高考数学-等差数列及其前n项和(教师版)
-
等差数
列及其前
n
项和
【基础知识】
1.
定义
(
1)
等差数列的通项公式：若等差数列的首项为
a
1
，公差为
d
，则通项公式
为
a
n
＝
；若已知第
m
项
a
m
和公差
d
，
通项
a
n
还可写成
a
n
＝
a
n
－
a
1
n
－
1
a
n
－
a
m
.
n
－
m
(2)
等差数列的公差公
式：
d
＝
或
d
＝
2
．等差数列的性质
(1)
若数列
{
a
n
}
是等差数列，则<
/p>
a
n
－
a
m
＝
(
n
、
m
∈
N
*
)
．
(2)
数列
{
a
n
}
是等差数列，
若
m
＋
n
＝
p
＋
q
(
m
，
< br>n
，
p
，
q
∈
N
*
)
，
则
a
m
＋
a
n
＝
a
p
＋
a
q
.
特别地，
若
m
＋
n
＝
2
p
，
则
a
m
＋
a
n
＝
2
a
p<
/p>
.
(3)
在有穷等差数列
{
a
n
}
< br>中，与首、末两项距离相等的任意两项之和与首、末两项之和相等，如
a
1
＋
a
n
＝
a
2
＋
< br>a
. <
/p>
S
n
(4)
若
{
a
n
}
，
{
b
n
}
均是等差数列，<
/p>
S
n
是
{
a
n
}
的前
n
项和，则
{
ma
n
＋
kb
n
}
、
n
仍为等差数列，其中
m
，
k
为常数．
(5)
等差数列中依次
k
项的和成等差数列，即
S
k
，
S
2
k
－
S
k
，<
/p>
S
3
k
－
S
2
k
，
…
成等差数列，公差为
k
2
d
.
(6)
项数为偶数
2
< br>n
的等差数列
{
a
n
}
，有
S
奇
a
n
S
2
n
＝
n
(
a
1
＋<
/p>
a
2
n
)
＝
n
(
a
2
＋
a
2
n
－
1
)
＝
…
＝
n
(
a
n
＋
a<
/p>
n
＋
1
)(
a
n
与
a
n
＋
1
为中间的两项<
/p>
)
，
S
偶
－
S
奇
＝
nd
，
＝
.
S
偶
a
n
＋
1
(7)
项数为奇数
2
n
－
1
的等差数列
{
a
n
}
，有
S
2
n
－
1
＝
(2
n
－
1)
a
n
(
< br>a
n
为中间项
)
，
S
奇
S
偶
n
.
n
－
1
S
奇
－
S
偶
＝
a
n
，
＝
3
．等差数列的前
n
项
和
(1)
公式：若已知首项
a
1
和末项
a
n
，则
S
n
＝
n
a
1
＋
a
n
2
，或等差数列
{
a
n
}
的首项是
a
1
，公差是
d
，则其前
n<
/p>
项和公式
1
为
S
n
＝
na
1
＋
n
n
－
1
2
d
.
d
d
a
< br>1
－
2
n
，
数列
{
a
n
}
是等差数列的充要条件是
S
n
＝
An
2
＋
Bn
(
A
，
B
(2)
等差数列的前
n
项和公式与函数的关系：
S
n
＝
2
n
2
＋
< br>
为常数
)
< br>．
(3)
最值问题：在等差数
列
{
a
n
}<
/p>
中，
a
1
＞
0
，
d
＜
0
，则
S
n
存在
，若
a<
/p>
1
＜
0
，
d
＞
0
，则
S
n
存在最小值．
【高考命题】
等差数列高考考查考查
等差数列的通项公式，前
n
项和公式，等差数列的性质等相关内
容．对等差数列的定义，
性质及等差中项的考查，以填空为主，难度较小．通项公式与前
n
项和相结合的题目，多出现在解答题中，难度中等．
等差数列的判断方法
(1)
定义法：对于
n
≥2
的任意自然数，验证
a
n
－
a
n
－
1
为同一常数；
(2)
等差中项法：验证
2
a
n
－
1
＝
a
n
＋
a
n
－
2
(
n
< br>≥3
，
n
∈
N
*
)
都成立；
< br>
(3)
通项公式法：验证
a<
/p>
n
＝
pn
＋
q
；
(4)
前
n
项和公式法：验证
S
n
＝
An
2
＋
Bn
.
