数列高考题型分类汇总
-
.
.
.
题型一
1
．设
{a
n
}
是公比为正数的等比数列
a
1
=2
，
a
3
=a
2
+4
．
（Ⅰ）求
{a
n
}
的通项公式；
（
Ⅱ）设
{b
n
}
是首项为
1
，公差为
2
的等差数列，求数列
{a
n
+b
n
}
的前
n
项和
S
n
．
题型二
2
．已知数列
{a
n
}
、
{b
n
}
、
{c
n
}
满足
（
1
）
设
c
n
=3n+6
，
{a
n
}
是公差为
3
的等差数列．当
b
1
=1
时，求
b
2
、
b
3
的值；
（
2
）设
，
．
．求正整数
k
，使得对一切
n∈N
，均有
b
n
< br>≥b
k
；
*
（
3
）设
，
．当
b
1
=1
时，求数列
{b
n
}
的通项公式．
题型三
3
．
已知数列
{an}
满足
a1=0
，
a2=2
，
且对任意
m
、
n
∈
N*
都有
a2m
﹣
1+a2n
﹣
1=2am+n
﹣
1+2
（
m
﹣
n
）
2
（
1
）求
a
3
，
a
< br>5
；
（
2
）设
b
n
=a
2n+1
﹣
a
2n
﹣
1
（n∈N
*
）
，证明：
{b
n
}
是等差数列；
（
3
）设
c
n
=
（
a
n+1
﹣
a
n
）
q
n
﹣
1
（q≠0，n∈N
*
）
，求数列
{c
n
}
的前
n
项和
S
n
．
题型四
4
．
已知数列
{an}
满足，
（
1
）令
b
n
=a
n+1
﹣
a
n
，证明：
{b
n
}
是等比数列；
（
2
）求
{a
n
}
的通项公式．
5
．设数列
{an}
的前
n
项和为
Sn=2an
﹣
2n
，
（Ⅰ）求
a
1
，
a
4
（Ⅱ）证明：
{a
n+1
﹣
2a
n
}
是等比数列；
（Ⅲ）求
{a
n
}
的通项公式．
6
．在数
列
{a
n
}
中
，
a
1
=1
，
．
，
n
∈N×．
..
..
.
.
.
（Ⅰ）求
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）令
，求数列
{b
n
}
的前
n
项和
S
n
；
（Ⅲ）求数列<
/p>
{a
n
}
的前<
/p>
n
项和
T
n
．
7
．已知数列
{a
n
}<
/p>
的首项
（Ⅰ）证明：数列
（Ⅱ）求数列<
/p>
8.
在数列
a
n
，
是等比
数列；
的前
n
项和
S
n
．
，
n=1
，
2
，
3
，…．
中，
a
1<
/p>
0
，且对任意
k
N
*
k<
/p>
N
，
a
2
k
1
,
a
2
k
,
a
2
k
1
成等差数列，
其公差为
d
k
。
(
Ⅰ
)
若
d
k
=2k
，证明
a
2
k
1
,
a
2
k
,
a
2
k
2
成等比数列（
< br>k
N
*
）
；
(
Ⅱ
)
若对任意
k
N
*
，
a<
/p>
2
k
1
,
a
2
k
,
a
2
k
2
成等比数列，其公比为
q
k
.
1<
/p>
设
q
1
1.
证明
是等差数列；
q
k
1
9.
设数列<
/p>
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
已知
a
1
1,
S
n
1
4
a
n
< br>
2
（
I
）设
b
n
a
n
1<
/p>
2
a
n
，证明数列
{
b
n<
/p>
}
是等比数列
（
II
）求
数列
{
a
n
}
的通项公式。
10.
设数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，已知
ba
n
2
n
b
1
S<
/p>
n
（Ⅰ）证明：当
b
2
时，
a
n
n
2
n
1
是等比数列；
（Ⅱ）求
a
n
的通项公式
..
..
.
.
.
