数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结

余年寄山水
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2021年02月23日 18:52
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2021年2月23日发(作者:canghai)


数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结



知识点精讲



一、基本概念



1


)若已知数列的第


1


项(或前项 )


,且从第


2


项(或某一项)开始的任 一项与它的前一项(或前几项)


间的关系可以用一个公式来表示,


那么该公式就叫做这个数列的递推公式


.


递推公式也是给出数 列的一种方



.


< br>2


)数列的第


n



a


n


与项数


n


之间的函数关系,可以用一个公式


a


n


的通项公式


.


注:①并非所有的数列都有通项公式;







②有的数列可能有不同形式的通项公式;







③数列的通项就是一种特殊的函数关系式;







④注意区别数列的通项公式和递推公式


.


题型归纳及思路提示



题型


1



数列通项公式的求解



思路提示



常见的求解数列通项公式的 方法有观察法、利用递推公式和利用


S


n



a


n


的关系求解

< br>.


观察法



根据所给的一列数 、式、图形等,通过观察法归纳出其数列通项


.


利用递推公式求通项公式



①叠加法< /p>


:形如


a


n


< /p>


1


②叠乘法


:形如


a


n



f


(


n


)


来表示,那么

a


n


就是数列


< br>a


n



f


(


n


)


的解析式,可利用递推多式相 加法求得


a


n




f


(


n


)


a


n



1



(


a


n



0)


(


n

< p>


2,


n



N


*


)


的解析式,



可用递推多式相乘求得


a

n



③构造辅助数列


:通过变换递 推公式,将非等差(等比)数列



构造成为等差或等比数列来求 其通项公式


.


常用的技巧有待定系数法、


取倒数法、


对称变换法和同除以指数



.


利用


S


n



a


n


的关系求解

< br>


形如


f


(

S


n


,


S


n



1


)


< /p>


g


(


a


n


)


的关系,求其通项公式,可依据



S


1


(


n



1)



,求出

< p>
a


n



a


n




*


S


n



S


n



1


(< /p>


n



2,


n



N


)


观察法



观察法即根据所给的一列数、式、图形等,通过观察分析数列各项 的变化规律,求其通项


.


使用观察法时要


注意:①观察数列各项符号的变化,考虑通项公式中是否有


(



1)


或者


(



1)


n


n



1



部分


.< /p>


②考虑各项的变化


2


n

< br>规律与序号的关系


.


③应特别注意自然数列、

< p>
正奇数列、


正偶数列、


自然数的平方


关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列


.

< br>例


6.20


写出下列数列的一个通项公式:




1


< br>



n





2




(



1)


n< /p>



3


2


5


3


7


4


,

< p>
,



,


,



,


,


L

;



7


5


13


8


19


11



2



2,22,222

< p>


L



22


L



3


)数列


2




< br>11


L


122


L


3


2



L


{


1


2


n



n



< /p>


a


n



中各项为 :


12,1122,111222



L


分析


:通过观察,找出所给数列的特征,求出其通项

< p>
.


解析:



1


)①原数列中的数的符号一正一负,故摆动数列乘以


(

< br>


1)



②绝对值后分子分母无明显的规律,但通过对偶数各项分子分母同乘以


2

< p>
,可使分子出现规律为


3,4,5,6



L


,则


a


n

< p>


(



1)


n


n


n


< br>2


.


3


n


4


a


n



2



10


n



1



2



10


n



2



L


< p>
2


解法一



< p>
2(10


n



1



10


n


< p>
2



L



10


0


)


< br>1


g


(1


10


n


)


2


n



2


g



(10



1)


1



10


9


解 法二


:原数列



2

2


2


2


n



9,



99,


L



99


L


9




a


=< /p>


(10


-1)



n


3


9


9


9< /p>


1


2


9


n



2


n


1

< p>
(10


-1)=


(10


n


-1)(10


n


+2)



