数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结
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数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结
知识点精讲
一、基本概念
(
1
)若已知数列的第
1
项(或前项
)
,且从第
2
项(或某一项)开始的任
一项与它的前一项(或前几项)
间的关系可以用一个公式来表示,
那么该公式就叫做这个数列的递推公式
.
递推公式也是给出数
列的一种方
法
.
(
< br>2
)数列的第
n
项
a
n
与项数
n
之间的函数关系,可以用一个公式
a
n
的通项公式
.
注:①并非所有的数列都有通项公式;
②有的数列可能有不同形式的通项公式;
③数列的通项就是一种特殊的函数关系式;
④注意区别数列的通项公式和递推公式
.
题型归纳及思路提示
题型
1
数列通项公式的求解
思路提示
常见的求解数列通项公式的
方法有观察法、利用递推公式和利用
S
n
与
a
n
的关系求解
< br>.
观察法
根据所给的一列数
、式、图形等,通过观察法归纳出其数列通项
.
利用递推公式求通项公式
①叠加法<
/p>
:形如
a
n
<
/p>
1
②叠乘法
:形如
a
n
f
(
n
)
来表示,那么
a
n
就是数列
< br>a
n
f
(
n
)
的解析式,可利用递推多式相
加法求得
a
n
f
(
n
)
a
n
1
p>
(
a
n
0)
(
n
2,
n
N
*
)
的解析式,
可用递推多式相乘求得
a
n
③构造辅助数列
:通过变换递
推公式,将非等差(等比)数列
构造成为等差或等比数列来求
其通项公式
.
常用的技巧有待定系数法、
取倒数法、
对称变换法和同除以指数
法
.
利用
S
n
与
a
n
的关系求解
< br>
形如
f
(
S
n
,
S
n
1
)
<
/p>
g
(
a
n
)
的关系,求其通项公式,可依据
S
1
(
n
1)
,求出
a
n
a
n
*
S
n
S
n
1
(<
/p>
n
2,
n
p>
N
)
观察法
p>
观察法即根据所给的一列数、式、图形等,通过观察分析数列各项
的变化规律,求其通项
.
使用观察法时要
注意:①观察数列各项符号的变化,考虑通项公式中是否有
(
1)
或者
(
1)
n
n
1
部分
.<
/p>
②考虑各项的变化
2
n
< br>规律与序号的关系
.
③应特别注意自然数列、
正奇数列、
正偶数列、
自然数的平方
关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列
.
< br>例
6.20
写出下列数列的一个通项公式:
(
1
)
< br>
n
、
2
与
(
1)
n<
/p>
有
3
2
5
3
7
4
,
,
,
,
,
,
L
;
7
5
13
8
19
11
(
2
)
2,22,222
,
L
,
22
L
(
3
)数列
2
;
,
< br>11
L
122
L
3
2
,
L
{
1
2
n
个
n
个
<
/p>
a
n
中各项为
:
12,1122,111222
,
L
分析
:通过观察,找出所给数列的特征,求出其通项
.
解析:
(
1
)①原数列中的数的符号一正一负,故摆动数列乘以
(
< br>
1)
;
②绝对值后分子分母无明显的规律,但通过对偶数各项分子分母同乘以
2
,可使分子出现规律为
3,4,5,6
,
L
,则
a
n
(
1)
n
n
n
< br>2
.
3
n
4
a
n
2
10
n
1
2
p>
10
n
2
L
2
解法一
:
2(10
n
1
10
n
2
L
10
0
)
< br>1
g
(1
10
n
)
2
n
2
g
(10
1)
1
10
9
解
法二
:原数列
2
2
2
2
n
9,
99,
L
99
L
9
,
即
a
=<
/p>
(10
-1)
n
3
9
9
9<
/p>
1
2
9
n
个
2
n
1
(10
-1)=
(10
n
-1)(10
n
+2)
9
9
(
3
)
a
n
=
(10
n
-1)
g
10
n
+
1
9
变式
1
将全体正整数排成一个三角形数阵,
如下所示,
则第
n
行
< br>(
n
3
)
从左到右的第
3
个数为
__________
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
p>
L
L
L
L
L
L
L
L
L
变式
2
观察下列等式:
p>
i
i
1
n
n
1
2
1
n
< br>n
,
2
2
1
3
1
p>
2
1
2
i
n
n
n
< br>3
2
6
i
1
p>
i
3
i
1
n
n
1
4
1
< br>3
1
2
n
n
n
4
2
4
1
5
p>
1
4
1
3
1
4
i
n
n
< br>n
n
5
2
3
3
0
i
1
i
p>
5
i
1
n
n
1
6
1
5
5
< br>4
1
2
n
n
n
n
6
2
p>
12
12
1
7
p>
1
6
1
5
1
3
1
n
n
n
< br>
n
n
7
2
2
6
42
p>
i
i
1
6
L
L
L
L
< br>
i
k
a
k
1
n
k
1
p>
a
k
n
k
a
k
1
n
k
< br>1
L
a
1
n
a
0
,
可以推测,
当
k
2(
k
N
*
)<
/p>
时,
a
k
p>
1
i
1
n
1
1
,
a
k
< br>,
2
k
1
a
k
1
_____
,
a
k
2
_____
利用递推公式求通项公式
叠加法
数
列
有
形
如
a
p>
n
1
a
n
f
(
n
)
的
< br>递
推
公
式
,
且
f
(1)
f
(2)
L
f
(
n
)
的
和
可
p>
求
,
则
变
形
为
a
n
1
a
< br>n
f
(
n
)
,利用叠加法求和
例
6.21
已知数列
a
n
满足
a
n
1
分析:
式子
a
n
1
a
n
3
n<
/p>
2
(
n
N
*
)
,且
a
1
2
,求数列
a
n
的通项公式
.