注
后两种方法只能用来判断是否为等
差数列，而不能用来证明等差数列．
【小测】
1.
已知等差数列的公差
d
＜
0
，前
n
项和记为
S
n
，满足
S
20<
/p>
＞
0
，
S
21
＜
0
，则当
n
＝
________
时，
S
n
达到最大值．
解析
∵
S
20
＝
10(
a
1
＋
a
20
)
＝
10(
a
10
＋
a
11
)
＞
0
< br>，
S
21
＝
21
a
11
＜
0
，
∴
a
10
＞
0
，
a
11
＜
0<
/p>
，
∴
n
＝
10
时，
S
n
最大．
2
．
(2012·
南通第一学期期末考试
)
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
＝－
2
n
2
＋
3
n
，则数列
{
a
n
}
的通项公式为
________
．
a
n
＝
5
－
4
n
(
n
∈
N
*
)<
/p>
．
S
3
1
S
6
3
．
(2012·
南京二模
)
设
S
n
是等
差数列
{
a
n
}
的前
n
项和．若
S
＝
3
，则
S
＝
________.
7
7
S
3
1
解析
由
S
3
＝
3
a
< br>2
，
S
7
＝
7
a
4
，
S
＝
3
，得<
/p>
9
a
2
＝
7
a
4
＝
7(
a
2
＋
2
d
)
，即
a
2
＝
7
d
，所以
a
3
＝
8
d
，
a
4
＝
9
d<
/p>
，从而
S
6
＝<
/p>
3(
a
3
＋
a
4
)
7
2
S
6
17
＝
51
d
，
S
7
＝
7
a
4
＝
63
d
，所以
S
＝
21
.
7
【考点
1
】等差数列基本量的计算
【例
1
】
<
/p>
(2012·
苏锡常镇四市调研
)
在数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
1
，
a
2
＝
2.
数列
{
b
n
}
< br>满足
b
n
＝
a
n
＋
1
＋
(
－
1)
n
a
n
，
n
∈
N
*
.
(1)
若数列
{
a<
/p>
n
}
是等差数列，求数列
{
b
n
}
的前
6
项和
S
6
；
(2)
若数列
{
b
n
}
是公差为
2
的等差数列，求数列
{
a
n
}
的通项公式．
解
(1)
因为
a
1
＝
1
，
a<
/p>
2
＝
2
，数列<
/p>
{
a
n
}
是等差数列，
所以
a
n
＝
n
.
所以
b
1
＝<
/p>
b
3
＝
b
5
＝
1
，
b
2
＝
5
，
b
4
＝
9
，
b
6
＝
13.
所以
S
6
＝
b
1
＋
b
2
＋
…<
/p>
＋
b
6
＝
30.
(2)
因为
b
1
＝
a
2<
/p>
－
a
1
＝
2
－
1
＝
1
，数列
{
b
n
}
是公差为
2
的等差数列，所以
b
n
＝
2
n
－
1.
因为
b
2
n<
/p>
－
1
＝
a
2
n
－
a
2
n
－
1
＝
4
n
－
3
，
b
2
n
＝
a
2
n<
/p>
＋
1
＋
a
2
n
＝
4
n
－
1
，
所以
a
2
< br>n
＋
1
＋
a
2
n
－
1
＝
2.
故
a<
/p>
2
n
＋
3
＋
a
2
n
＋
1
＝
2.
所以
a
2
n
＋
3
＝
a
< br>2
n
－
1
.
又
a
1
＝
1
，所以
a
3
＝
1.
故
a
4
n
－
3
＝
a
1
＝
1
，
a
4
n
－
1
＝
< br>a
3
＝
1.
< br>所以
a
2
n
－
1
＝
1.
则
a
2
n
＝
4
n
－
2.
1
，
n
为奇数，
所以
a
n
＝
2
n
－
2
，
n
为偶数
.