11
．成等差数列的三个正数的和等
于
15
，并且这三个数分别加上
2
、
5
、
13
后成
为等比数列
{b
n
}
中的
b
3
、
b
4
、
b
5
．
（
I
）
求数列
{b
n
}<
/p>
的通项公式；
（
II
）
<
/p>
数列
{b
n
}<
/p>
的前
n
项和为
S
n
，求证：数列
{S
< br>n
+
}
是等比数列．
题型五
1
12.
数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
a
1
=1
，
a
n
1
S
n
，
n
=1
，
2
，
3
，……，求
3
（
I
）
a
2
，
a
3
，
a
4
的值及数列
{
a
n
}
的通项公式；
（
II
）
a
2
a<
/p>
4
a
6
a
2
n
的值
.
13
．已知数列
{a
n<
/p>
}
是一个公差大于
0
的等差数列，且满足
a
2
a
6
=55
，
a
2
+a
7
=16 <
/p>
（
1
）求数列
{
a
n
}
的通项公式；
< br>
（
2
）数列
< br>{a
n
}
和数列
{b
n
}
满足等式
a
n
=
的前
n
项和
S
n
．
（n∈N
*
）
，求数列
{b
n
}
提醒六
14
．设数列
{a
n<
/p>
}
的通项公式为
a
n
=pn+q
（n∈N
*
，
P
＞
0
）
．数列
{b
n
}
定义如下：对于
正整数
m
，
b
m
是使得
不等式
a
n
≥m
成立的所有
n
中的最小值．
（Ⅰ）若
，求
b
3<
/p>
；
（Ⅱ）若
p
=2
，
q=
﹣
1
，求数列
{b
m
}
的前
2m
项和公式；
15
．已知数列
{x
n
}
的首项
x
1
=3
，通项
x
n
=2<
/p>
n
p+np
（n∈N*，
p
，
q
为常数）
，且成等
差数列．求：
（
Ⅰ）
p
，
q
的
值；
（Ⅱ）数列
{x
n
}
前
n
项和
S
n
的公式．
16
< br>．已知
{a
n
}
是公差不为零的等差数列，
a
1
=1
，且
a
1
，
a
3
，
a
9
成等比数列．
（Ⅰ）求数列
{a
n
}
的通项；
（Ⅱ）求数列
{2
an
}
的前
n
项和
S
n
．
..
..
.
.
.
17<
/p>
．已知等差数列
{a
n
< br>}
的前
3
项和为
6
，前
8
项和为﹣
4
．
（Ⅰ）求数列
{a
n
}
的通项公
式；
（Ⅱ）设
b
n
=
（
4
﹣
a
n
）
q<
/p>
n
﹣
1
（q≠0
，
n
∈
N
*<
/p>
）
，求数列
{b
n
}
的前
n
项
和
S
n
．
18
．在数
1
和
100
之间插入
n
个实数，使得这
n+2
个数构成递增的等比数列，
将这
n+2
个数的乘积计作
T
n
，再令
a
n
=lgT
n
，n≥1．
（
I
）求数列<
/p>
{a
n
}
的通项
公式；
（Ⅱ）设
b
< br>n
=tana
n
•
tana
n+1
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
．<
/p>
题型七
19
．已知等差数列
{a
n
}
满足
a
2
< br>=0
，
a
6
+a
8
=
﹣
10
（
I
）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（
II
）求数列<
/p>
{
}
的前
n
项和．
20
．等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，已知对任意的
n∈N
*
，点（
n
，
S
n
）
，均在函数
y=b
x
+r
（
b
＞
0
）且
b≠1，
b
，
r
均为常数）的图象上．
（
1
）求
r
的值；
（
2
）当
b=2
时，记
b
n
=
n∈N
*
求数列
{b
n
}
的前
n
项和
T
n
．
题型八
21
．
（本小题满分
12
分）
已知等差数列
a
n
满足：
a
3
7
，
a
5
a
7
26
，
< br>
a
n
的前
n
项和为
S
n
．
（Ⅰ）求
< br>a
n
及
S
n
；
（Ⅱ）令
b
n
=
1
*
(
n
N<
/p>
)
，求数列
b
n
的前
n<
/p>
项和
T
n
．
2
a
n
1
..