a
n
3
n
2
(
n
< br>
N
*
)
是形如
a
n
1
a
n
f
(
n
)
p>
的形式,
故利用叠加法求和
.
解析:
a
n
1
a
n
< br>3
n
2
(
n
N
*
)
可得
<
/p>
a
n
a
n
1
3
n
1
,
(
n
2
)
a
n
1
a<
/p>
n
2
3
n
4
,
L
L
L
p>
a
2
a
1
5
3
n
2
< br>n
3
n
2
n
(
n
N
*
)
p>
相加可得:
a
n
(
n
2
p>
)
,且
a
1
2
也满足上式,故
a
n
2
2<
/p>
变式
1
已知
数列
a
n
中,
a
1
<
/p>
2
,
a
n
1
a
n
2
n
(
n
N
*
)
,求数列
< br>a
n
的通项公式
1
n
*
< br>变式
2
已知数列
a
n
中,
a
1
< br>2
,
a
n
1
a
n
ln(1
)
(
n
<
/p>
N
)
,则
a
p>
n
____
A
p>
、
2
ln
n
B
、
2
p>
(
n
1)ln
n
C
、
p>
2
n
ln
n
D
、
1
p>
n
ln
n
变式
3
已知数列
a
n
中,
a
1
1
,
p>
a
2
2
,且
a
n
1
*
(1
q
)
a
< br>n
qa
n
1
,
(
n
2
,
q<
/p>
0
)
(
1
)设
b
n
a
n
1
a
< br>n
(
n
N
)
,证明:
b
n
是等比数列
.
(
2
)求数列
a
n
的通项公式
变式
4
数列
a<
/p>
n
中,
a
p>
1
2
,
a
n
1
比数列
.
(
1
)求
c
的值;
(
2
)求数列
a
n
的通项公式<
/p>
a
n
cn
(
c
为常数)
(
n
N
*
)
,且
a
1
,
a
2
,
a
3
< br>
成公比不为
1
的等
2
、叠乘法
数列有形如
a
n
f
p>
(
n
)
g
a
n
1
的递推
公式,且
f
(1)<
/p>
g
f
(2)
g<
/p>
L
g
f
(
n
)
的积可求,则
将
递推公式变形
为
a
n
< br>
f
(
n
)
,利用叠乘法求出通项公式
a
n<
/p>
a
n
1
例
6.22
已知数列
a
n
中,
a
1
1
,
p>
2
na
n
1
(
n
1)
a
n
,则数列
a
n
的通项公式为(
)
A
p>
、
n
n
n
n
1
B
、
C
、
D
、
2
p>
n
1
2
n
2
n
2
n
1
a
< br>n
f
(
n
)
的形式,故可以利用叠乘法求解
.
a
n
1
分析:
数列的递推公式是形如
解析:<
/p>
由
2
na
n
p>
1
(
n
1)
a
n
变形得
a
n
1
n
1
a
n
,从而
n
,
L
,
a
n
2
n
p>
a
n
1
2(
n
1)
a
a
a
a
a
2
2
1
< br>n
n
1
3
2
n
,
故
n
g
n
<
/p>
1
g
L
g
3
g
2
(
)
n
1
g
g
g
L
g
g
n
1
(
n<
/p>
2
)
a
1
2
a
n
1
a
n
2
a
2
a
1
2
n
1
n
<
/p>
2
2
1
2
即
a
n
n
n
n
n
1
(
n
2
)
,所以
a
n
n
1
(
n<
/p>
2
,
n
N
*
)
,且
a
1
1
满足上式,故
a
n
n
1
(
n
N
*
)
,
a
1
2
2
2
选
B
变式
1
已知数列
a
n
中,
a
1
1
,
p>
3
、构造辅助数列法
(
1
)待定系数法
形如
a
n
1
pa
n
< br>
q
(
p
,
q
为常数,
pq
< br>
0
且
p
1
)的递推式,可构造
a
n
1
p
(
< br>a
n
)
,转化为等
比数列求解
.
