆黑。双方
将士见此景象，砍太阳神真的发怒了，要降罪于人类
，于是立即罢兵休战，从此铸剑为犁，
和睦相处。
泰勒斯的墓碑上镌刻的颂辞：
“
他是一位圣贤，
又是一位天文学家，
在日月
星辰的王国里，
他顶天立地、万古流芳
”
。
（
2
）毕达哥拉斯
在论证
数学的方向上，泰勒斯迈出了第一步，但希腊数学著作的评注者们还是倾向于将
论证数学
的成长归功于毕达哥拉斯及其创建的秘密会社
--
毕达哥拉斯学
派。
毕达哥拉斯公元前
580
年左右生于萨摩斯
(
今希腊东部小岛
)
。为了摆脱暴政，移居意大
利半岛南部的克洛托内
，在那里组织一个政治、宗教、哲学、数学合一的秘密团体。后来在
政治斗争中遭到破坏
，毕达哥拉斯被杀害，但他的学派还继续存在两个世纪
(
约公元
前
500
～
前
300)
之久。
毕达哥
拉斯非常重视数学，企图用数来解释一切．这个学派不仅仅认为万物都包含数，
而且说万
物都是“数”
。这学派有一种习惯，
就是一切发明都归功于学派
的领认而且常常是秘
而不宣．所以后人很难知道究竞是谁在什么时候发明的。
该学派发现并证明了勾股定理，这个学派最为尊崇的信条是“万物皆数”
。这里的“数”
仅指整数。分数则是两个整数之间的一种比值关
系。他们认为所有的数皆由
1
而生，并命之
为“原因数”
。学派成员希帕苏斯是不可公度线段的首位发现者，
< br>“无理数”深深困扰住了古
希腊的数学家们。他们所面临的这一逻辑困难，被称为
“第一次数学危机”
。
毕达哥拉斯学
派另一项几何成就是正多面体作图、
“
黄金分割
”
、首创地圆说、音乐理论
的始祖。
< br>
3
．雅典时期
毕达哥拉斯学派在政治上倾向于贵族制，
在希腊民主力量高涨时期受
到冲击并逐渐解体。
毕达哥拉斯本人也逃离克洛托内，不久被杀。希腊波斯战争（公元前
490--
前
449
< br>）以后，雅
典成为希腊民主政治与经济文化的中心，希腊数学也随之走向繁荣。这
时学术繁荣，学派林
立，主要学派有：
（
1
）爱利亚学派
爱利亚是公元前
6
< br>世纪意大利南部城邦，
爱利亚学派的主要人物
德莫克里特
提出原子论
观点，他认为线段、面积和立体，是由有限个不可再分的原子构成的．计算体
积就等于将这
些原子集合起来。
5
芝诺是这一学派的另一个主要人物，他第一次企图揭露运动
的矛盾，提出了四个违背常
识的悖论：二
分法、阿基里斯追龟、
飞矢不动、运动场。这些悖论给学术界以极大的骚动，余
波至今
未息。
（
2
）诡辩学派
公元前
5
世
纪，雅典成为人文荟萃的中心，人们崇尚公开的精神。在公开的讨论或辩论
中，必须具有
雄辩、修辞、哲学及数学等知识，于是
“
智人学派
”(
诡辩学派、哲人学派
)
应运而
生。他们以教授文法、逻辑、数学、天文、修辞、雄辩等科目为业。在数学上，他
们提出
“
三
大问题
”
：
①三等分任意角；
②倍立方，即求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍；
③化圆为方，即求作一正方形，使其面积等于一已知圆。
问题的难处，是作图只许用直尺
(
没有刻度
的尺
)
和圆规。希腊人的兴趣并不在于图形的
< br>实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题。这是几何学从实际应用向系统理
论过渡所迈出的重要的一步。
这个学派的安提丰
(
约公元前
430)
提出用
< br>“
穷竭法
”
去解决化圆为
方问题，