..
.
.
.
题型九
22
．已知公差不为
0
的等差数列
{a
n
}
的首项
a
1
为
a
（a∈R）设数列的前
n
项和为
S
n
，且
< br>，
，
成等比数列．
（Ⅰ）求数列
{a
n
}<
/p>
的通项公式及
S
n
；
（Ⅱ）记
A
n
=
+
+
+…
+
，
B
n
=
+
+…+
，
当
a≥2
时，试比较
A
n
与
B
n
的大小．
23.
设
a
1
，
< br>d
为实数，首项为
a
1
，公差为
d
的等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，满足
S
5
S
6
+15=0
．
（Ⅰ）若
S
5
=5
，求
S
6
及
< br>a
1
；
（Ⅱ）求
d
的取值围．
答案
1<
/p>
．
（
2011
•
）设
{an}
是公比为正数的等比数列
a1=2
，
a3=a2+4
．
（Ⅰ）求
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）设
{b
n
}
是首项为
1
，公差为
2
的等差数列，求数列
{a
n
+b
n
}
的
前
n
项和
S
n
．
分析：
（
Ⅰ）
由
{a
n
}
是公比为正数的等比数列，
设其公比，
然后利用
a
1
=2
< br>，
a
3
=a
2
+4
可求得
q
< br>，即可求得
{a
n
}
的通项公式
（Ⅱ）由
{
b
n
}
是首项为
1
，公差为
2
的等差数列
可求得
b
n
=1+
（
n
﹣
1
）×2=2n
﹣
1<
/p>
，然后利用等比数列与等差数列的前
n
项
和公式即可求得数列
{a
n
+b
n
}
的前
n
项和
S
n
．
解答：
解：
（Ⅰ）∵设
{a
n
}
是公
比为正数的等比数列
∴设其公比为
q
，
q
＞
0 <
/p>
∵a
3
=a
2<
/p>
+4
，
a
1
=2
∴2×q
2
=2×q+4 解得
q=2
或
q=
﹣
1
∵q＞
0
∴q=2
∴{a
< br>n
}
的通项公式为
a
n
=2×2
n
﹣
1
=2
n
（Ⅱ）∵{b
n
}
是首项
为
1
，公差为
2
的等差数列
∴b
n
=1+
（
n
﹣
1
）×2=2n﹣
1
∴数列
{a
n
+b
n
}
的前
n
项和
S
n
=
+
=2
n+1
﹣
2+
n
2
=2
n+1
+n
2
﹣
2
2
．
已知数列
{an}
、
{bn}
、
{cn}
满足
．
..
..
.
.
.
（
1
）设
c
n
=3n+6
，
{a
n
}
是公差为
3
的等差数列．当
b
1
=1
时，求
b
2
、
b
3
的值；
（
2
）设
，
．求正整数
k
，使得对一切
n
∈N
*
，均有
b
n
≥b
k
；
（
3
）设
，<
/p>
．当
b
1
=1<
/p>
时，求数列
{b
n
}
的通项公式．
专题
：计算题；分类讨论。
分析：
（
1
）先根据条
件得到数列
{b
n
}
< br>的递推关系式，即可求出结论；
（
2
）先根据条件得到数列
{b
n<
/p>
}
的递推关系式；进而判断出其增减性，即可求出
结论；
（
3
）先根据条件得到数列
{b
n
}
的递推关系式；再结合叠加法以及分类讨论分情
况求出数列<
/p>
{b
n
}
的通项
公式，最后综合即可．
解答：
解：<
/p>
（
1
）∵a
n+
1
﹣
a
n
=3
，
∴b
n+
1
﹣
b
n
=n
+2
，
∵b
1
=1
，
∴
b
2
=4
，
b
3
=8
．
<
/p>
（
2
）∵
∴a<
/p>
n+1
﹣
a
n<
/p>
=2n
﹣
7
，<
/p>
∴b
n+1
﹣
b
n
=
，
．
由
b
n+1
﹣
b
n
＞
0
，解得
n≥4，即
b
4
＜
b
5
＜
b
6
…；
由
b
n+1
﹣
b
n
＜
0
，解得
n≤3，即
b
1
＞
b
2
＞