9


9


3



a


n


=


(10


n


-1)

g


10


n


+


1


9


变式


1




将全体正整数排成一个三角形数阵,


如下所示,


则第


n


< br>(


n



3



从左到右的第


3


个数为

< p>
__________
























1


2






3



















4






5






6
















7






8







9






10












L


L


L


L




L


L


L


L




L



变式


2



观察下列等式:











i



i



1


n


n


1


2


1


n


< br>n




2


2









1


3


1


2


1


2


i



n



n



n



< br>3


2


6


i



1










i


3



i



1


n


n


1


4


1

< br>3


1


2


n



n



n



4


2


4









1


5


1


4


1


3


1


4


i



n



n


< br>n



n




5


2


3


3 0


i



1






i


5



i



1


n


n


1


6


1


5


5

< br>4


1


2


n



n



n



n



6


2


12


12


1


7


1


6


1


5


1


3


1


n



n



n

< br>


n



n



7


2


2


6


42










i


i



1


6



L


L


L


L


< br>


i


k



a


k



1


n


k



1



a


k


n


k



a


k



1


n


k


< br>1



L



a


1


n



a


0



可以推测,



k



2(


k



N


*


)< /p>


时,


a


k



1



i



1


n


1


1



a


k


< br>,


2


k



1


a


k



1



_____



a


k



2



_____



利用递推公式求通项公式



叠加法








a


n



1



a


n



f


(


n


)


< br>递







f


(1)



f


(2)



L



f


(


n


)











a


n



1



a

< br>n



f


(


n


)


,利用叠加法求和




6.21


已知数列



a


n


满足


a


n



1


分析:


式子


a

n



1



a


n



3


n< /p>



2



(


n



N


*

< p>
)


,且


a


1



2


,求数列


< p>
a


n



的通项公式


.



a


n



3


n



2



(


n

< br>


N


*


)


是形如


a


n



1



a


n



f


(


n


)


的形式,



故利用叠加法求和


.


解析:


a


n



1



a


n


< br>3


n



2



(


n



N


*


)


可得


< /p>


a


n



a


n



1


< p>
3


n



1




n


2




a


n



1



a< /p>


n



2



3


n



4

< p>




L


L


L



a


2



a


1



5



3


n


2


< br>n


3


n


2



n


(


n



N


*


)



相加可得:


a


n




n



2



,且


a


1



2


也满足上式,故


a


n



2


2< /p>


变式


1



已知 数列



a


n



中,


a


1


< /p>


2



a


n



1



a

< p>
n



2


n


(


n



N

*


)


,求数列


< br>a


n



的通项公式



1


n


*

< br>变式


2



已知数列

< p>


a


n



中,


a


1


< br>2



a


n



1



a


n



ln(1



)



(


n


< /p>


N


)


,则


a


n



____










A



2



ln


n






B



2



(


n



1)ln


n






C



2



n


ln


n






D



1



n



ln


n



变式


3



已知数列



a


n



中,


a


1



1



a


2



2


,且


a


n


< p>
1


*



(1



q


)


a

< br>n



qa


n


1




n



2



q< /p>



0





1


)设


b


n



a


n



1



a

< br>n


(


n



N


)


,证明:


b


n



是等比数列


.



2


)求数列

< p>


a


n



的通项公式



变式


4



数列



a< /p>


n



中,


a


1



2



a


n



1


比数列


.



1

< p>
)求


c


的值;




2


)求数列



a


n



的通项公式< /p>




a


n



cn



c


为常数)


(


n



N


*


)


,且


a


1


,


a


2


,


a


3

< br>


成公比不为


1


的等

< p>
2


、叠乘法



数列有形如


a


n



f


(


n


)


g


a


n



1


的递推


公式,且


f


(1)< /p>


g


f


(2)


g< /p>


L


g


f


(


n


)


的积可求,则


将 递推公式变形



a


n

< br>


f


(


n


)


,利用叠乘法求出通项公式


a


n< /p>



a


n



1



6.22




已知数列



a


n



中,


a


1



1



2


na


n



1



(


n

< p>


1)


a


n


,则数列



a


n

< p>


的通项公式为(







A



n


n


n


n



1






B







C







D




2


n



1


2


n


2


n


2


n



1


a

< br>n



f


(


n


)


的形式,故可以利用叠乘法求解


.


a


n



1


分析:


数列的递推公式是形如


解析:< /p>



2


na


n



1



(


n



1)


a

< p>
n


变形得



a

< p>
n



1


n



1


a


n


,从而



n



L




a


n


2


n


a


n



1


2(


n



1)


a


a


a


a


a


2


2


1

< br>n


n



1


3


2


n



, 故


n


g


n


< /p>


1


g


L


g


3


g


2


< p>
(


)


n



1


g


g


g

L


g


g



n



1



n< /p>



2




a


1


2


a

< p>
n



1


a


n



2


a

2


a


1


2


n



1


n


< /p>


2


2


1


2




a


n

< p>
n


n


n



n



1


n



2



,所以


a


n



n



1



n< /p>



2



n



N


*


< p>
,且


a


1



1


满足上式,故


a


n



n



1

< p>


n



N


*




a

1


2


2


2



B


变式


1



已知数列



a


n



中,


a


1



1



3


、构造辅助数列法



1


)待定系数法



形如


a


n



1



pa


n

< br>


q



p


,


q


为常数,


pq

< br>


0



p



1


)的递推式,可构造


a


n



1





p


(

< br>a


n




)


,转化为等


比数列求解


.


