求数列通项方法归纳总结
-
求数列通项公式的方法
一、公式法
：适用于求符合定义的等差数列或等比数列的通项公式。
例
1.
已知数列
a
n
满足
a
1
< br>2,
a
n
1
3
a
n
,
求数列
a
n
的通项公式。
< br>
解：∵
a
1
< br>
2,
a
n
1
3
a
n
,
∴数
列
a
n
<
/p>
是首项为
2,
公比为
3
的等比数列
3
n
1
。
∴数列
a
n
的通项公式是
a
n
2
g
< br>练习
1
.
已知数列
a
n
< br>满足
a
1
2,
a
n
a
n
1
3(
n
2)
,
求数列
a
n
的通项公式。
解：∵
a
n
a
n
1
3(
n
2)
∴
a<
/p>
n
a
n
1
3(
n
2)
∴数列
a
n
是首项为
2,
公差为<
/p>
3
的等差数列
∴数列
a
n
的通项公式为
a
n
< br>
2
3(
n
1)
3
n
1
二、累加法
：适用于
a
n
1
a
n
f
(
n
)
------
< br>这是广义的等差数列
例
2
.
已知数列
a
n<
/p>
满足
a
n
1
a
n
2
n
1,
a
1
1,
求数列
a
n
的通项公式。
解：∵
a
n
1
a
n
2
n
1,
∴
a
< br>n
1
a
n
2
n
1,
∴<
/p>
n
2
时
,
a
n
(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
1
a<
/p>
n
2
)
L
(
a
2
a
1
)
a
1
2(
n
1)
1
<
/p>
2(
n
2)<
/p>
1
L
(2
1
1)
1
2
(
n
1)
(
n
2)
L
1
n<
/p>
1
1
(
n
1
1)(
n
1)
2
g
n
< br>2
n
2
n
1
时
,
a
1
1
适合上式
2<
/p>
∴数列
a
n<
/p>
的通项公式为
a
n
n
。
练习
2.
在数列
{
a
n
}
中
，
a
1
2<
/p>
，
a
n
1
a
n
ln(1
)
，求数列
a
n
的通项公式
.
1
n
解：∵
a
n
1
a
n
ln(1
)
∴
a
n
1
a
n
ln(1
n
)
ln
n
∴
n
2
时
,
a
n
(
a
n
<
/p>
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
L
(
a
2
a<
/p>
1
)
a
1
1
n
[ln
n
ln(
n
1)]
[ln(
n
1)
ln(
n<
/p>
1)]
L<
/p>
(ln
2
<
/p>
ln1)
2
ln
n
<
/p>
2
又
n
1
时
,
a
1
1
适合上式
∴数列
a
n
的通项公式是<
/p>
a
n
2
ln
n
评注：
已知
a
1
a
,
a
n
1
a
n
f
(
n
)
，其中
f(n)
可以是关于
n
的一次函数
、二次函数、指数函数、分式
函数，求通项
a
< br>n
.
①若
f
< br>(
n
)
是关于
< br>n
的一次函数，累加后可转化为等差数列求和
;
②若
f
(
n
)
是关于
n
的二次函数
，累加后可分组求和
;
③若
f
(
n
)
是关于
n
的指数函数，累加后可转化为等比数列求和
;
④若
f
(
n
)
是关于
n
的分式函数，累加后可裂项求和。
三、累乘法
例
3
：
在数列
{
a
n
}
中，
a
1
2
，
a
n
1
n
1
，求数列
a
n
< br>的通项公式。
a
n
n
解：∵
a
1
2
，
a
n
1
n
1
a
n
n
a
n<
/p>
a
n
1
a
n
n
1
2
g
g
L
g
2
g
a
1
g
g
L
g
g
2<
/p>
2
n
a
n
1
a
n
2
a
1
n
1
n
2
1
∴
n
2<
/p>
时，
a
n
n
1
时，
a
1
2
适合上式。
∴数列
<
/p>
a
n
的通项公
式是
a
n
2
n
。
练习<
/p>
3.
