数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结
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数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结
知识点精讲
一、基本概念
（
1
）若已知数列的第
1
项（或前项
）
，且从第
2
项（或某一项）开始的任
一项与它的前一项（或前几项）
间的关系可以用一个公式来表示，
那么该公式就叫做这个数列的递推公式
.
递推公式也是给出数
列的一种方
法
.
（
< br>2
）数列的第
n
项
a
n
与项数
n
之间的函数关系，可以用一个公式
a
n
的通项公式
.
注：①并非所有的数列都有通项公式；
②有的数列可能有不同形式的通项公式；
③数列的通项就是一种特殊的函数关系式；
④注意区别数列的通项公式和递推公式
.
题型归纳及思路提示
题型
1
数列通项公式的求解
思路提示
常见的求解数列通项公式的
方法有观察法、利用递推公式和利用
S
n
与
a
n
的关系求解
< br>.
观察法
根据所给的一列数
、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项
.
利用递推公式求通项公式
①叠加法<
/p>
：形如
a
n
<
/p>
1
②叠乘法
：形如
a
n
f
(
n
)
来表示，那么
a
n
就是数列
< br>a
n
f
(
n
)
的解析式，可利用递推多式相
加法求得
a
n
f
(
n
)
a
n
1
(
a
n
0)
(
n
2,
n
N
*
)
的解析式，
可用递推多式相乘求得
a
n
③构造辅助数列
：通过变换递
推公式，将非等差（等比）数列
构造成为等差或等比数列来求
其通项公式
.
常用的技巧有待定系数法、
取倒数法、
对称变换法和同除以指数
法
.
利用
S
n
与
a
n
的关系求解
< br>
形如
f
(
S
n
,
S
n
1
)
<
/p>
g
(
a
n
)
的关系，求其通项公式，可依据
S
1
(
n
1)
，求出
a
n
a
n
*
S
n
S
n
1
(<
/p>
n
2,
n
N
)
观察法
观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项
的变化规律，求其通项
.
使用观察法时要
注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有
(
1)
或者
(
1)
n
n
1
部分
.<
/p>
②考虑各项的变化
2
n
< br>规律与序号的关系
.
③应特别注意自然数列、
正奇数列、
正偶数列、
自然数的平方
关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列
.
< br>例
6.20
写出下列数列的一个通项公式：
（
1
）
< br>
n
、
2
与
(
1)
n<
/p>
有
3
2
5
3
7
4
,
,
,
,
,
,
L
;
7
5
13
8
19
11
（
2
）
2,22,222
，
L
，
22
L
（
3
）数列
2
；
，
< br>11
L
122
L
3
2
，
L
{
1
2
n
个
n
个
<
/p>
a
n
中各项为
：
12,1122,111222
，
L
分析
：通过观察，找出所给数列的特征，求出其通项
.
解析：
（
1
）①原数列中的数的符号一正一负，故摆动数列乘以
(
< br>
1)
；
②绝对值后分子分母无明显的规律，但通过对偶数各项分子分母同乘以
2
，可使分子出现规律为
3,4,5,6
，
L
，则
a
n
(
1)
n
n
n
< br>2
.
3
n
4
a
n
2
10
n
1
2
10
n
2
L
2
解法一
：
2(10
n
1
10
n
2
L
10
0
)
< br>1
g
(1
10
n
)
2
n
2
g
(10
1)
1
10
9
解
法二
：原数列
2
2
2
2
n
9,
99,
L
99
L
9
，
即
a
=<
/p>
(10
-1)
n
3
9
9
9<
/p>
1
2
9
n
个
2
n
1
(10
-1)=
(10
n
-1)(10
n
+2)
9
9
（
3
）
a
n
=
(10
n
-1)
g
10
n
+
1
9
变式
1
将全体正整数排成一个三角形数阵，
如下所示，
则第
n
行
< br>（
n
3
）
从左到右的第
3
个数为
__________
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
L
L
L
L
L
L
L
L
L
变式
2
观察下列等式：
i
i
1
n
n
1
2
1
n
< br>n
，
2
2
1
3
1
2
1
2
i
n
n
n
< br>3
2
6
i
1
i
3
i
1
n
n
1
4
1
< br>3
1
2
n
n
n
4
2
4
1
5
1
4
1
3
1
4
i
n
n
< br>n
n
5
2
3
3
0
i
1
i
5
i
1
n
n
1
6
1
5
5
< br>4
1
2
n
n
n
n
6
2
12
12
1
7
1
6
1
5
1
3
1
n
n
n
< br>
n
n
7
2
2
6
42
i
i
1
6
L
L
L
L
< br>
i
k
a
k
1
n
k
1
a
k
n
k
a
k
1
n
k
< br>1
L
a
1
n
a
0
，
可以推测，
当
k
2(
k
N
*
)<
/p>
时，
a
k
1
i
1
n
1
1
，
a
k
< br>，
2
k
1
a
k
1
_____
，
a
k
2
_____
利用递推公式求通项公式
叠加法
数
列
有
形
如
a
n
1
a
n
f
(
n
)
的
< br>递
推
公
式
，
且
f
(1)
f
(2)
L
f
(
n
)
的
和
可
求
，
则
变
形
为
a
n
1
a
< br>n
f
(
n
)
，利用叠加法求和
例
6.21
已知数列
a
n
满足
a
n
1
分析：
式子
a
n
1
a
n
3
n<
/p>
2
(
n
N
*
)
，且
a
1
2
，求数列
a
n
的通项公式
.