也可以与类比式
a
n
pa
n
1<
/p>
q
作差,
由<
/p>
a
n
1
a
n
p
(
a
n
a
n
1
)
,
构造
a
n
1
a
n
p>
为等比数列,
然后利用叠加法求通项
.
例
6.23
已知数列
a
n
中,
a
1
1
,
a
n
1
1
p>
分析:
式子
a<
/p>
n
1
1
a
n
1
n
2
,求数列
a
n
的通项公式
a
n
n
1
a
n
,求
a
n
的通项公式
.
2
1
,故利用构造法转化
.
a
n
形如
a
n
1
pa
n<
/p>
q
(
p
,
q
为常数,
pq<
/p>
0
且
p
1
)
2
1
1
解析:
解法一、设<
/p>
a
n
1
1
a
n
等价于
a
n
1
(
a
n
)
,得到
2
2
1
1
1
a
n
<
/p>
1
a
n
,对应
a
n
1
a
n
1
,得到
2
2
2
2
1
故原递推式等价于
a
n
1
2
(
a
< br>n
2)
,因此数列
a
n
2
为首
< br>2
1
1
项为
1
,公比为
的等比数列,所以<
/p>
a
n
2
(
)
n
1
,
2
2
故
a
n
2
(
)
n
<
/p>
1
解法二、
由
a
n
1
p>
1
因此
a
n
1
a
n
1
2
1
1
,
a
n
得
p>
a
n
1
a
n
1
(
n
< br>2
,
n
N
*
)
2
2
1
,所以数列
a
n
a
n
1
p>
(
a
n
a
n
1
)
(
n
< br>2
,
n
N
*
)
2
1
1
是首项为
a
2
a
1
<
/p>
,公比为
的等比数列
.
2
2
1
1
a
n
a
n
1
(<
/p>
a
2
a
1
)(
)
n
2
(
)
n
1
< br>
2
2
1
a
n
1
a
n
2
p>
(
)
n
2
2
L
L
L
L
< br>
1
a
2
a
1
(
)
1
叠加得到:
2
1
1
n
(
)
1
1
2
p>
1
n
1
2
2
1
1
a
n
a
< br>1
(
)
L
(
)
1
p>
(
)
n
1
故
a
n
2
< br>(
)
n
1
(
n
N
*
)
p>
1
2
2
2
2
2
1
2
变式
1
已知
a
1
1
,
a
n
3
a
n
1
2
(<
/p>
n
2
,
n
N
*
)
,求
a
n
的通项公式
.
例
6.24
在数列
a
n
中,
a
1
2
,
a
n
p>
1
4
a
n
3
n
1
< br>(
n
N
*
)
,求数列
a
n
的通项公式
.
分析
< br>:将原递推公式转化为
a
n
<
/p>
1
a
(
n
1)
4(
a
n
an
)
,即
a
n
1
4
a
n
3
an
3
a
,比较
a
n
1
p>
4
a
n
3
n
1
,得
a
1
,
0
,所以数列
a
n
n
是首项为
1
,公比为
4
的等比数列,故
a
n
<
/p>
n
4
n
1
,即
a
n
n
4
n
1
< br>
(
n
N
*
)
2
、同除以指数
n
形如
a<
/p>
n
1
pa
n
d
(
p
0
且
p
< br>1
,
的递推式,
当
p
d
时,
两边同除以
d
n
1
转化为关于
d
1
)
a
n
n
d
的等差数列;当
p
d
时,两边人可以同除以
d
n
1
得
(
1
)
.
a
n<
/p>
1
p
a
n
1
p
1
,转化为
,同类型
g<
/p>
b
g
b
n
1
n
d
n
1
d
d
n
d
d
d
n
1
*
例<
/p>
6.25
已知数列
< br>
a
n
中,
a
1
1
,
a
n<
/p>
3
a
n
1
2
(
n
2
,
n
N
)
,求数列
a
< br>n
的通项公式
.