[
方法总结
]
等差数列的通项公式及前
n
项和公式中
，共涉及五个量，知三可求二，如果已知两个条件，就可以列
出方程组解之．如果利用等
差数列的性质去考虑也可以．体现了用方程解决问题的思想．
【变式】
(2011·
福建
)
在等差数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
1
，
a
3
＝－
3.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
若数列
{
a
n
}
的
前
k
项和
S
k
＝－
35
，求
k
的值．
解
(1)
a
n
＝
3
－
2
n<
/p>
.
3
k
＝
7
【考
点
2
】等差数列的判定或证明
【例
2
】
<
/p>
(2012·
苏州第一学期期末考试
)<
/p>
已知各项均为正数的数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，满足
8
S
n
＝
a
2
n
＋
< br>4
a
n
＋
3(
n
∈
N
*
)
，
且
a<
/p>
1
，
a
2
，
a
7
依次是等比数
列
{
b
n
}<
/p>
的前三项．
(1)
求数列
{
a
n
}
及
{
b
n
}
的通项公式；
< br>(2)
是否存在常数
a
>0
且
a
≠1
，使得数
列
{
a
n
－<
/p>
log
a
b
n<
/p>
}(
n
∈
N
*
)
是常数列？若存在，求出
a
的值；若不存在，请说明理由．
解
(1)
当
n
＝
1
时，<
/p>
8
a
1
＝
a
2
1
＋
4
a
1
＋
3
，
a
1
＝
1
或
a
1
＝
3.
当
n
≥2
时，
8
S
n
－
1
＝<
/p>
a
2
n
－
1
＋
4
a
n
－
1
＋
3
，
1
则
a
n
＝
S
n
－
S
n<
/p>
－
1
＝
8
(
a
2
n
＋
4
a
n
－
a
2
n
－
1
－
4
a
n
－
1
)<
/p>
，
从而
(
a
n
＋
a
n
－
1
)(
a
n
－
a
n
－
1
－
4)
＝
0.
因为数列
{
a
n
}
的各项均为正数，所以
a
n
－
a
n
－
1
＝
4.
所以当
a
1
＝
1
时，<
/p>
a
n
＝
4
n
－
3
；当
a
1
＝
3
时，
a
n
＝
4
n
－
1.
又因为当
a
1
＝
1
时，
a
1
，
a
2
，
a
7
分别为
1,5,25
，能构成等比数列，所以
a
n
< br>＝
4
n
－
3
，
b
n
＝
5
n
－
1
；
当
a
1
＝
3
时，
a
1
，
a
2
，
a
7
分别为
3,7,27
，不能构成等比数列，故舍去．
所以
a
n
＝
4
n
－
3
，
b
n
< br>＝
5
n
－
1
.
(2)
假设存在符合条件的<
/p>
a
.
由
(1)
知，
a
n
＝<
/p>
4
n
－
3
，
b
n
＝
5
n
－
1
，
从而
a
< br>n
－
log
a
< br>b
n
＝
4
n
－
3
－
l
og
a
5
n
－
1
＝
4
n
－
3
－
(
n
－
1)log
a
5
＝
(4
－
log
a
5)
n
－
3
＋
log
a
5.
4
由题意，得
4
－
l
og
a
5
＝
0
，所以
a
＝
5
.
4
所以满足条件的
a
存在，即
a
＝
5.
[
方法总结
]
等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，
而对于通项公式法和前
n
项和公式法主要适合在填
空题中简单判断．另外，
求数列通项，一般要作出是否是等差数列或等比数列的判断．
4
【变式】
已知数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
1
，
a
2
＝
2
，且
a
n
＋
1
＝
(1
＋
q
)
a
n
－
< br>qa
n
－
1
(
n
≥2
，
q
≠0)
．
(1)
设
b
n
＝
a
n
＋
1
－
a
n
(
n
∈
N
*
)
，证明：
{
b
n
}
是等比数列；
(2)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(3)
若
a
3
是
a
6
与
a
9
的等差中项，求
q
的值，并证明：对任意的
n
∈
N
*
，
a
n
是
a<
/p>
n
＋
3
与
a
n
＋
6
的等差中项．
(1)
证明
由题设
a
n
＋
1
＝
(1
＋
q
)
a
n
－
qa
n
－
1
(
n
≥2)
，
得
a
n
＋
1
－
a
n
＝
q
(
a
n
－
a
n
－
1
)
，<
/p>
即
b
n
＝
qb
n
－
1
，
n
≥2.