是近代极限理论的雏形。
先作圆内接
正方形，
以后每次边数加倍，
得
8
，
16
，
32
、
……
边形，这样继续下去，安提丰深信<
/p>
“
最后
”
的多边
形与圆的
“
差
”
必会
“
穷竭
”
。这提供了求圆面
积的近似方法，和中国的刘徽
(
约
263
年前后
)
的割圆术思想不谋而合。
（
3
）柏拉图学派
公元前
4000
年，古希腊哲学进入系统化阶段，其代表人物有
柏拉图和亚里士多德。
公元前
427
年柏拉图生于雅典的一个名门
望族。在雅典建立学派，创办学园。他非常重
视数学，主张通过几何的学习培养逻辑思维
能力，因为几何能给人以强烈的直观印象，将抽
象的逻辑规律体现在具体的图形之中。这
个学派培养出不少数学家，如欧多克斯
--
创立了比
例论，亚里士多德
--
形式逻辑的奠基者。
柏拉图非常重视数学，传说在他的学园门口写着；
< br>“不但几何者不得入．
柏拉图在教学中为科学奠定了基
础，坚持准确的定义、清楚的假设和逻辑的证明．他对
数学有很大的功劳．在他的倡导下
，柏拉图学派中产生了不少数学家．
欧多克斯曾一度是柏拉图
的学生，在天文、几何、医学和法律方面都有值得称道的成就。
他是最早介绍球面天文和
描述星座的希腊科学家，在数学方面，最大的功劳是创立了比例
论．欧几里得《几何原本
》第
5
卷《比例论》大部分来自欧多克萨期的工作。
（
4
）亚里士多德学派
亚里斯
多德，
古希腊著名哲学家、
自然科学家，
西方文艺理论的真正奠基者。
公元前
384
< br>年生于爱琴海北岸的哈尔基迪凯半岛上的达吉罗斯，
其父是马其顿国王阿明塔斯二
世的御医。
母亲法伊斯提来自优卑亚岛的哈尔基斯。亚里斯多德早年丧父，由监护人
“
抚养
”
。
17
岁赴雅
典就读于柏拉图的
“
学园
”
，受教
20
年。为学员中出类拔萃者。
柏拉图去世后，亚里斯多德曾受马其顿王之聘，教育太子亚历山大。回雅典后，亚里斯
多德自立学派
--
亚里士多德学派
，
专心教育和著述，经常在走廊边走边讲授，后世称他为
< br>“
逍
遥学派
”
< br>。恩格斯称他是古代
“
最博学的人
”
。中世纪的人把他奉为圣人，其思想影响西方数千
年之久．
亚里士多德是形式逻辑的莫基者，有名的逻辑推理
“
三段论
”
就是他提出来的。他非
常重视数学，他为
希腊几何的公理化在逻辑思想上奠定了基础。
4
．
希腊数学的黄金时代
-
---
亚历山大学派
埃及的
亚历山大城
，是东西海防交通的枢纽，又经过
托
勒密王
的加意经营，逐渐成为新
的希腊文化渊泉，希腊本土这时
已退居次要地位。
亚历山大前期是指从公元前
4
世纪到公元前
146
年古希
腊灭亡，罗马成为地中海区域的
统治者为止．从这以后一直到公元
641
年阿拉伯人攻占亚历山大为止，称为亚历山大后期，
前
后持续千年。
6
这两个时期的特点，是几何脱离了哲学而独立从用实验和观察以建立起自己结果的经验
< br>科学，过渡为
演绎的科学
。从不多的几个原始命题
(
公理
)
开始，作为
逻辑推论而得到所要的
结论．而公理是在千万代实践的基础上得来的。这一时期另一个特
点是高度的抽象化，数学
至此达到全盛时期。
希腊数学以亚历山大为中心，达到它的全盛时期。这里有巨大的图书馆和浓厚的学术空
< br>气，各地学者云集在此进行教学和研究。其中
成就最大的是亚历山大前期三大数学
家欧几里
得、阿基米德和阿波罗尼奥斯。
除了三大数学家以外，埃拉托斯特尼
(
约公元前
276
～前
195)
的大