n
1
n
解析:解法一
、将
a
n
3
a
n
1
2
两边同除以
3
得
n
n
a
a
n
1
1
2
n
1
n
1
<
/p>
(
)
,
3
3
3
p>
3
a
n
则
n
3
a
1
1
2
n
< br>
1
1
2
1
1
2
n
n
1
n
,则<
/p>
a
3
2
(
)
L
(
)
(
)
n
1
3
3
3<
/p>
3
3
3
3
n
1
a
n
3
a
n
1
1
解法二、
将
a
n
< br>3
a
n
1
2
两边同除以
< br>2
得
n
g
n
1
,
2
2
p>
2
2
n
令
b
n
3
1
3
a
n
< br>b
b
b
(
b
n
1
p>
)
,得
1
,因此数列<
/p>
b
n
1
为等比
,得
p>
,构造
n
n
p>
1
n
n
2
2
2
2
3
n
1
3
< br>n
1
3
n
1
数列,且
b
n
1
(
b
1
<
/p>
1)(
)
,
<
/p>
n
,则
b
p>
n
n
1
(
n
N
*
)
< br>2
2
2
a
n
3
n
1
n
1
n
p>
故
n
n
1
,进而得到
a
p>
n
3
2
2
2
n
评注:
一般地,
对于形如
a
n
p>
1
pa
n
d
(
p
0
且
p
1
,
d
1
)
的数列求通项公式,
两边同除以
d
n<
/p>
1
转化为待定系数法求解;两边同除以
p
n
1
p>
转化为叠加法求解
.
n
变式
1
在数列
a
n
中,
a
1<
/p>
1
,
a
n
1
2
a
n
2
(
1
)设
b
n
a
n
,试证明:数列
b
n
是等差数列
.
n
1
2
(
2
)求数列
a
n
的前
n
项的和
S
n
取倒数法
对于
a
n
1
aa
n
1
b<
/p>
ca
n
b
p>
1
c
(
ac
0)
,取倒数得
g
. <
/p>
b
ca
n
p>
a
n
1
aa
n
a
a
n
a
1
当
a
b
时,数列
< br>是等差数列;
a
n
当
a
b
时,令
b
n
1
a
n
,则
b
n
1
b
c
g
b
n
p>
,可用待定系数法求解
.
a
a
2
a
n
< br>,求数列
a
n
的通项公式
.
2
a
n
例
6.26
在数列
p>
a
n
中,
a
1
1
,
a
n
1
分析:
式中含有形如
p>
a
n
1
和
a
n
的分式形式,故
考虑利用倒数变换求其通项公式
.
解
析
:
因
为
1<
/p>
2
a
n
1
1
a
n
1
2
a
n
a
n
2
,
所
以
1
1
1<
/p>
a
n
1
a
n
2
,
即
数
列
1
a
n
是
等
差<
/p>
数
列
,
1
1
1
n
1
2
*
,故
a
n
(
< br>n
N
)
(
n
1)
a<
/p>
n
1
a
n
2
2
n
1
变式
1
已知数列
a
n
中首项
a
1
3
a<
/p>
n
3
*
,
a
n
1
(
n
N
)
,求数列
a
n
的通项公式
.
1
2
a
n
5
变式
2
已知数列
a
n
中首项
a
1
1
,前
n
项的和为
S
n
,且满足
S
n
数列
a
n
的通项公式
.
取对数法
形如
a
n
1
S
n
1
(
p>
n
2
,
n
N
*
)
,求
1
2
S
n
1
k
ca
n
(
c
0
,
a
n
0)
的递推公式,则常常两边取对数转化为等比数列求解
.
3
(
n
p>
N
*
)
,则数列的通项
a
n
_______
a
n
例
6.27
已知数列
a
n
中首项
a
1
3
,且
a
n
1
分析
:取对数时,常用以
a
1
为
底的对数,便于计算
.
解析:
因为<
/p>
a
1
3
,
所以对
a
n
1
3
两边取以
p>
3
为底的对数,
得到
log
3
a
n
1
2log
3
a
n
,
故
log
3
a
n
a<
/p>
n
是以
1
为首项
,
2
为公比的等比数列,所以
log<
/p>
3
a
n
变式
p>
1
已知数列
a
n
中首项
a
1
10<
/p>
,且
a
n
p>
1
2
n
1
,所以
a
n
3
2
n
1
(
< br>n
N
*
)
2
(
n
N
*
p>
)
,求数列的通项
a
n
10
g
a
n
已知通项公式
< br>a
n
与前
n
项的和
S
n
关系求通项问题
对于给出关于
a
n
与
S
n
的关系
式的问题,
解决方法包括两个转化方向,
在应用时要合理选择<
/p>
.