由
b
1
＝
a
2
－
a
< br>1
＝
1
，
q
≠0
，
所以
{
b
n
}
是首项为
1
，公比为
< br>q
的等比数列．
(2)
解
由
(1)
知，
a
2
－
a
1
＝<
/p>
1
，
a
3
－
a
2
＝
q
，
…
，
a
n
－
a
n
－
1
＝
q
n
－
2<
/p>
(
n
≥2)
．<
/p>
将以上各式相加，得
a
n
－
a
1
＝
1
＋
q
＋
…
＋
q
n<
/p>
－
2
(
n
≥2)
，
即
a
n
＝
a
1
＋
1
＋
q
＋
…
＋
q
n
－
2
(
n
≥2)
．
1
＋
1
－
q
1
－
q
所以当
n
≥2
时，
a
＝
n
，
q
＝
1.
n
n
－
1
，
< br>q
≠1
，
上式对
n
＝
1
显然成立．
(3)
解
由
(2)
，当
q
＝
1
时，显然
a
3
不是
a
6
与
a
9
的等差中项，故
q
≠1.
由
a
3
－
a
6
＝
a
9
－
a
3
可得
q
5
－
q
2
＝
q
2
－
q
8
，
由
q
≠0
得
q
3
－
1
＝
1
－
q
6
，
①
整理
得
(
q
3
)<
/p>
2
＋
q
3
－
2
＝
0
，解得
q
3
＝－
2
或
q
3
＝
1(
舍去
)
．
3
于是
q
＝－
2.
另一方面，
5
a
n
－
a
n
＋
3
＝
q
n
＋
2
－
q
n
< br>－
1
1
－
q
q
n
－
1
－
q
n
＋
5
1
－
q
＝
q
n
－
1
1
－
q
< br>q
n
－
1
1
－
q
(
q
3
－
1)
，<
/p>
a
n
＋
6
－
a
n
＝
＝
(1
－
q
6
)
．
< br>
由
①
可得
a
n
－
a
n
＋
3
＝
a<
/p>
n
＋
6
－
a
n
，
即
2
a
n
＝
a
n
＋
3
＋
a
n
＋
6
，
n
∈<
/p>
N
*
.
所以对
任意的
n
∈
N
*
，
a
n
是<
/p>
a
n
＋
3
与
a
n
＋
6
的等差中项
【考点<
/p>
3
】等差数列前
n
项和及综合应用
【例
3
】
<
/p>
(1)
在等差数列
{
a
n
}
中，已知
< br>a
1
＝
20
，前
n
项和为
S
< br>n
，且
S
10
< br>＝
S
15
，求当
n
取何值时，
S
n
取得最大值，并求出
它的最大值．
(2)
已知数列
{
a
n
}
的通项公式是
a
n
＝
4
n
－
25
，求数列
{
|
a
n
|}
的
前
n
项和．
5
d
＝－
3
.
又由
S
10
＝
S
15
，得
a
11
＋
a
12
＋
a
13
＋<
/p>
a
14
＋
a
15
＝
0.
∴<
/p>
5
a
13
＝
0
，即
a
13
＝
0.
∴当
n<
/p>
＝
12
或
13<
/p>
时，
S
n
有最大
值，
且最大值为
S
< br>12
＝
S
13
< br>＝
130.
(2)
∵
a
n
＝
4
n
－
25
，
a
n
＋
1
＝
4(
n
＋
1)
－
25
，
∴
a
n
＋
1
－
a
n
＝
4
＝
d
，又
a
1
＝
4×1
－
25
＝－
21.
所以数列
{
a
n
}
是以－
21
为首项，以
4
为公差的递增的等差
数列．
a
n
＝
4
n
－<
/p>
25<0
，
①
令
a
n
＋
1
＝
4
n
＋
1
－
25≥0
，
②
1
1
由①得
n
<6
4
；由②得
n
≥5
4
，所以
n
＝
6.
即数列
{|
a
n
|}
的前
6
项是以
21
为首项，公差为－
4
的等差数列，从第
7
项起以后各项构成公差为
4
的等差数列，
而
|
a
7
|
＝
a
7
＝
4×7
－
25<
/p>
＝
3.
6