b
3
＞
b
4
．
∴k=4．
（
3
）∵a
n+1
﹣
a
n
=
（﹣
1
）
n+1
，
∴b
n+1
﹣
b
n
=
（﹣
1
）
n+1
（
2
n
+n
）
．
∴b
n
﹣
b
n
< br>﹣
1
=
（﹣
1
）
n
（
2
n
﹣
1
+n
﹣
1
）
（n≥
2）
．
故
b
2
﹣
b
1
=2
1
+1
；
b
3
﹣
b
2
=
（﹣
1
）
（
2
2
+2
）
，
< br>
…
b
n
﹣
1
﹣
b
n
﹣
2
=
（﹣
1
）
n
﹣
1
（
2
n
﹣
2
+n
﹣
2
）
．
< br>
b
n
﹣
b
n
﹣
1
=
（﹣
1
）
n<
/p>
（
2
n
﹣
1
+n
﹣
1
）
．
当
n=2k
时，以上各式相加得
b
n
﹣
b
1
=
（
2
﹣<
/p>
2
2
+…﹣
2<
/p>
n
﹣
2
+2
n
﹣
1
）
+[1
﹣2+…﹣（
n
﹣
2
）
+
（<
/p>
n
﹣
1
）
]
=
∴b
n
=
=
+
=
+
+
．
+
．
当
n=2k
﹣
1
时，
..
..
.
.
.
=
=
﹣
+
+
﹣（
2
+n
）
n
﹣
+
∴b
n
=
．
3
．
（
2010
•
）
已知数列
{an}
满足
a1=0
，
a2=2
，
且对任意
m
、
n
∈
N*
都有
a2m
﹣
1+a2n
﹣
1=2
am+n
﹣
1+2
（
< br>m
﹣
n
）
2
（
1
）求
a
3
，
a
5
；
（
2
）设
b
n
=a
2n+1
﹣
a
2n
﹣
1
（n∈N
*
）
，证明：
{b
n
}
是等差数列；
（
3
）设
c
n
=
（
a
n+1
﹣
a
n
）
q
n
﹣
1
（q≠0，n∈N
*
）
，求数列
{c
n
}
的前
n
项和
S
n
．
分析：
（
1
）欲求
a
3
，
a
5
只需令
m=2
，
n=1
赋值即可．
（
2
）以
n+2
代替
m
，然后利用配凑得到
b
n+1
﹣
b
n
，和等差数
列的定义即可证明．
（
3
）由（
1
）
（
2
）两问的结果可以求得
c
n
，利用乘公比错位相减求
{c
n<
/p>
}
的前
n
项
和
S
n
．
解答：
解：
（
1
）由题意，令
m=2
，
n=1
，可得
a
< br>3
=2a
2
﹣
< br>a
1
+2=6
再令
m=3
，
n=1
，可得<
/p>
a
5
=2a
3<
/p>
﹣
a
1
+8=2
0
（
2
）当
n∈N
*
时，由已知（以
n+2
代替
m
）可得
a
2n+3
+a
2
n
﹣
1
=2a
2n+1
+8
于是
[a
2
（
n+1
）
+1
﹣
a
2
（
n+1
）﹣
1
]
﹣（
a
2n+1
﹣
a
2n
﹣
1
）
=8
即
b
n+1
﹣
b
n
=8
所以
{b
n
}
是公差为
8
的等差数列
（
3
）由（
1
）
（
2
）解答可知
{b
n
}
是首项为
b
< br>1
=a
3
﹣
a
1
=6
，公差为
8
的等差数列
则
b
n
=8n
﹣
2
，即
a
2n+1
﹣
a
2n
﹣
1
=8n
﹣
2
另由已知（令
m=1
）可得
< br>
a
n
=
那么
a
n+1
﹣
a
n
=
=
﹣
2n+1=2n
﹣（
n
﹣
1
）
2
．
﹣
2n+1
于是
c
n
=2nq
n
﹣
1
．
当
q=1
时，
S
n
=2+4+6++2n=n
（
n+1
）
当
q≠1
时，
S
n
=2
•
q
0
+4
•
q
< br>1
+6
•
q
2
++2n
•
q
< br>n
﹣
1
．
两边同乘以
q
，可得
qS
n
=2
•
q
1
+4
•
q
2
+6
< br>•
q
3
++2n
•
q
n
．
上述两式相减得
（
1
﹣
q
）
S
n
=2
（
< br>1+q+q
2
++q
n
﹣
1
）﹣
2nq
n
=2
•
﹣
2nq
n
..