也可以与类比式


a


n



pa


n



1< /p>



q


作差,


由< /p>


a


n



1



a


n


< p>
p


(


a


n



a


n


1


)



构造



a


n



1



a


n



为等比数列,


然后利用叠加法求通项


.



6.23



已知数列



a


n


中,


a


1



1



a


n



1



1



分析:


式子


a< /p>


n



1



1



a


n

< p>


1


n



2



,求数列



a


n



的通项公式



a


n


n


1


a


n


,求



a


n


的通项公式


.


2


1


,故利用构造法转化


.


a


n


形如


a


n



1



pa


n< /p>



q



p


,


q


为常数,


pq< /p>



0



p



1



2

< p>
1


1


解析:


解法一、设< /p>


a


n



1



1



a

< p>
n


等价于


a


n

< p>


1





(


a


n



)


,得到


2


2


1


1


1


a


n


< /p>


1



a


n




,对应


a


n



1


< p>
a


n



1


,得到





2



2


2

2


1


故原递推式等价于


a


n



1



2



(


a

< br>n



2)


,因此数列

< p>


a


n



2



为首


< br>2


1


1


项为


1


,公比为


的等比数列,所以< /p>


a


n



2




(


)

< p>
n



1




2


2


a


n



2



(


)


n


< /p>


1



解法二、



a


n



1



1



因此


a


n



1

< p>


a


n



1


2


1


1



a


n




a


n



1



a


n



1



n


< br>2



n



N


*



2


2


1


,所以数列



a


n



a


n



1




(


a


n



a


n



1


)



n


< br>2



n



N


*



2


1


1


是首项为


a


2



a


1


< /p>


,公比为


的等比数列


.


2


2


1


1

a


n



a


n



1



(< /p>


a


2



a


1


)(


)


n



2



(


)


n



1

< br>


2


2


1


a


n



1



a


n



2



(


)


n



2



2


L


L


L


L

< br>


1


a


2



a


1



(


)


1



叠加得到:



2


1


1


n



(


)


1


1


2


1


n



1


2


2


1


1


a


n



a

< br>1




(


)



L



(


)




1



(


)


n



1



a


n



2


< br>(


)


n



1




n



N


*




1


2


2


2


2


2


1



2


变式


1



已知


a


1



1



a


n


3


a


n



1



2


(< /p>


n



2



n



N


*

< p>


,求



a


n



的通项公式


.



6.24



在数列



a


n



中,


a


1



2



a


n



1



4


a


n



3


n



1


< br>(


n



N


*



,求数列


a


n




的通项公式


.


分析

< br>:将原递推公式转化为


a


n


< /p>


1



a


(


n



1)





4(


a

< p>
n



an




)


,即


a


n



1


4


a


n



3


an



3




a


,比较


a


n



1



4


a


n



3


n



1


,得


a




1




0


,所以数列



a


n



n


是首项为


1


,公比为


4

< p>
的等比数列,故


a


n


< /p>


n



4


n



1


,即


a


n



n



4


n



1

< br>



n



N


*




2


、同除以指数



n


形如



a< /p>


n



1



pa


n



d



(


p



0



p


< br>1



的递推式,



p



d


时,


两边同除以


d


n


< p>
1


转化为关于



d



1



< p>
a


n



n




d


的等差数列;当


p



d

< p>
时,两边人可以同除以


d


n



1




1



.


a


n< /p>



1


p


a


n


1


p


1

< p>
,转化为


,同类型



g< /p>



b



g


b



n


< p>
1


n


d


n



1


d


d

n


d


d


d


n



1


*


例< /p>


6.25



已知数列

< br>


a


n



中,


a


1




1



a


n< /p>



3


a


n



1



2

< p>


n



2



n



N


,求数列



a

< br>n



的通项公式


.