地测量和以他为名的
“素数筛子”也很出名。
天文学家喜帕恰斯
(
公元前
2
世
纪
)
制作“弦表”，
是三角学的先导。
（
1
）欧几
里得与《几何原本》
亚历山大前期第一个大数学家是
欧几里得
（
euclid
，约公元前
330
一
275
年
)
．关于他的
生平，现在知道的很少．猜想他早年在雅典受过教育，深知柏拉图
的几何学．公元前
300
年
左右，在托
勒密王的邀请下，来到亚历山大教学。他是一个温良敦厚的教育家，对有志数学
之士，总
是循循善诱地教导，但反对在学习上不肯刻苦钻研，投机取巧的作风。欧几里得也
反对急
功近利的狭隘实用观点．斯托比亚斯记述一个故事，说有一个青年学生，才开始学第
一个
命题就问欧几里得，他学了几何学之后将得到些什么．欧几里得说：
“给他三个钱币，因
为他想在学习中获取实利．
”
欧几里得写过不少数学、物理方面的著作，而最重要的是他的巨著
《几
何原本》
(elements)<
/p>
。从来没有一本科学书籍，象《几何原本》那样巩固而长期地成为广大学生所传诵
的读物。
1482
年到
19
世纪末，
《几何原本》的印刷本竞用各种文字出了一千版以
上．在这以
前，它的手抄本统御几何学也已达一千八百年之久．欧几里得的影响是如此深
远，以致欧几
里得和“几何学”变成了同义语．
自从公元前
7
世纪以来，希腊儿何集中了异常丰富的
材料，简直令人眼花缭乱，问题于
是提出，怎样把它整理在严密的逻辑系统之中呢，这是
一项艰巨的任务．公元前
5
世纪的希
波
克拉提斯、前
4
世纪的西底斯
(thcudzus
，
约公元前
360
年
)
等学者都做过这样的综合整
理
工作，但当欧几里得集大成的《几何原本》出现的时候，这些工作都湮没无闻了．
《几何原本》的伟大历史意义在于
它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范．
（
2
）阿基米德的数学成就
亚历山大学派第二个大数学家是
阿基米德
(archime
des)
，公元前
287
年生于意大利
半岛南
端西西里岛的叙拉古
(syracuse)
，公元前
212
年卒于同地。他早年在亚历山大学习
，以后和亚
历山大的学者保持密切联系，因此他算是亚历山大学派的成员．
后人对阿基米德给以极高的评价．近代数学史家
认
为
：任何一张列出有史以来三个最伟
大的数学家的名单中，必定
会包括阿基米德，另外两个通常是
牛顿
和
高斯
，不过以他们的丰
功伟绩和所处的时代背景来对比，拿他
们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基
米德．普利尼称阿基米德为“数学之
神”
．反映了后入对阿基米德的崇敬．
阿基米德说任何重物都可以移动．并发出豪言壮语：
“给我一个支点，我可以移动这个
地
球
!
”阿基米德有一个被人们传诵了
两千年的轶事：有一次叙拉古的亥厄洛王叫金匠造一个纯
金的皇冠，做成后国王怀疑那里
面掺有银子．便请素称多能的阿基米德来鉴定一下．阿基米
德也一时想不出好办法来．正
在苦闷之际．他到公共浴室去洗澡，当浸入装满水的浴盆去时
候，水漫溢到盆外，而身体
重量顿觉减轻．于是忽然想到不同质料的东西，虽然重量相同，
但因体积不同，排去的水
必不相等。根据这一道理，不仅可以判断王冠是否掺有杂质，而且
知道偷去黄金的份量．
这一发现非同小可，它象闪电一般通过脑际．阿基米德高兴得跳了起
来，
飞奔到家中准备试验，
口中大呼
“由力卡
!
