2020年高考数学(理)热点题型：数列(含答案)
-
数列
热点一
等差数列、等比数列的综合问题
<
/p>
解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数
列的定义、通项公式及前
n
项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的
应用
.
3
【例<
/p>
1
】已知首项为
的等比数列
{
a
n
}
< br>不是递减数列，其前
n
项和为
S
n
(n
∈
N<
/p>
*
)
，且
2
S
3
＋
a
3
，
S
5
＋
a
5
，
S
4
＋
< br>a
4
成等差数列
.
(1)
求数列
{
a
< br>n
}
的通项公式；
(2)
设
T
n
＝
S
n
－
S
1
(n
∈<
/p>
N
*
)
，求数列
{
T
n
}
的最大项的值与最小项的值
.
n
解
(1)
设等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
，
因为
S
3<
/p>
＋
a
3
，
S
5
＋
a
5
，
S
4
＋
a
4
成等差数列，
所以
S
5<
/p>
＋
a
5
－
S
3
－
a
3
＝
S
4
＋
a
4
－
S
5
－
a
5
，即
4a
5
＝
a
3
，<
/p>
于是
q
2
＝
a
a
5
＝
1
4.
3
又
{
a
3
1
n
}
不是递减数列且
a
1
＝
2
，所以
q
＝－
2.
故等比数列
{
a
3
n
}
的通项公式为
a
n
＝
2
×
－<
/p>
1
n
－
1
2
＝
(
－
1)
n
－
1
·
3
2
n
.
(2)
由
(1)
得
S
n
＝
1
－
－
2
1
n
1
＋
＝
2
1
n
，
n
为奇数，
1
1
－
2
n
，
n
为偶数，
当
n
为奇数时，
S
n
随
n
的增大而减小，
所以
1<
S
3
<
/p>
n
≤
S
1
＝
2
，
故
0<<
/p>
S
n
－
S
1
≤
2
5
S
1
－
S
1
＝
2
3
－
3
＝
6.
n
1
当
n
为偶数时，
S
n
随
n
的增大而增大，
1
3
所以
＝<
/p>
S
2
≤
S
n
<1
，
4
4
7
故
0>
S
n
－
1
≥
S
2
－
1
＝
3
－
＝－
S
S
4
3
12.
n
2
综上，对于
n
∈
N
*
，
总有－
7
≤
S
n
－
1
≤
5
12
S
6.
n
5
7
所以数列
{
T
n
}
最大
项的值为
，最小项的值为－
6
12.<
/p>
【类题通法】
解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列
与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体
分析，寻找解题的
突破口
.
【
对点训练】已知数列
{
a
n
}
是公差不为零的等差数列，其前
n
项和为
S
n
，满足
S
5
－
2a
2
＝
25
，且
a
1
，
a
4
，
a
13
恰为等比数列<
/p>
{
b
n
}
的前三项
.
(1)
求数列
{
a
n
}
，
{
b
n
}
的通项公式；
1
(2)
设
T
n
是数列
a
a
的前
n
n
＋
1
项和，是否存在
< br>k
∈
N
*
，使得等式
1
－
2T
k
＝
1
成立？
n
b
k
若存在，求出
k
的值；若不存在，请说明理由
.
解
(1)
设等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
(
d
≠
0)
，
5
×
4
－
2
（
a
1
＋
d
）＝
25
，
＋
d
5a
1
2
∴
＋
3
d
）
2
＝
a
（
a
＋
12
d
）
，
（
a
1
1
1
解得
<
/p>
a
1
＝
3
，
d
＝
2
，∴
a
n
＝
2n
＋
1.
∵
b
1
＝
< br>a
1
＝
3
，
b
2
＝
a
4
＝
9
，
∴等比数列
{
b
n
}
的公比
q
＝
3
，∴<
/p>
b
n
＝
3
n
.
(2)
不
存在
.
理由如下：
∵
1
1
1
1
＝
＝
1
＋
，
＋
－
2n
1
2n
3
2
1
）
（
2n<
/p>
＋
（
2n
＋
3
）
a
n
a
n
1
＋
1
1
1
1
1
1
1
－
－
∴
T
n
＝
＋
＋…＋
－
2
3
5
5
7
＋
＋
2n
1
2n
3
1
1
－
，
＝
1
3
< br>＋
2
2n
3
2
2
1
∴
1
－
2T
k
＝
＋
∈
N
*
)
，
(k
3
2k
＋
3
减数列，
1
易知数列
为单调递
＋
2k
3
2
13
1
1
－
2T
k
≤
，又
＝
k
∈
15
b
3
k
1
0
，
∴
3<
1
，
3
k
∴不存在
k
∈
N
*
，使得等式
1
－
2T
k
＝
1
成立
.
b
热点二
数列的通项与求和
数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问
题，常涉及与等差、
等比的定义、性质、基本量运算
.
求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合
适的求和方法
.
常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等
.
< br>
【例
2
】设等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
，前
n
项和为
S
n
，等比数列
{
b
n
}
的
公比为
q
，
已知
b
1<
/p>
＝
a
1
，
b
2
＝
2
，
q
＝
d
，
S
10
＝
< br>100.
(1)
求数列
{
a
n
}
，
{
b
n
}
的通项公式；
列
{
c
n
}
的前
n
项和
T
n
.
a
n
(2)
当
d
>1
时，
记
c
＝
，求数
n
b
n
(1)
解
10a
＋
45
d
＝
100
，
由题意有
a
1
d
＝<
/p>
2
，
1
2a<
/p>
1
＋
9
d
＝
20
，
即
a
1
d
＝
2
< br>，
a
1
＝
9
，
a
1
＝
1
，
解得
或
2
d
＝
9.
d
＝
2
1
a
＝
（
2n
＋
，
n
a
n
＝
2n
－
1
，
79
）
n
－
1
2
< br>
故
n
1
b
或
－
＝
2
n
＝
n
9
b
9·
.
(2)
解
由
d
>1
，知
a
n
＝
2n<
/p>
－
1
，
b
n
＝
2
n
－
1
，
2n
－
1
<
/p>
故
c
n
＝
n
－
1
，
2
3
5
7
9
2n
－
1
<
/p>
于是
T
n
＝
1
＋
＋
2
＋
3
＋
4
＋…＋
n
－
1
，①
2
2
2
2
2
3