a
n
3
n
2
(
n
< br>
N
*
)
是形如
a
n
1
a
n
f
(
n
)
的形式，
故利用叠加法求和
.
解析：
a
n
1
a
n
< br>3
n
2
(
n
N
*
)
可得
<
/p>
a
n
a
n
1
3
n
1
，
（
n
2
）
a
n
1
a<
/p>
n
2
3
n
4
，
L
L
L
a
2
a
1
5
3
n
2
< br>n
3
n
2
n
(
n
N
*
)
相加可得：
a
n
（
n
2
）
，且
a
1
2
也满足上式，故
a
n
2
2<
/p>
变式
1
已知
数列
a
n
中，
a
1
<
/p>
2
，
a
n
1
a
n
2
n
(
n
N
*
)
，求数列
< br>a
n
的通项公式
1
n
*
< br>变式
2
已知数列
a
n
中，
a
1
< br>2
，
a
n
1
a
n
ln(1
)
(
n
<
/p>
N
)
，则
a
n
____
A
、
2
ln
n
B
、
2
(
n
1)ln
n
C
、
2
n
ln
n
D
、
1
n
ln
n
变式
3
已知数列
a
n
中，
a
1
1
，
a
2
2
，且
a
n
1
*
(1
q
)
a
< br>n
qa
n
1
，
（
n
2
，
q<
/p>
0
）
（
1
）设
b
n
a
n
1
a
< br>n
(
n
N
)
，证明：
b
n
是等比数列
.
（
2
）求数列
a
n
的通项公式
变式
4
数列
a<
/p>
n
中，
a
1
2
，
a
n
1
比数列
.
（
1
）求
c
的值；
（
2
）求数列
a
n
的通项公式<
/p>
a
n
cn
（
c
为常数）
(
n
N
*
)
，且
a
1
,
a
2
,
a
3
< br>
成公比不为
1
的等
2
、叠乘法
数列有形如
a
n
f
(
n
)
g
a
n
1
的递推
公式，且
f
(1)<
/p>
g
f
(2)
g<
/p>
L
g
f
(
n
)
的积可求，则
将
递推公式变形
为
a
n
< br>
f
(
n
)
，利用叠乘法求出通项公式
a
n<
/p>
a
n
1
例
6.22
已知数列
a
n
中，
a
1
1
，
2
na
n
1
(
n
1)
a
n
，则数列
a
n
的通项公式为（
）
A
、
n
n
n
n
1
B
、
C
、
D
、
2
n
1
2
n
2
n
2
n
1
a
< br>n
f
(
n
)
的形式，故可以利用叠乘法求解
.
a
n
1
分析：
数列的递推公式是形如
解析：<
/p>
由
2
na
n
1
(
n
1)
a
n
变形得
a
n
1
n
1
a
n
，从而
n
，
L
，
a
n
2
n
a
n
1
2(
n
1)
a
a
a
a
a
2
2
1
< br>n
n
1
3
2
n
，
故
n
g
n
<
/p>
1
g
L
g
3
g
2
(
)
n
1
g
g
g
L
g
g
n
1
（
n<
/p>
2
）
a
1
2
a
n
1
a
n
2
a
2
a
1
2
n
1
n
<
/p>
2
2
1
2
即
a
n
n
n
n
n
1
（
n
2
）
，所以
a
n
n
1
（
n<
/p>
2
，
n
N
*
）
，且
a
1
1
满足上式，故
a
n
n
1
（
n
N
*
）
，
a
1
2
2
2
选
B
变式
1
已知数列
a
n
中，
a
1
1
，
3
、构造辅助数列法
（
1
）待定系数法
形如
a
n
1
pa
n
< br>
q
（
p
,
q
为常数，
pq
< br>
0
且
p
1
）的递推式，可构造
a
n
1
p
(
< br>a
n
)
，转化为等
比数列求解
.