由力卡！
”
(eurek
a
，
希腊语意思是
“我找到了”
)
经过仔细的实验，他终于发现了流体静力学的基本原理：
“
阿基米德原
理”——物体在液体中
减轻的重量，等于排去液体的重量，后来总结在他的名著《论浮体》中。
<
/p>
第二次
布匿战争
时期，叙拉古和迦太基缔
结同盟，因此成为罗马的仇敌．马塞拉斯率领
7
罗马大军围攻叙拉古．在这危急存亡之秋，阿基米德便献出自己一切杰出的科学技术为祖国
效劳。传说他用起重机抓起敌人的船只，高举起来，摔得粉碎。用新发明的奇妙机器，射出
大石锥枪，如同暴雨，使罗马军心胆俱裂．有的希腊文献记载，当罗马兵船靠近城下，阿基
米德用巨大火镜反射日光使兵船焚烧．另一种说法是他用投火器，将燃烧着的东西弹出去烧<
/p>
敌人的船．这些传说除了投石器、投火器较为可信之外，其余的大多是夸张的说法．无论如
何，阿基米德为了挽救自己的祖国，曾竭尽自己的心智，给敌人以沉重的打击，这是无可
怀
疑的事实。就这样顽抗了敌人的进攻．终于因粮食耗尽而陷落，阿基米德也光荣牺牲了
．
罗马兵入城时，统帅马塞拉斯出于敬佩阿基米德
的才能，下命令不准伤害这位贤者．而
阿基米德似乎并不知道城池已破，又
重新沉迷在数学的深思之中．一个罗马兵突然出现在他
面前，命令他到马塞拉斯那里去，
遭到阿基米彼的严词拒绝．这样，他就不幸死在这个土兵
的刀剑之下
(
这故事出自普鲁塔克的记载
)
，
另一种说法是罗马兵闯入阿基米德的住宅．看见
一位老人在地上埋头作几何图形
(
还有一说是他在沙滩上画图
)
，士兵将图踩坏，阿基米德怒
斥士兵：
“不要弄坏我的
图
!
”士兵拔出短剑，这位旷世绝伦的大科学家，竞丧在愚蠢无
知的
罗马兵手中！后说颇为流行。但以阿基米德的爱国热忱与智慧机智，似乎前说更为可
信．
阿基米德的死，马塞拉斯颇感悲痛，除了将这士兵当作杀
人犯处理外，并为阿基米德立
墓，聊表景仰之忱．在碑上刻着球内切于圆柱的图形，以资
纪念。
（
3
）阿波罗尼斯与圆锥曲线
阿波罗尼斯是亚历山大时期希腊数学史上的又一位杰出人物。
他的贡献涉及几何学和天
文学，但最为重要的是他在前人工作的基础上创立了相当完美的
圆锥曲线论。他以欧几里得
式的严谨风格所写就的传世之作《圆锥曲线论》
，在研究圆锥曲线上所达到的理论高度，直到
笛卡尔、帕斯卡出场之前，始终
无人能够超越。
椭圆、抛物线、双曲线
这些词的通用名称就是他在这部书中首先提出来的。在使用统一
的方式引出三种圆锥曲
线后，
他便展开了对它们性质的广泛讨论，
内容涉及圆锥曲线的
直径、
共轭直径、切线、中心、双曲线的渐近线、椭圆与双曲线的焦点、以及处在各种不
同位置的
圆锥曲线的交点数等等。
坐标制的思想，在阿波罗尼斯的书中已见端倪。
5
．
亚历山大后期与希腊数学的衰落
公元前
146
年罗马灭亡了
希腊，逐步统一了地中海一带．这时亚历山大的数学仍能继承
前期的成就，不断有所发明
创造．这个时期叫做亚历山大后期。这个时期的希腊学者在算术
和代数方面颇有建树。<
/p>
海伦的《量度》一书主要讨论各种几何图形的面积体积计算。其
中包括后来随其命名的
三角形面积公式。海伦的几何学带有罗马科学明显的实用色彩，不
少命题没有证明，这对于
亚历山大前期的数学家而言，完全是不可思议的。
托勒密的名著《天文学大成》
（
Almagest
）既总结了前人的知识，又提出了不少新理论，
为三角学的进一步发展和应用奠定了坚实的基础。
《天文学大成》
对三角学的贡献为托勒密在
数学史上赢得了稳固地位。
丢番图的《算术》一书的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算。他把代
数解
放出来，摆脱了几何的羁绊。他认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜于解决问题，
而在解
题的过程中显示出的高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜。他被后人称为
“代数学
之父”。
他的墓志铭：“坟
中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。上
帝给予的童年占六分
之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。
五年之后天赐贵
子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。悲伤只有用
数论的研究去
弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途。”
意思即是：
丢番图的一生，
幼年占
1/6
，
青少年占
1/12
，
又过了
1/7
才结婚，
5
年后生子，
子先父
4
年而卒，寿为其父之半。
8