设
a
n
是首项为
1<
/p>
的正项数列，
(
n
1)
a
n
1
na
n
通项公式。
解：∵
2
2
(
n
1)<
/p>
a
n
na
1
n
a
n
1
a
n
0
< br>
∴
[(
n
1)
a
n
1
na
n
](
a
n
1
a
n
)
0
2
2
a
n
< br>1
a
n
0
(n=1
，
2
，
3
，…
)
，求数列
a
n
的
∵
a
n
是正
项数列
∴
(
n
1)
a
n
1
na
n
0
即
∴
n
2
时，
a
n
a
n
< br>
1
n
a
n
n
1
a
n
a
n
1
a
n
1
n
2
1
1
< br>g
g
L
g
2
g
a
1
g
g
L
g
g
1
a
n
1
a
n
2
< br>a
1
n
n
1
2
n
n
1
时，
a<
/p>
1
1
适合上式
。
∴数列
a
n
的通项公式是
< br>a
n
1
n
评注：一般地，对于型如
a
n
1
=
f
(n)
·
a
n
类的通项公式，当
f
(
1
)
f<
/p>
(
2
)
f
(
n
)
的值可以求得时，宜
采用此方法。
四、倒数变换法：
适用于分式关系的递推式
,
分子只有一项。
例
4
：
已知数列
a
n
中
,
a
1
<
/p>
1,
a
n
1
2
a
n
,
求数列
a
n
的通项公式。<
/p>
a
n
2
解：∵
a
n
1
2
a
n
1
1
1
1
1
1
,
∴
,
∴
,<
/p>
a
n
2
a
n
1
2
a
n
a
n
1
a
n
2
∴
1
<
/p>
1
1
1,
是首项为
公差为
的等差数列
.
a
1
2
a
n
1
1
n<
/p>
1
1
(
n
1)
a
n
2
2
∴
∴数列
a
n
的通项
公式
.
是
a
n
2
。
n
1
练习
4
．
设数列
{
a
n
}
满足
a
1
2
,
a
n
< br>1
a
n
(
n
N
)
,
求数列
a
n
的通项公式。
< br>a
n
3
解：∵
a
n
1
a
n
1
3
1
∴
a
n
3
a
n
1
< br>a
n
∴
1
1
1
1
3(
)
<
/p>
a
n
1
2
a
n
2
1
1
1
1
∴数列
是首项为
1
，公比为
3
的等比数列
a
1
2
a
n
2
∴
1
1
2
3
n
1
∴
a
n
.
a
n
2
2
3
n
1
< br>1
∴数列
a
< br>n
的通项公式是
a
n
五、
利用
S
n
与
2
.
n
1
2
3
1
a
n<
/p>
的的关系
若
已知数列的前
n
项和
S
n
与
a
n
的关系，求数列
a
n
的通项
a
n
可用公式
S
n
n
1
< br>
求解。
a
< br>n
S
S
n
2
n
1
n
例
5
：
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
满足
S
n
n
3
n
< br>1
，求
{
a
n
}
的通项公式。
2
3
解：
n
2
时
,
a
n
=
S
n
S<
/p>
n
1
=
(
n
3
n
1)
=3
n
3
n
2
(
n
1)
(
n
1)
1
<
/p>
n
1
时
,
a
1
S
1
1
1
1
1
不适合上式
1
(
n
1)
∴
{
a
n
}
的通项公式是
a
n
2
3
n
<
/p>
3
n
2
(
n
2)
评注：要先分
n=1
和
n
2
两种情况分别进行运算，然后验
证能否统一。
练习
5
：已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
1
，
< br>S
n
2
a
n
1
，
,
求
S
n
解法
1
：∵
S
n
2
a
n
1
∴
S
n
2(
S
n
1
S
n
)
即
S
n
1
3
S
n
2
∴数列
S
n
是首项为
S
1
a
1
1
，公比为
∴
S
n
(
)
< br>3
的等比数列
2
3
2
n
< br>1
解法
2
：∵
S
n
2
a
n
1
∴
n
2
时，
a
n
S
n
S
n
1
2
a
n
1
2
a
n
即<
/p>
a
n
1
3
a
n
2
∵
a
1
1,
S
n
2
a
n
1
∴
a
2
1
2
1
3
，公比为
的等比数列
2
2
∴
n
< br>2
时，数列
a
n
是首项
a
2
1
3
[1
(
)
n
1
]
3
2
S
n
1
2
(
)
n
1
3
< br>2
1
2
六、辅助数列法
(
换元法
)
有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出
一个新的数列
(
换元
)
为等差或
等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。
例
6
：
已知数列
a
n<
/p>
中
,
a
1
1,
a
n
2
a
n
1
< br>1(
n
2)
< br>,
求数列
< br>a
n
的通项公式。
解法一：∵
a
n
2
a
n
1
1(
n
2)
∴
a
n
1
2(
a
n
1
1)
,
∴
a
n
1
是首项
为
a
1
1<
/p>
2,
公比为
2
的等比数列
n
1
n
∴
a
n
1
2
g
2
∴
a
n
2
1
< br>解法二：∵
a
n
2
a
n
< br>1
1(
n
2)
∴
a
n
1
2
a
n
1
∴两式相减得
a
n
1
<
/p>
a
n
2(
a
n
a
n
1
)(
n
2)
n
∴数列
a
n
1
a
n
是首项为
2,
公比为
2
的等比数列∴
a
n
1
a
n
2
,
<
/p>
∴
n
2
时
,
a
n
(
a
n
a
n
< br>1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
L
(
a
2
a
1
)
< br>a
1
2
n
1
2
n
2
1
g
(1
2
n
)
2
n
1
L
2
1
1
2
1
n<
/p>
1
时
,
a
1
1
适合上式
n
∴数列
a
n
的通项公式是
a
n
<
/p>
2
1
练习
6
：在数列
{<
/p>
a
n
}
中，
a
1
2
，
a
n
1
3
a
< br>n
2,
求数列
a
n
的通项公式。
解：∵
a
n
1
3
a
n
< br>2,
∴
a
< br>n
1
1
3(
a
n
1)
∴
a
n
1
1
3
∴数列
a
n
1
是首项为
a
1
1
3,
公比为
3
的等比数列
a<
/p>
n
1
n
n
∴
a
n
1
3
∴数列
a
n
的通项公式是
a
n
3
1
练习
7
：
.