一个方向是转
化
S
n
为
a
n
的形式,手段是使用类比作差法,使
S
n
S
n
<
/p>
1
=
a
n
(
n
2
,
n
N
*
)
,故得到数列
a
n
的
相关结论,这种方法适用于数列的前
n
项的和的形式
相对独立的情形;另一个方向是将
a
n
转化为
S
n
S
n
1
(<
/p>
n
2
,
n
N
*
)
,先考虑
S
n
与
S
n
1
的关系式,继而得到数列
S
n
的相关结论,然后使用
代入法或者其他方法求解
a
n
的问题,
这种情形的解决
方法称为转化法,
适用于数列的前
n
项
和的形式不
够独立的情况
.
简而言之
,求解
a
n
与
S
n
的问题,方法有二,其一称为类比作差法,实质是转化
p>
S
n
的形式为
a<
/p>
n
的形式,
适用于
S
n
的形式独立的情形,如已知
S<
/p>
n
4
a
n
1
2
(
n
2
,
n
N
*
)
;其二称为转化法,实质是
转
2
2
S
n<
/p>
*
化
a
n
的形式为
S
n
的形式
,
适用于
S
n
的形式不够独立的情形,如已知
a
n
(
n
2
p>
,
n
N
)
;
2
S
n
1
不管使用什么方法,
都应该注意解题过程中对
n
的范围加以跟踪和注意,一般建议在
相关步骤后及时加注
n
的范围
.
例
6.28
已知正项数列
a
n
中,前
n
项的和
S
n
,且满足
2
解析:
由已知,可得
4
S
n
类比得到
4
S
n
1
S
n
a
n
p>
1
,求数列
<
/p>
a
n
的通项公
式
.
(
a
n
1)
2<
/p>
①
(
p>
a
n
1
1)
2
(
n
2
,
n
N
*
)②
式①
式②得
即
2
2
p>
4
S
n
4
S
n
1
a
n
< br>
a
n
1
2
a
n
2
a
n
p>
1
2(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
a
n
1
)(
a
n
a
n
1
p>
)
所
以
(
a
n
a
n
1
)(
a
n
a
n
1
2)
0
,
又
因
为
a
n
p>
a
n
1
0
,故
a
n
a
n
1
2
0
(
n
2
,
n<
/p>
N
*
)
,因此数列
a
n<
/p>
为等差数列,且首项为
1
,公
比为
2
故
a
p>
n
2
n
1
(
n
N
< br>*
)
评注:
< br>本题是关于
a
n
与
S
n
的关系式问题中第一个方向的典型题目,本题的
闪光点是未给出
S
n
的直接形
式,需要考生稍加变形,转化为
4
S
n
(
a
n
1)
2
< br>后,才可使求解方向变得更为明朗
.
1
,
S
n
1
4
a
n
2
(<
/p>
n
N
*
)
变式
1
已知数列
a
n
的前
n
项的和
S
n
,
a
1
(
p>
1
)设
b
n
(
2
)设
c
n
a
n
1
2
< br>a
n
,求
b
n
;
1
,求数列
c
n
的前
n
项和
T
n
;
a
n
1
p>
2
a
n
(
3
)设
d
n
a
n
2
n
,求
d
< br>2010
例
6.29
已知数列
a
n
中,
a
n
式
1
1
p>
0
,且对于任意正整数
< br>n
有
S
n
(
a
n
)
,求数列
a
n
的通项公
2
a
n
S
n
1
(
p>
n
2
,
n
N
*
)求解,将试题右
分析:
已知
a
n
与
S
n
的关系,求数列的通项公式利用
a
n<
/p>
=
S
n
边的含<
/p>
a
n
的式子换成
S
n
解析:
当
n
1
时,
S
1
S
n
p>
1
来处理
. <
/p>
1
1
a
1
(
a
1
)
,及
a
n
0
< br>,解得
a
1
< br>
1
2
a
1
1
1
1
1
当
n
p>
2
时,由
S
n
p>
(
a
n
)
得
S
n
(
S
< br>n
S
n
1
)
,
2
a
n
p>
2
S
n
S
n
1
变形整理得
2
2
2
S
,数列
S
n
S
n
1
n
< br>
是等差数列,首项为
1
,
p>
1
公差为
1
故
S
n
p>
2
1
(
n
1)
1
n
,所以
S
n
n
n
1
适合上式,故
S
n
n
(
< br>n
N
*
)
故当
n
2
时,
a
n
=
S
n
故
p>
a
n
S
n
1
n
n
< br>1
,
n
1
适合上式,
< br>
n
n
1
(
n
N
*
)