..
.
.
.
=2
•
所以
S
n
=2
•<
/p>
综上所述，
S
n
=
4
．<
/p>
（
2009
•
）
已知数列
{an}
满足，
，
n
∈N×．
（
1
）令
b
n
=a
n+1
﹣
a
n
，证明：
{b
n
}
是等比数列；
（
2
）求
{a
n
}
的通项公式．
< br>分析：
（
1
）先令
n=1
求出
b
1
，然后当
n≥2
时，求出
a
n+1
的通项代入到
b
n
中化简
可得
{b
n
}
是以
1
为首项，
为公比的等比数列得证；
（
2
）由（
1
）找出
b
n
的通项公式，当
n≥2
时，利用
a
n
=a
1
+
（
a
2
﹣
a
1
）
+
（
a
3
﹣
a
2
）
++
（
a
n
﹣
a
n
﹣
1
）代入并利用等比数列
的前
n
项和的公式求出即可得到
a
n
的通项，
然后
n
=1
检验也符合，所以
n∈N，
a
n
都成立．
解答
：
解：
（
1
）
证
b
1
=a
2
﹣
a
1
=1<
/p>
，
当
n≥2<
/p>
时，
所以
{b
n
}
是以
1
为首
项，
（
2
）解由（
1
）知
为公比的等比数列．
，
当
n≥2
时，
a<
/p>
n
=a
1
+
（
a
2
﹣
a
1
）
+
（
a
3
﹣
< br>a
2
）
++
（
a
n
﹣
a
n
﹣
1
）<
/p>
=1+1+
（﹣
）
+…+
=
=
=
，
当
n=1
时，
所以
．
．
5
．
（
2008
•<
/p>
）设数列
{an}
的前
< br>n
项和为
Sn=2an
﹣
2n
，
（Ⅰ）求<
/p>
a
1
，
a
4
（Ⅱ）证明：
{
a
n+1
﹣
2a
n
}
是等比数列；
（Ⅲ）求
{a
n
}
的通项公式．
考点
：等
比关系的确定；等比数列的通项公式；数列递推式。
..
..
.
.
.
专题
：计算题；证明题。
分析：
（Ⅰ）令
n=1
得
到
s
1
=a
1
=2
并推出
a
n
，令
n=2
求出
a
2
，
s
2
得到
a
3
推
出
a
4
即
可；
（Ⅱ）由已知得
a
< br>n+1
﹣
2a
n
=
（
S
n
+2
n+1
）﹣（
S
n
+2
n
）
=2
n+1
﹣
2
n
=2
n
即为等比数列；<
/p>
（Ⅲ）
a
n<
/p>
=
（
a
n
﹣
2a
n
﹣
1
）
+2
（
a
n
﹣
1
﹣
2a
n
﹣
< br>2
）
++2
n
< br>﹣
2
（
a
2
﹣
2a
1
）
+2
n
﹣
1
a
1
=
（
n+1
）
•
2
n
﹣
1
即可．
解答：
解：
（Ⅰ
）因为
a
1
=S
1
，
2a
1
=S
1
+2
，所以
a
1
=2
，
S
1
=2
由
2a
n
=S
n
+2
n
知
2a
n+1
=S
n+1
+2
n+1
=a
n+1
+S
n
+2
n+1
<
/p>
得
a
n+1
=s
n
+2
n+1
①
所以
a
2
=S
1
+2
2
=2+2
2
=6
，
S
2
=8a
3
=S
2
+2
3
=8+2
3
=16
，
S
2
=24a
4
=S
3
+2
4
=40
（Ⅱ）由题设和①式知
< br>a
n+1
﹣
2a
n
=
（
S
n
+2
n+1
）﹣（
S
n
+2
n
）
=2
n+1
﹣
2
n
=2
n
所以
{a
n+1
﹣
2a
n
}
是首项为
2
，公比为
2
的等比数列．
n
﹣
2
n
﹣
1<
/p>
