高中数学数列知识点精华总结
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数
列
专
题
考点一：求数列的通项公式
1.
由
a<
/p>
n
与
S
n
的关系求通项公式
由
S
n
与
a
n
的递推关系求
a
n
的常用思路有：
①利用
S
n
－
S
n
－
1
＝
a
n
(n≥2)
转化为
a
n
的递推关系，再求其通项公式；
S
1
，
n
＝
1
< br>，
数列的通项
a
n
与前
n
项和
S
n
的关系是
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
，n≥2.
当
n
＝
1
时，
a
1
若适合
S
n
－
S
n
－
1
，
则
n
＝
1
的情
况可
并入
n≥2
时的通项
a
n
；当
n
＝
1
时，
< br>a
1
若不适合
S
n
－
S
n
－
1
，则用分段函数的形式表示．
②转化为
S
n
的递推关系，先求出
S
n
与
n
的关系，再求
a
n
.
2.
由递推关系式求数列的通项公式
由递推公式求通项公式的常用方法
:
已
知数列的递推关系，求数列的通项公式时，通常
用累加、累乘、构造法求解．
累加法
：递推关系形如
a
n
＋<
/p>
1
－
a
n
＝
f(n)
，常用累加法求通项；
a
n
＋
1
累乘法
：递推关系形如
＝
f(n)
，
常用累乘法求通项；
a
n
构造法
：
1
）递推
关系形如“a
n
＋
1
< br>＝
pa
n
＋
q(p
、
q
是常数，且
p≠1，q≠0)”的数列求通
项，此类通项问题，常用待定系数法．可设
a
n
＋
1
＋λ＝
p(a
n
＋
λ)
，经过比较，求得
λ，
则数列
{a
n
＋λ}是一个等比数列；
2
）递推关系形如“
a
n
＋
1
＝
pa
n
＋
q
(q
，
p
为常数，且
p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类
型可以将关系式两边同
除以
q
转化为类型
(4)
，或同除以
p
3
）
倒数变形
n
n
＋
1
n
转为
用迭加法求解．
3.
数列函数性质的应用
数列与函数的关系
数列是一种特殊的
函数，
即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，
当
自变
量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，
就是数列．<
/p>
因此，
在研究函数问题时既要注意
函数方
法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．
函数思想在数列中的应用
(1)
数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决．
(2)
数列的单调性是高考常考内容之一，有关
数列最大项、最小项、数列有界性问题均
可借助数列的单调性来解决，
< br>判断单调性时常用：
①作差；
②作商；
< br>③结合函数图象等方法．
（
3
)
数列
{a
n
}
的最大
(
小
)
项的求法
1
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a
n
－
1
≤a
n
，
可以利用不等式组
a
n
≥a
n
＋
1
，
<
/p>
2
a
n
－
1
≥a
n
，
找到数列的最大
项；利用不等式组
a
n
≤a
n
＋
1
，
找到
数列的最小项
.
[
例
3]
已
知数列
{a
n
}
．
(1)
若
a
n
＝
n
－
5
n
＋
4
，①数列中有多少项是负数？②
n
为何值时，
a
n
有最小值？并求出最小值．
(2
)
若
a
n
＝<
/p>
n
＋
kn
＋
4
且对于
n
∈
N
，都有
a
n
＋
1
>a
n
成立．求实数
k
的取值范围．
2
*
定义
通项公式
(1)
定义法
(2)
中项公式法：
2a
n
＋
1
＝
a
n
＋
a
n
< br>＋
2
(n≥1)
⇔
{a
n
}
为等差数列
判定方法
等差数列
a
n
－
a
n
－<
/p>
1
＝常数(n≥2)
< br>a
n
＝
a
1
＋
(n
－
1)d
考点二：等差数列和等比数列
等比数列
a
n
＝常数(n≥2)
a
n
－
1
a
< br>n
＝
a
1
q
(1)
定义法
< br>(2)
中项公式法：
a
n
＋
1
＝
a
n
·a
n
＋
2
(n≥1)(a
n
≠0)
⇔
{a
n<
/p>
}
为等比数列
(3)
通项公式法：
a
n
＝c·q
(c
、
q
均是不为
0
的
常数，n
∈
N
)
⇔
{a
n
}
为等比数列
(4){a
n
}
< br>为等差数列
⇔
{a
}
为等比数列
(a>0
且
a
≠1)
(1)
若
m
、
n
、
p
、q∈
N
，且
m
＋
n
＝
p
＋
q
，
则
a
m
·a
n
＝
a
p
·a
q
特别地，若
m<
/p>
＋
n
＝
2p
，则
a
m
·a
n
＝
a
p
.
(2)a
n
＝
a
m
q
n
－
m
2
*
an
*
n
2
n
－
1
(q≠0)
(3)
通项公式法：
a
n
＝
pn
＋
q(p
、
q
为
常数
)
⇔
{a
n
}
为等差数列
< br>(4)
前
n
项和公式法：
S
n
＝
An
＋
Bn(A
、
B
为常数
)
⇔
{a
n
}
为等差数列
(5){a
n
}
为等比数列，
a
n
>0
⇔
{log
a
a
n
}
为等差数列
(1)
若
m
、
n
、
p
、q∈
N
，且
m
＋
n
＝
p
＋
q
，
则
< br>a
m
＋
a
n
＝
a
p
＋
a
q
*
2
性质
<
/p>
特别：若
m
＋
n
＝
2p
，则
a
m
＋
a
n
＝
2a
p
.