也可以与类比式
a
n
pa
n
1<
/p>
q
作差，
由<
/p>
a
n
1
a
n
p
(
a
n
a
n
1
)
，
构造
a
n
1
a
n
为等比数列，
然后利用叠加法求通项
.
例
6.23
已知数列
a
n
中，
a
1
1
，
a
n
1
1
分析：
式子
a<
/p>
n
1
1
a
n
1
n
2
，求数列
a
n
的通项公式
a
n
n
1
a
n
，求
a
n
的通项公式
.
2
1
，故利用构造法转化
.
a
n
形如
a
n
1
pa
n<
/p>
q
（
p
,
q
为常数，
pq<
/p>
0
且
p
1
）
2
1
1
解析：
解法一、设<
/p>
a
n
1
1
a
n
等价于
a
n
1
(
a
n
)
，得到
2
2
1
1
1
a
n
<
/p>
1
a
n
，对应
a
n
1
a
n
1
，得到
2
2
2
2
1
故原递推式等价于
a
n
1
2
(
a
< br>n
2)
，因此数列
a
n
2
为首
< br>2
1
1
项为
1
，公比为
的等比数列，所以<
/p>
a
n
2
(
)
n
1
，
2
2
故
a
n
2
(
)
n
<
/p>
1
解法二、
由
a
n
1
1
因此
a
n
1
a
n
1
2
1
1
，
a
n
得
a
n
1
a
n
1
（
n
< br>2
，
n
N
*
）
2
2
1
，所以数列
a
n
a
n
1
(
a
n
a
n
1
)
（
n
< br>2
，
n
N
*
）
2
1
1
是首项为
a
2
a
1
<
/p>
，公比为
的等比数列
.
2
2
1
1
a
n
a
n
1
(<
/p>
a
2
a
1
)(
)
n
2
(
)
n
1
< br>
2
2
1
a
n
1
a
n
2
(
)
n
2
2
L
L
L
L
< br>
1
a
2
a
1
(
)
1
叠加得到：
2
1
1
n
(
)
1
1
2
1
n
1
2
2
1
1
a
n
a
< br>1
(
)
L
(
)
1
(
)
n
1
故
a
n
2
< br>(
)
n
1
（
n
N
*
）
1
2
2
2
2
2
1
2
变式
1
已知
a
1
1
，
a
n
3
a
n
1
2
（<
/p>
n
2
，
n
N
*
）
，求
a
n
的通项公式
.
例
6.24
在数列
a
n
中，
a
1
2
，
a
n
1
4
a
n
3
n
1
< br>（
n
N
*
）
，求数列
a
n
的通项公式
.
分析
< br>：将原递推公式转化为
a
n
<
/p>
1
a
(
n
1)
4(
a
n
an
)
，即
a
n
1
4
a
n
3
an
3
a
，比较
a
n
1
4
a
n
3
n
1
，得
a
1
，
0
，所以数列
a
n
n
是首项为
1
，公比为
4
的等比数列，故
a
n
<
/p>
n
4
n
1
，即
a
n
n
4
n
1
< br>
（
n
N
*
）
2
、同除以指数
n
形如
a<
/p>
n
1
pa
n
d
(
p
0
且
p
< br>1
，
的递推式，
当
p
d
时，
两边同除以
d
n
1
转化为关于
d
1
）
a
n
n
d
的等差数列；当
p
d
时，两边人可以同除以
d
n
1
得
（
1
）
.
a
n<
/p>
1
p
a
n
1
p
1
，转化为
，同类型
g<
/p>
b
g
b
n
1
n
d
n
1
d
d
n
d
d
d
n
1
*
例<
/p>
6.25
已知数列
< br>
a
n
中，
a
1
1
，
a
n<
/p>
3
a
n
1
2
（
n
2
，
n
N
）
，求数列
a
< br>n
的通项公式
.