n
﹣
1
（Ⅲ）<
/p>
a
n
=
（
a
n
﹣
2a
n
﹣
1
）
+2
（
a
n
﹣
1
﹣
2a
< br>n
﹣
2
）
++2
（
a
2
﹣
2a
1
）
+2
a
1
=
（
n+1
）
•
2
点评：
此题重点考查数列的递推公式
，
利用递推公式求数列的特定项，
通项公式
等，同时考查学生掌握数列的递推式以及等比数列的通项公式的能力．
6
．
（
2009
•
）在数列
{a
n
}
中，
a
1
=1
，
（Ⅰ）求
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）令
，求数列
{b
n
}
的前
n
项和
S
n<
/p>
；
．
（Ⅲ）求数列
{a
n
}
的前
n
项和
T
n
．
考点
：数列递推式；数列的求和。
专题
：计算题。
分析：
（Ⅰ）由题设条件得
，由此可知
．
（Ⅱ）由题设条件知
相减得<
/p>
7
．
（
2008
•
）已知数列
{a
n
}
的首项
（Ⅰ）证明：数列
（Ⅱ）求数列
，
，由此可知
，
，再由错位
．
，
n=1
，
2
，
3
，…．
是等比数列；
的前
< br>n
项和
S
n
．
考点
：数列递推式；等比关系
的确定；数列的求和。
专题
：计算题。
..
..
.
.
.
分析：
（
1
）化简
等比数列．
（
2
）根据（
1
）求出数列
求出数列
构造新的数列
，进而证明数列
是
的递推公式，得出
a
n
，进而构造数列
，
< br>的通项公式，进而求出前
n
项和
S
n
．
解答
：
解：
（Ⅰ）由已知：
，
∴
∴
又
< br>，∴
，
（
2
分）
，
，
（
4
分）
∴数列
是以
为首项，
< br>为公比的等比数列．
（
6
分）<
/p>
，
．
（
8
分）
，①
，②
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
即
设
则
，∴
由①﹣②得：
分）
∴
．又
1+2+
3+
．
（
12
分）
，
（
1
0
∴数列
的前
n
项和：
．
（
14
分）
点评：
此题主要考查通过构
造新数列达到求解数列的通项公式和前
n
项和的方
法．
..
..
.
.
.
（Ⅲ）由
得
．由此可知
T
n
=2S
n
+2a
1
﹣
2a
< br>n+1
=
．
< br>解答：
解：
（Ⅰ）由条件得
，又
n=1
时，
，
故数列
构成首项为
1
< br>，公式为
的等比数列．从而
，即
．
（Ⅱ）由
得
，
，
两式相减得：
（Ⅲ）由
．
所以
T
n
=2S
n
+2a
1
﹣
2a
n+1
=
．
，所以
得
．
点评：
本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答
．
8.
(2010
、
)
（本小题满分
14
分）
在数列
a
n
中，
a
1
0
，且对任意
k
N
*
k
N
，
a
2
k
1
,
a
2
k
,
a
2
k
1<
/p>
成等差数列，其
公差为
d
k
。
(
Ⅰ
)
若
d
k
=2k
，证明
a
2
k
1
,
a
2
k
,<
/p>
a
2
k
2
成等比数列（
k
N
*
）
；
(
Ⅱ
)
若对任意
k
N
*
，
a
2
k
1
,
a
2
k
,
a
2
k
2
成等比数列，其公比为
q
k
.
设
q
1
1.
证明
1
是等差数列；
q
k
1
..
..