< p>
n



1


n


解析:解法一


、将


a


n



3


a


n

< p>


1



2


两边同除以


3



n

< p>
n


a


a


n



1


1


2

n



1



n



1



< /p>


(


)





3


3


3


3


a


n



n


3



a


1


1


2


n

< br>


1


1


2


1


1


2


n


n



1


n


,则< /p>



a



3



2



< p>
(


)



L




(


)



(


)


n


1


3


3


3< /p>


3


3


3


3


n



1


a

< p>
n


3


a


n



1


1


解法二、



a


n


< br>3


a


n



1



2


两边同除以

< br>2



n



g


n



1





2


2


2


2


n



b


n



3


1


3


a


n

< br>b



b



b





(


b


n



1




)


,得




1


,因此数列< /p>



b


n



1



为等比


,得


,构造


n


n



1


n


n


2


2


2


2


3


n



1


3

< br>n



1


3


n



1


数列,且

b


n



1



(


b


1


< /p>


1)(


)



< /p>



n


,则


b


n



n



1




n



N


*


< br>2


2


2


a


n


3


n



1


n



1


n



n



n



1


,进而得到


a


n



3



2



2


2


n


评注:


一般地,


对于形如



a


n



1



pa


n



d



(

< p>
p



0



p



1


d



1



的数列求通项公式,


两边同除以


d


n< /p>



1


转化为待定系数法求解;两边同除以


p


n



1


转化为叠加法求解


.


n


变式


1



在数列



a


n



中,


a


1< /p>



1



a


n



1


< p>
2


a


n



2




1

)设


b


n



a


n


,试证明:数列



b


n



是等差数列


.


n



1

< p>
2



2


)求数列



a


n



的前


n


项的和


S

< p>
n




取倒数法



对于


a


n



1



aa


n


1


b< /p>



ca


n


b


1


c


(


ac



0)


,取倒数得




g



. < /p>


b



ca


n


a


n



1


aa


n


a


a

< p>
n


a



1




a


b


时,数列



< br>是等差数列;




a

< p>
n




a



b


时,令


b


n



1


a

n


,则


b


n



1


b


c



g


b


n



,可用待定系数法求解


.


a


a


2


a


n

< br>,求数列



a


n



的通项公式


.


2



a


n



6.26



在数列



a


n



中,


a


1



1

< p>


a


n



1



分析:


式中含有形如


a


n



1



a


n


的分式形式,故 考虑利用倒数变换求其通项公式


.







1< /p>


2



a


n


1


1



< p>


a


n



1


2


a


n

a


n


2





1


1


1< /p>




a


n



1


a


n

< p>
2







1





a


n





差< /p>





1


1


1


n


< p>
1


2


*


,故


a


n



< br>n



N






(


n



1)



a< /p>


n



1


a


n


2


2


n

< p>


1


变式


1



已知数列



a


n



中首项


a


1



3


a< /p>


n


3


*



a


n



1

< p>



n



N



,求数列



a


n



的通项公式


.


1



2

< p>
a


n


5


变式


2



已知数列



a


n



中首项


a


1



1


,前


n


项的和为


S


n


,且满足


S


n



数列



a


n



的通项公式


.


取对数法



形如


a


n



1


S


n



1



n



2



n



N


*



,求


1



2


S


n


1


k



ca


n


(


c



0 ,


a


n



0)


的递推公式,则常常两边取对数转化为等比数列求解


.


3




n



N


*



,则数列的通项


a


n



_______



a


n



6.27


< p>
已知数列



a


n



中首项


a


1



3


,且


a

< p>
n



1


分析


:取对数时,常用以


a


1


为 底的对数,便于计算


.


解析:


因为< /p>


a


1



3



所以对


a


n



1


3


两边取以


3


为底的对数,


得到


log


3


a


n



1



2log

3


a


n





log


3


a


n




a< /p>


n


是以


1


为首项 ,


2


为公比的等比数列,所以


log< /p>


3


a


n


变式


1



已知数列



a


n



中首项


a


1



10< /p>


,且


a


n



1



2


n



1


,所以


a


n



3


2


n



1


< br>n



N


*




2




n



N


*



,求数列的通项


a


n




10


g


a


n


已知通项公式

< br>a


n


与前


n

项的和


S


n


关系求通项问题



对于给出关于


a


n



S


n


的关系 式的问题,


解决方法包括两个转化方向,


在应用时要合理选择< /p>


.


