高考数列解题技巧归纳总结
-
高考数列解题技巧归纳总结
知识框架
数列的分类
数列
< br>
的概念
< br>数列的通项公式
函数角度理解
数列的递推关系
等差数列的定义
a
n
a
n
1
d
(
n
2)
等差数列的通项公式
a
n
a
1
(
n
1)
d
等差数列
< br>
n
n
(
n
1)
等差数列的求和公式
S
(
a
a
)
na
d
< br>
n
1
n
1
2
2
等差数列的性质
a
n
a
m
a
p
a
q
(
m
n
p
q
)
< br>
两个基
< br>a
n
等比数列的定义
q
(
n
2)
本数列
a
n
1
n
1
等比数列的通项公式
a
n
a
1
q
a
1
a
n
q
a<
/p>
1
(1
q
n
)
等比数列
数列
(
q
1)
等比数列的求
和公式
S
n
1
q
1<
/p>
q
na
(
q
1)
1
等比数列的性质
a
a
a
a
(
m
n
p
q
)
n
m
p
q
<
/p>
公式法<
/p>
分组求和
错位相
减求和
数列
裂项求和
求和
倒序相加求和
累加累积
归纳猜想证明<
/p>
分期付款
数列的应用
其他
掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，
掌握
了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。<
/p>
一、典型题的技巧解法
1
、求通项公式
（
1
）观察法。
（
2
）由递推公式求通项。
对
于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)
递推式为
a
n+1
=a
n
+d<
/p>
及
a
n+1
=q
a
n
（
d
，<
/p>
q
为常数）
例
1
、
已知
{a
n
}
满足
a
n+
1
=a
n
+2
，而且
a
1
=1
。求
a
n
。
解
∵
a
n+1
-a
n<
/p>
=2
为常数
∴
{a
n
}
是首项为
1
，公差为
2
的等差数列
∴
a
n
=1+2
（
n-1<
/p>
）
即
a
n
=2n-1
例
2
、
已知
{
a
n
}
满足
a<
/p>
n
1
- 1 -
1
a
n
，而
a
1
2
，
求
a
n
=
？<
/p>
2
（
2
）
递推式为
a
n+1
=a
n
+f
（
n
）
例
3
、
已知
{
a
n
}
中
a
1
1
1
，
a
n
1
a
n
2
，求
a
n
.
2
4
n
1
1
1
1
1
(
< br>)
(
2
n
1
)(
2
n
1
)<
/p>
2
2
n
1
2
n
1
解：
由已知可知
a
n
1
a
n
令
n=1
，
2
，…，
（
n-1
）
，代入得（
n-1
）个等式累加，即（
a
2
-a
1
）
+
（
a
3
-a
2
）
< br>+
…
+
（
a
n
-a
n-1
）
1
1
4
n
3
a
n
a
1
(
1
< br>)
2
2
n
1
4
n
2
★
说明
只要和
f
（
1
）
+
f
（
2
）
+<
/p>
…
+f
（
n-1
）是可求的，就可以由
a
n+1
=a
n
+f
（
n
）以
n=1
，
2
，…，
（
n-1
）代入，可得
n-1
个等式累加而求<
/p>
a
n
。
(3)
递推式为
a
n
+1
=pa
n
+q
（
p
，
q
为常数）
例
4
、
{
a
n
}
中，
a
1
<
/p>
1
，对于
n
＞<
/p>
1
（
n
∈
N
）有
a
n
3
a
n
1
2
< br>，求
a
n
.
解法一：
由已知递推式得
a
n+1
=3a
n
+2
，
a
n
=3a
n-1
+2
。两
式相减：
a
n+1
-a
n
=3
（
a
< br>n
-a
n-1
）
因此数列
{a
n+1
-a
n
}
是公比为<
/p>
3
的等比数列，其首项为
a
2
-a
1
=
（
3
×
1+2
）
-1=4
n-1
n-1
n-1
∴
a
n
+1
-a
n
=4
·
3
∵
< br>a
n+1
=3a
n
+2
∴
3a
n
+2-a
n
=4
·
3
即
a
n
=2
·
3
-1
2
n-2
解法二：
上法得
{a
n+1
-a
n
}
是公比为
3
的等比数列，
于是有：<
/p>
a
2
-a
1
=4
，
a
3
-a
2
=4
·
3
，
a
4
-a
3
=4
·
3
，
…，
a
n
-a
n-1
=4
·
3
，
把
n-1
个
等式累加得：
∴
an=2
·
3n-1-1
(4)
递推式为
a
n+1
=p
a
n
+q n
（
p
，
q
为常数）
- 2
-
b
n
1
b
n
b
2
2
1
n
1
n
3
(
)
< br>
2
(
)
(
b
n
b
n
1
)
由上题的解法，得：
b
n
3
2
(
)
n
∴
a
n<
/p>
n
2
3
3
3
2
n
(5)
递推式为<
/p>
a
n
2
pa
n
1
qa
n
思路：设
a
n
2
pa
n
1
qa
n
,
可以变形为：
a
n
2
a
n
1
(
a
n
1
a
n<
/p>
)
，
- 3 -
想
于是
{a
n+1
-
α
a
n
}
是公比为β的等比数列，就转化为
前面的类型。
求
< br>a
n
。
- 4 -
递推式为
S
n
与
a
< br>n
的关系式
- 5 -
(6)
关系；
（
2
）
试用
n
表示
a
n
。
∴
S
n
1
S
n
(
a
n
a
n
< br>1
)
(
∴
a
n
1
a
n
a
n
1
n+1
n+1
n
1
n
2
1
2
n
1
n
∴
a
n
< br>1
2
2
1
1
a
n
n
2
2<
/p>
1
n
1
)