(2)a
n
＝
a
m
＋
(n
－
m)d
(3)
数列
S
m
，
S
2m
－
S
m<
/p>
，
S
3m
－
S
2m
，
…也是等
差数列，
即
2(S
< br>2m
－
S
m
)
＝
S
m
+(S
3m
－
S
2m
)
(
3)
若等比数列前
n
项和为
S
n
则
S
m
，
S
2m
－
S
m
，
S
3m
－
S
2m
仍成等比数列，即
(S
2m
－
S
m
)
＝
S
m
(S
3m
－
S
2m
)(m
∈
N
，公比
q≠－
1)
．
a
1
1
－
q
(1)q≠1，<
/p>
S
n
＝
1
－
q
(2)q
＝
1
，
S
n
＝
na
1
n
*
2
前
n
项和
n
< br>S
n
＝
a
1
＋
a
n
n
n
－
1
＝
na
1
＋
d
2
2
a
1
－
a
n
q
＝
1
－
< br>q
1.
在等差
(
比
)
数列中，
a
1
，
d(q)
，
n
，
a
n
，
S
n
五个量中知道其中任意
三个，就可以求出其他两
个．解这类问题时，一般是转化为首项
a
1
和公差
d(
公比
q)
这两个基本量的有关运算．
2.
等差、
等比数列的性质是两种数列
基本规律的深刻体现，
是解决等差、
等比数列问题既快
捷又方便的工具，
应有意识地去应用．
但在应用
性质时要注意性质的前提条件，
有时需
要进行适当变形．
2
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3.
用函数的观点理解等差数列、等比数列
（
1
）对于等差数列
a
n
＝
a
1
＋<
/p>
(n
－
1)d
＝
dn
＋
(a
1
－
d)
，当
d
≠0
时，
a
n
是关于
n
的一次函
数，对应的点
(n
，
a
n
)
是位于直线上的若干个离散的点；
当
d
＞
0
时，函数是单调增函数，对应的数列是单调递增数列，
S
n
有最小值；
当
d
＝
0
时，函数是常数函数，
对应的数列是常数列，
S
n
=na
1
；
当
d
＜
0
时，函数是减函
数，对应的数列是单调递减数列，
S
n
有最大值．
若等差数列的前
n
项和为
S
n
，则
S
n
＝
pn
＋
qn(p
，q∈
R
)
．当
p
＝<
/p>
0
时，
{a
n<
/p>
}
为常数列；
当
p≠0
时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．
（
2
）对于等比数列
a
n
＝
a
1
q
n
－
1
2
，可用指数函数的性质来理解．
当
a
1
＞
0
，
q
＞
1
或
a
1
＜
0,0
＜
q
＜
1
时，等比数列
{a
n
}
是单调递增数列；
当
a
1
＞
0,0
＜
q
＜
1
或
a
1
＜
0
，
q
< br>＞
1
时，等比数列
{a
n
}
是单调递减数列；
当
q
＝
1
时，是一个常数列；当
q
＜
0
时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．
4.
常用结论
S
n
(1)
若
{a
n
}
，
{b
n
}
均是等差数列，
S
n
是
{a
n
}
的前
n
< br>项和，
则
{ma
n
＋
kb
n
}
，
{
}
仍为等差数列，
n
其中
m
，
k
为常数．
(2)<
/p>
若
{a
n
},{
b
n
}
均是等比数列，则
{ca
n
}(c≠0)，
{
|a
n
|}
，
{a
n
·b
n
}
，
{ma
n
b
n
}(m
为常数
)
，
1
2
{a
n
}
，
{
}
等也是等比数列．
a
n
(3)
公比不为
1
的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即
a
2
－
a
3
－
a
2
a
2
－
a
< br>1
q
a
1
，
a
3
－
a
2
，
a
4
－
a
3
，…成等比
数列，且公比为
＝
＝
q
.
a
2
－
< br>a
1
a
2
－
a
1
(4
)
等比数列(q≠－
1)
中连续
k
项的和成等比数列，即
S
< br>k
，
S
2k
－
S
k
，
S
3k
－
S
2
k
，…成等比
数列，其公比为
q
.
等差数列中连续
k
项的和成等差数列，即
S
k
，
S
2k
－
S
k
，
S
3k
－
S
2k
，…成等差数列
，公差为
k
d.
5
）
5.
易错提醒
S
1
，
n
＝
1
，
(1)
应用关系式
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
，n≥2
<
/p>
2
k
时，一定
要注意分
n
＝
1
，n≥2
两种情况，在求
出结果后，看看这两种情况能否整合
在一起．
a
＋
c
(2)
三个数
a
< br>，
b
，
c
成等差数列的充要条
件是
b
＝
，但三个数
a
，
b<
/p>
，
c
成等比数列
2
的必要条件是
b
＝
< br>ac.
6.
等差数列的判定方法
2
3
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