一个方向是转



S


n



a


n


的形式,手段是使用类比作差法,使


S


n



S


n


< /p>


1


=


a


n



n



2

< p>


n



N


*



,故得到数列



a


n




相关结论,这种方法适用于数列的前


n


项的和的形式 相对独立的情形;另一个方向是将


a


n


转化为


S


n



S


n



1


(< /p>


n



2



n



N


*

< p>


,先考虑


S


n



S


n



1


的关系式,继而得到数列



S


n



的相关结论,然后使用


代入法或者其他方法求解



a


n



的问题,


这种情形的解决 方法称为转化法,


适用于数列的前


n


项 和的形式不


够独立的情况


.


简而言之 ,求解


a


n



S


n


的问题,方法有二,其一称为类比作差法,实质是转化


S


n


的形式为


a< /p>


n


的形式,


适用于


S


n


的形式独立的情形,如已知


S< /p>


n



4


a


n



1


< p>
2



n



2



n


N


*



;其二称为转化法,实质是 转


2


2


S


n< /p>


*



a


n


的形式为


S


n


的形式 ,


适用于


S


n


的形式不够独立的情形,如已知


a


n




n



2



n



N




2


S


n



1


不管使用什么方法, 都应该注意解题过程中对


n


的范围加以跟踪和注意,一般建议在 相关步骤后及时加注


n


的范围


.



6.28



已知正项数列



a


n



中,前


n


项的和

< p>
S


n


,且满足


2


解析:


由已知,可得


4


S


n


类比得到


4


S


n



1


S


n



a


n



1


,求数列


< /p>


a


n



的通项公 式


.



(


a


n



1)


2< /p>









(


a


n



1



1)


2


< p>
n



2



n



N


*

)②



式①



式②得





2


2


4


S


n



4


S


n



1



a


n

< br>


a


n



1



2


a


n



2


a


n



1



2(


a


n



a

< p>
n



1


)



(


a


n


a


n



1


)(


a


n



a


n



1


)




(


a


n



a


n



1


)(


a


n



a

n



1



2)



0






a


n



a


n



1



0


,故

< p>
a


n



a


n



1


2



0



n



2



n< /p>



N


*



,因此数列



a


n< /p>



为等差数列,且首项为


1


,公


比为


2






a


n



2


n



1





n



N

< br>*




评注:

< br>本题是关于


a


n



S


n


的关系式问题中第一个方向的典型题目,本题的 闪光点是未给出


S


n


的直接形


式,需要考生稍加变形,转化为


4


S

< p>
n



(


a


n



1)


2

< br>后,才可使求解方向变得更为明朗


.



1



S


n


1



4


a


n



2


(< /p>


n



N


*




变式


1




已知数列



a


n



的前


n


项的和


S


n



a


1



1


)设


b


n



2


)设


c


n



a


n



1



2

< br>a


n


,求


b

n





1


,求数列



c


n



的前


n


项和


T


n




a


n



1



2


a


n



3


)设


d

< p>
n



a


n


2


n


,求


d

< br>2010




6.29




已知数列



a


n



中,


a


n




1


1



0


,且对于任意正整数

< br>n



S


n



(


a


n



)


,求数列



a


n



的通项公


2


a


n



S


n



1



n



2



n



N


*


)求解,将试题右


分析:


已知


a


n



S


n


的关系,求数列的通项公式利用


a


n< /p>


=


S


n


边的含< /p>


a


n


的式子换成


S


n


解析:



n



1


时,


S


1



S


n



1


来处理


. < /p>


1


1



a


1



(


a

< p>
1



)


,及


a


n



0

< br>,解得



a


1

< br>


1



2


a


1


1


1


1


1



n



2


时,由


S


n



(


a


n



)



S


n



(


S

< br>n



S


n



1



)




2


a


n


2


S


n



S


n



1


变形整理得



2


2


2


S


,数列


S


n



S


n



1



n

< br>


是等差数列,首项为


1





1


公差为


1




S


n


2



1



(


n



1)

< p>


1



n


,所以


S


n



n



n


1


适合上式,故


S


n



n



< br>n



N


*




故当


n



2


时,


a


n


=


S


n



a


n



S


n



1



n



n


< br>1




n



1


适合上式,


< br>


n



n



1



n



N


*



-


-


-


-


-


-


-


-