n
1
n
解析：解法一
、将
a
n
3
a
n
1
2
两边同除以
3
得
n
n
a
a
n
1
1
2
n
1
n
1
<
/p>
(
)
，
3
3
3
3
a
n
则
n
3
a
1
1
2
n
< br>
1
1
2
1
1
2
n
n
1
n
，则<
/p>
a
3
2
(
)
L
(
)
(
)
n
1
3
3
3<
/p>
3
3
3
3
n
1
a
n
3
a
n
1
1
解法二、
将
a
n
< br>3
a
n
1
2
两边同除以
< br>2
得
n
g
n
1
，
2
2
2
2
n
令
b
n
3
1
3
a
n
< br>b
b
b
(
b
n
1
)
，得
1
，因此数列<
/p>
b
n
1
为等比
，得
，构造
n
n
1
n
n
2
2
2
2
3
n
1
3
< br>n
1
3
n
1
数列，且
b
n
1
(
b
1
<
/p>
1)(
)
，
<
/p>
n
，则
b
n
n
1
（
n
N
*
）
< br>2
2
2
a
n
3
n
1
n
1
n
故
n
n
1
，进而得到
a
n
3
2
2
2
n
评注：
一般地，
对于形如
a
n
1
pa
n
d
(
p
0
且
p
1
，
d
1
）
的数列求通项公式，
两边同除以
d
n<
/p>
1
转化为待定系数法求解；两边同除以
p
n
1
转化为叠加法求解
.
n
变式
1
在数列
a
n
中，
a
1<
/p>
1
，
a
n
1
2
a
n
2
（
1
）设
b
n
a
n
，试证明：数列
b
n
是等差数列
.
n
1
2
（
2
）求数列
a
n
的前
n
项的和
S
n
取倒数法
对于
a
n
1
aa
n
1
b<
/p>
ca
n
b
1
c
(
ac
0)
，取倒数得
g
. <
/p>
b
ca
n
a
n
1
aa
n
a
a
n
a
1
当
a
b
时，数列
< br>是等差数列；
a
n
当
a
b
时，令
b
n
1
a
n
，则
b
n
1
b
c
g
b
n
，可用待定系数法求解
.
a
a
2
a
n
< br>，求数列
a
n
的通项公式
.
2
a
n
例
6.26
在数列
a
n
中，
a
1
1
，
a
n
1
分析：
式中含有形如
a
n
1
和
a
n
的分式形式，故
考虑利用倒数变换求其通项公式
.
解
析
：
因
为
1<
/p>
2
a
n
1
1
a
n
1
2
a
n
a
n
2
，
所
以
1
1
1<
/p>
a
n
1
a
n
2
，
即
数
列
1
a
n
是
等
差<
/p>
数
列
，
1
1
1
n
1
2
*
，故
a
n
（
< br>n
N
）
(
n
1)
a<
/p>
n
1
a
n
2
2
n
1
变式
1
已知数列
a
n
中首项
a
1
3
a<
/p>
n
3
*
，
a
n
1
（
n
N
）
，求数列
a
n
的通项公式
.
1
2
a
n
5
变式
2
已知数列
a
n
中首项
a
1
1
，前
n
项的和为
S
n
，且满足
S
n
数列
a
n
的通项公式
.
取对数法
形如
a
n
1
S
n
1
（
n
2
，
n
N
*
）
，求
1
2
S
n
1
k
ca
n
(
c
0
,
a
n
0)
的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解
.
3
（
n
N
*
）
，则数列的通项
a
n
_______
a
n
例
6.27
已知数列
a
n
中首项
a
1
3
，且
a
n
1
分析
：取对数时，常用以
a
1
为
底的对数，便于计算
.
解析：
因为<
/p>
a
1
3
，
所以对
a
n
1
3
两边取以
3
为底的对数，
得到
log
3
a
n
1
2log
3
a
n
，
故
log
3
a
n
a<
/p>
n
是以
1
为首项
，
2
为公比的等比数列，所以
log<
/p>
3
a
n
变式
1
已知数列
a
n
中首项
a
1
10<
/p>
，且
a
n
1
2
n
1
，所以
a
n
3
2
n
1
（
< br>n
N
*
）
2
（
n
N
*
）
，求数列的通项
a
n
10
g
a
n
已知通项公式
< br>a
n
与前
n
项的和
S
n
关系求通项问题
对于给出关于
a
n
与
S
n
的关系
式的问题，
解决方法包括两个转化方向，
在应用时要合理选择<
/p>
.