上式两边同乘
以
2
得
2
a<
/p>
n+1
=2
a
n
+2
则
{2
a
n
}
是公差为
2
的等差数列。
n
< br>∴
2
a
n
= 2+
（
n-1
）
·
2=2n
2
．数列求和问题的方法
（
1
）
、应用公式法
等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前
< br>n
项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。
1
＋
3
＋
5
＋……＋
(2n-1)=n
2
- 6 -
【例
8
】
<
/p>
求数列
1
，
（<
/p>
3+5
）
，
（<
/p>
7+9+10
）
，
（
13+15+17+19
）
，…前
n
项的和。
解
本题实
际是求各奇数的和，在数列的前
n
项中，共有
< br>1+2+
…
+n=
∴最后一个奇
数为：
1+[
1
n
(
n
1
)
个奇数，
2
1
2
n(n+1)-1]
×
2=n
+n-1
2
因
此所求数列的前
n
项的和为
（
2
）
、分解转化法
对通项进行分解、组合
,
转化为等差数列或等比数列求和。
2
2
2
2
2
2
2
【例
9
】
求和
S=1
·
（
n
-1
）
+ 2
·
（
n
-2
）
+3
·
（
n
-3
）
+
…
+n
（
n
-n
）
< br>
解
S=n
（
1+2+3+
…
+n
）
-
（
1
+2
+3
+
…
+n
）
2
3
3
3
3
< br>
- 7 -
（
3
）
、倒序相加法
适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，
采取把正着写与倒着写的两个和式相加，
然后求
和。
1
2
n
例
10
、
求
和：
S
n
3
C
n
6
C
n
L
3
nC
n
0
1
2
n
解
S
n
0
•
C
n
3<
/p>
C
n
6
C
n
L
3
nC
n
∴
S
n<
/p>
=3n
·
2
（<
/p>
4
）
、错位相减法
如果一个数列是由
一个等差数列与一个等比数列对应项相乘
构成的
，可把和式的两端同乘以上面的等比数
列的公比，然后错
位相减求和．
n-1
例
11
、
<
/p>
求数列
1
，
3x
，
5x
2
,<
/p>
…
,(2n-1)x
n-1
前
n
项的和．
解
设
S
n
=1+3+5x
+
…
+(2n-1)x
．
①
2
n-1
- 8 -
(2)x=0
时，
S
n
=1
．
2
3
n
(3)
当
x
≠
0
且
x
< br>≠
1
时，在式①两边同乘以
x<
/p>
得
xS
n
=x
+3x
+5x
+
…
+(2n-1)x
，②
2
3
n-1
n
①
-
②，得
(1-x)S
< br>n
=1+2x+2x
+2x
+<
/p>
…
+2x
-(2n-1)x
．
(5)
裂项法：
把通项公式整理成两项
(
式多项
)
差的形式，然后前后相消。
常见裂项方法：
< br>例
12
、
求和
< br>1
1
1
1
L
1
•
5
3
•
7
5
•
9
(2
n
1)(2
n
3)
- 9 -
注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地
剩下的正项与负项一样多。
在掌
握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。
二、常用数学思想方法
1
．函数思想
运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。
【
例
13
】<
/p>
等差数列
{
a
n
}
的首项
a
1
＞
0
，前
n
项的和为
S
n
，若
S
l
=
S
k
（
l
≠<
/p>
k
）问
n
为何值
时
S
n
最大？
此函数以
n
为自变量的二次函数。∵
a
1
＞
0
S
l
=S
k
（
l
≠
k
），∴
d
＜
0
故此二次函数的图像开口向下
∵
f
（
l<
/p>
）
=f
（
k
）
2
．方程思想
【
例
14
】设等比数列
{a
n
}
前
n
项和为
S
n
，若
S
3
+S
6
=2S
9
，求数列的公比<
/p>
q
。
分析
本题考查等比数列的基础知识及推理能力。
解
∵依题意可知
< br>q
≠
1
。
∵如果
q=1
，则
S
3
=3a
1
，
S
6
=6a
1
，
S
9
=9a
1
。由此应推出
a
1
=0
与等比数列不符。
∵
q
≠
1
-
10
-
整理得
q
（
2q
-q
-1
）
=0
∵
q
≠
0
3
6
3
此题还可以作如下思考：
3
3
3
3
6
S
6
=S
3
+q
S
3
=
< br>（
1+q
）
S
< br>3
。
S
9
=S
3
+q
S
6
=S
3
（
1+q
+q
），
3
3
6
6
3
∴由
S
3
+
S
6
=2S
9
可得
2+q
=2
（
1+q
+q
），
2q
+q
=0
-
11
-
3
．换元思想
【
例
15
】
已知
a
，<
/p>
b
，
c
是不为<
/p>
1
的正数，
x
，
y
，
z
∈
R+
，且
求证：
a
，
b
，
c
顺次成等比数列。
x
y
z
证明
依题
意令
a
=b
=c
=k
∴
x=1og
a
k
，
y=log
b
k
，
z=log
c
k
∴
b
=ac
∴
a
，
b
，
c
成等比数列（
a
，
b
，
c
均不为
0
）
2
错位相减法
1.
设数列
a
n
的前
n
项和为
< br>S
n
,
a
1
1
,
且
数列
S
n
是以
c
(
c<
/p>
0
)
为公比的
等比数列
.
-
12
-