数列
-
大沥高级中学论文
数列求和的基本方法
关键词：
数列求和
通项分式法
错位相减法
反序相加法
分组法
分组法
合并法
数列是高中代数的重要内容，
又是学习高等数学的基础
.
在高考和
各种数学竞赛中都占
有重要的地位
.
数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，
大部分数列的
求和都需要一定的技巧
.
下面，
就几
个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方
法和技巧
.
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法
.
1
、
等差数列求和公式：
S
n
< br>
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
)
na
1
d
2
2
(
q
1
)
na
1
n
2
、
等比数列求和公式：
S<
/p>
n
a
1
(
1
q
)
a
1
a
n
q
(
q
1
)
1<
/p>
q
1
q
自然数方幂和公式：
n
1
1
2
3
、
S<
/p>
n
k
n
(
n
1
)
4
、
S
n
k
n
(
n
< br>1
)(
2
n
1
)
2
6
k
1<
/p>
k
1
n
5
、
S
n
1
3
k
[
n
(
n
1
)]
2
2
k
1
n
[
例
]
求和
1
＋
x
2
＋
x
4
＋
x
6
＋…x
2n+4
(x≠0)
解：
∵x≠0
∴该数列是首项为
1
，公比为
x
2
的等比数列而且有
n+3
项
当
x
＝
1 <
/p>
即
x
＝±1
时<
/p>
和为
n+3
2
评注：
第
1
页
共
6
页
1
大沥高级中学论文
(1)
利用等比数列求和公式．当
公比是用字母表示时，应对其是否为
1
进
行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对
x
是否
为
0
进行讨论．
(2)
要弄清数列共有多少项，末项不一定是第
n
项．
对应
高考考题：设数列
1
，
（
1+2
）
，…，
（
1+2+
则
2
2
2
n
1
）
，……的前顶和为
s
n
，
s
n
的值。
二、错位相减法求和
错位相减法求和
在高考中占有相当重要的位置，
近几年来的高考题其中的数列方面都出了这
方面的内容。
需要我们的学生认真掌握好这种方法。
这种方法是在推导等比数列的前
n
项和
公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列
{a
n
·
b
n
}
的前
n
项和，其中
{ a
n
}
、
{ b
n
}
分别是
等差数列和等比数列
.
求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比
数列的公比
q
；
然后再将
得到的新和式和原和式相减，
转化为同倍数的等比数列
求和，这
种方法就是错位相减法。
[
例
]
求和
：
S
n
1<
/p>
3
x
5
x
2
7
x
3
(
2
n
1
)
x
n
<
/p>
1
（
解：由题可知，
{
(
2
n
1
)
x
项之
积
2
3
4<
/p>
n
设
xS
n
1
x
3
x
5
x
7
x
< br>
(
2
n
1
)
x
………
……………….
②
（设制
错
x
1
）…
……………………①
n
1
n
1
}
的通项是等差数列
{2n
－
1}
的通项与等比数列
{
x
}
的通
位）
2
3
4
< br>n
1
n
①
－
②
得
(
1
x
)
S
n
1
2
x
2
x
< br>2
x
2
x
2
x
(
2
n
1
)
x
（错位相减
）
1
x
n
1
(
2
n
1
)
x
n
再利用等比数列
的求和公式得：
(
1
x
)
S
n
1
2
x
1
x<
/p>
(
2
n
1
)
x
n
1
(
2
n
1
)
x
n
(
1
x
)<
/p>
∴
S
n
(
1
x
)
2
注意、
1
要考虑
当公比
x
为值
1
时为特殊情况
2
错位相减时要注意末项
此类题的特点是所求数列是由一个
等差数列与一个等比数列对应项相乘。
第
2
页
共
6
页
2
大沥高级中学论文
对应高考考题：<
/p>
设正项等比数列
a
n
的首项
a
1
1
，前
n
项和为
S
n
，且
2
2
10
S
30
(
2
10
1
)
S
20
S<
/p>
10
0
。
（Ⅰ）求
a
n<
/p>
的通项；
（Ⅱ）求
nS
n
的前
n
项和
T
n
。
三、反序相加法求和
这是推导等差数
列的前
n
项和公式时所用的方法，
就是
将一个数列倒过来排列
（反序）
，
再把
它与原数列相加，就可以得到
n
个
(<
/p>
a
1
a
n
)
.
0
1
2
n
3
C
n
< br>5
C
n
(
2
n
1
)
C
n
(
n
1
)
2
n
[
例
]
求证：
C
n
0
1
2
n
证明：
设
S
n
C
n
3
C
n
< br>5
C
n
(
2
n
1
)
C
n
……………
……………..
①
把①式右边倒转过来得
n
n
1
1
0
S
n
(
2
n
1
)
C
n
<
/p>
(
2
n
1
)
C
n
3
C
n
C
n
（反序）
m
n
m
又由
C
n<
/p>
C
n
可得
0
1
n
1
n
S
n
(
2
n
1
)
C
n
(
2
< br>n
1
)
C
n
3
C
n
C
n
…………..……..
②
0
1
n
1
n
2
S
n
(
2
n
< br>2
)(
C
n
C
n
C<
/p>
n
C
n
)
2
(
n
1
)
2
n
①
+
②
得
（反序相加）
n
∴
S
n
(
n
1
)
2
四、分组法求和
有一类数列，既不是
等差数列，
也不是等比数列，
若将这类数列适当拆开，
可分为几个
等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可<
/p>
.
若数列
a
n
的通项公式为
c
n
a
n
b
n
，<
/p>
其中
a
n
,
b
n
中一个是等差数列，
另
一个是等比数列，求和时一般用分组结合法。
[
例
]
：求数列
1
,
2
,
3
,
4
1
< br>2
1
4
1
8
1
的前
n
项和；
16
1
1
n
,
，而数
列
n
分别
是等差数列、
n
2
< br>2
分析：数列的通项公式为
a
n
n
等比数列，求和时一般用分组结合法；
第
3
页
共
6
页
3