一个方向是转
化
S
n
为
a
n
的形式，手段是使用类比作差法，使
S
n
S
n
<
/p>
1
=
a
n
（
n
2
，
n
N
*
）
，故得到数列
a
n
的
相关结论，这种方法适用于数列的前
n
项的和的形式
相对独立的情形；另一个方向是将
a
n
转化为
S
n
S
n
1
（<
/p>
n
2
，
n
N
*
）
，先考虑
S
n
与
S
n
1
的关系式，继而得到数列
S
n
的相关结论，然后使用
代入法或者其他方法求解
a
n
的问题，
这种情形的解决
方法称为转化法，
适用于数列的前
n
项
和的形式不
够独立的情况
.
简而言之
，求解
a
n
与
S
n
的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化
S
n
的形式为
a<
/p>
n
的形式，
适用于
S
n
的形式独立的情形，如已知
S<
/p>
n
4
a
n
1
2
（
n
2
，
n
N
*
）
；其二称为转化法，实质是
转
2
2
S
n<
/p>
*
化
a
n
的形式为
S
n
的形式
，
适用于
S
n
的形式不够独立的情形，如已知
a
n
（
n
2
，
n
N
）
；
2
S
n
1
不管使用什么方法，
都应该注意解题过程中对
n
的范围加以跟踪和注意，一般建议在
相关步骤后及时加注
n
的范围
.
例
6.28
已知正项数列
a
n
中，前
n
项的和
S
n
，且满足
2
解析：
由已知，可得
4
S
n
类比得到
4
S
n
1
S
n
a
n
1
，求数列
<
/p>
a
n
的通项公
式
.
(
a
n
1)
2<
/p>
①
(
a
n
1
1)
2
（
n
2
，
n
N
*
）②
式①
式②得
即
2
2
4
S
n
4
S
n
1
a
n
< br>
a
n
1
2
a
n
2
a
n
1
2(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
a
n
1
)(
a
n
a
n
1
)
所
以
(
a
n
a
n
1
)(
a
n
a
n
1
2)
0
，
又
因
为
a
n
a
n
1
0
，故
a
n
a
n
1
2
0
（
n
2
，
n<
/p>
N
*
）
，因此数列
a
n<
/p>
为等差数列，且首项为
1
，公
比为
2
故
a
n
2
n
1
（
n
N
< br>*
）
评注：
< br>本题是关于
a
n
与
S
n
的关系式问题中第一个方向的典型题目，本题的
闪光点是未给出
S
n
的直接形
式，需要考生稍加变形，转化为
4
S
n
(
a
n
1)
2
< br>后，才可使求解方向变得更为明朗
.
1
，
S
n
1
4
a
n
2
（<
/p>
n
N
*
）
变式
1
已知数列
a
n
的前
n
项的和
S
n
，
a
1
（
1
）设
b
n
（
2
）设
c
n
a
n
1
2
< br>a
n
，求
b
n
；
1
，求数列
c
n
的前
n
项和
T
n
；
a
n
1
2
a
n
（
3
）设
d
n
a
n
2
n
，求
d
< br>2010
例
6.29
已知数列
a
n
中，
a
n
式
1
1
0
，且对于任意正整数
< br>n
有
S
n
(
a
n
)
，求数列
a
n
的通项公
2
a
n
S
n
1
（
n
2
，
n
N
*
）求解，将试题右
分析：
已知
a
n
与
S
n
的关系，求数列的通项公式利用
a
n<
/p>
=
S
n
边的含<
/p>
a
n
的式子换成
S
n
解析：
当
n
1
时，
S
1
S
n
1
来处理
. <
/p>
1
1
a
1
(
a
1
)
，及
a
n
0
< br>，解得
a
1
< br>
1
2
a
1
1
1
1
1
当
n
2
时，由
S
n
(
a
n
)
得
S
n
(
S
< br>n
S
n
1
)
，
2
a
n
2
S
n
S
n
1
变形整理得
2
2
2
S
，数列
S
n
S
n
1
n
< br>
是等差数列，首项为
1
，
1
公差为
1
故
S
n
2
1
(
n
1)
1
n
，所以
S
n
n
n
1
适合上式，故
S
n
n
（
< br>n
N
*
）
故当
n
2
时，
a
n
=
S
n
故
a
n
S
n
1
n
n
< br>1
，
n
1
适合上式，
< br>
n
n
1
（
n
N
*
）