在数列
a
n
中，
a
1
1
，
a
2
2
，
a
n
<
/p>
2
解：∵
a<
/p>
n
2
2
1
a
n
1
a
n
，求数列
a
n
的通项公式
a
n
。
3
3
2
1
1
1
< br>
a
n
1
a
n
∴
a
n
2
a
n
1
a
n
1
a
< br>n
3
3
3
3
1
1
1
7
a
n
是常数列
<
/p>
∴
a
n
1
a
n
a
2
a
1
3
3
3
3
∴数列
a
n
1
<
/p>
∴
a
n
1
7
1
7
(
a
n
)
4
3
4
7
4<
/p>
∴数列
a<
/p>
n
是首项为
a
1
∴
a
n
7
3
1
，公比为
的等比数列
4
4
3
7
3
1
7
3
1
(
)
n
1
∴数列
a
n
的通项公式是
a
n
=
(
< br>)
n
1
4
4
3
4
4
3
5
1
1
n
1
练习
8
.
已知数列
{
a
n
}
中，
a
1
，
a
n
1
a
< br>n
(
)
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
6
3
2
1
1
n
1
解：∵
a
n
1
a
n
(
)
3
2
∴两边
都除以
(
)
∴
2
n
1
1<
/p>
2
n
1
，得
2
n
1
2
a
n
1
g
< br>2
n
a
n
1
3
2
a
n
1
3
(2
n
a
n
3)
3
∴数列
2
n
a
n
3
是首项为
2
a
1
3
n
4
2
，公比为
< br>的等比数列
3
3
4
2
n
< br>1
2
n
1
2
3
(
)
n
∴
a
n
n
n
∴
2
a
< br>n
3
g
3
3
3
3
2
2
3
3
n
2
n
4
13
练习
9
.
已知数列
{
a
n
}
中
,
a
1
,
a
2
,
当
n
3
时
,
3
a
n
<
/p>
4
a
n
1
a
n
2
0
,
求数列
{
a
n
}
的通项公
3
9
∴数列
{
a
n
}
的通项公式
a<
/p>
n
式。
解：∵当
n
<
/p>
3
时
,
3
a
n
4
a
n
1
a
n
2
0
∴
3
a
n
<
/p>
3
a
n
1
a
n
1
a
n
2
∴
a
n
a
n
1
1<
/p>
a
n<
/p>
1
a
n
2
3
∴
a
n
a
n
1
a
n
1
<
/p>
a
n
是首项为
a
2
a
1
∴
a
n
1
a
n
g
< br>(
)
1
1
，公比为
的等比数列
9
3
1
1
9
3
n
1
1
3
n
1
∴
n<
/p>
2
时
,
a
n
(
a
n
a
n
1
)
< br>
(
a
n
1
a
n
2
)
L
(
a
2
a
1
)
a
1
< br>
1
1
1
4
L
n
n
1
2
3
3
3
3
1
1
(1
)
2
n
1
4
3
1
1
3
3
<
/p>
(
)
n
1
3
2
2
3
1
3
4
又
n
1
时，
a
1
适合上式
3
3
1
1
n
∴数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
(
)
(
n
N
)
2<
/p>
2
3
3
a
n
1
练习
10
．
设数列
{
a
n
}
的首项
a
1
(0
，
1)
，
a
n
，
n
2
，
3
，
4
，
…
．
2
<
/p>
（
1
）求
{
a
n
}
的通项公式；
解：∵
a
n
a
1
3
a
n
1
1
1
(
n
< br>
2)
(
n
2)
∴
a
n
1
(
a
n
1
1)
∴
n
a
n
1
1
2
2
2
∴
a
n
1
是首
项为
a
1
1
，公比为
1
的等比数列
2
n
1
1
n
1
1
<
/p>
1)
∴
a
n
1
(1
a
1
)
∴
a
n
1
(
a
1
1)(
)
，
a
1
(0
，
2
2