(完整版)裂项相消法专项高考真题训练
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裂项相消法专题
1
．
（2014•成都模拟）等比数列
{a
n
}
的各项均为正数，且
2a
1
+3a
2
=1
，
a
3
2
=9a
2
a
6
，
（Ⅰ）求数列
{a<
/p>
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）设
b
n
=log
3
a
1
< br>+log
3
a
2
+…+log
3
a
n
，求数列
{
}
的前
n
项和．
【答案
】
（Ⅰ）设数列
{a
n
}
的公比为
q
，由
a
3
2
=9a
2
a
6
有
a
3
2
=9a
4
2
，∴
q
< br>2
=
．
由条件可知各项均为正数，故
q=
．
由
2a
1
+3
a
2
=1
有
2
a
1
+3a
1
q=1
，∴
a
1
=
．
故数列
{a
n
}
的通项式为
a
n
=
（Ⅱ）
b
n
=
故
则
=
﹣
+
+…+
+
+…+
=
﹣
2
（
﹣
．
=
﹣（1+2+…+n）
=
﹣
）
）
]=
﹣
，
，
=
﹣
2[
（
1
﹣
）
+
（
﹣
）+…+（
﹣
．
,
∴数列
{
}
的前
n
项和为﹣
2
，
（2013•江西）正项数列
{a
< br>n
}
满足
（
1
）求数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
；
（
2
）令
b
n
=
< br>﹣（
2n
﹣
1
< br>）
a
n
﹣
2n=0
．
，求数列
{b
n
}
的前
n
项和
T
n
．
﹣（
2n
﹣
1
）
a
n
﹣
2n=0
，
< br>
【答案】
（
1
）由正项数列
{a
n
}
满足：
可有（
a
n<
/p>
﹣
2n
）
（
a
n
+1
）
=0
∴
a
n
=2n
．
（
2
）∵
a
n
=2n
，
b
n
=
T
n
=
=
=
．
．
，∴<
/p>
b
n
=
=
=
，
数列
{b
n
}
的前
n
项和
T
n
为
3
．
（20
13•山东）设等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S<
/p>
n
，且
S
4
=4S
2
，
a
2n
=2a
n
+1
．
（Ⅰ）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）设数列
{b
n<
/p>
}
满足
=1
﹣<
/p>
，
n
∈
N
*
，求
{b
n
}
的前
n
项和
T
n
．
【答案】
（Ⅰ）设等差数列
{a
< br>n
}
的首项为
a
1
，公差为
d
，由
S
4
=4S
2
，
a
2n
=2a
n
+1
有：
，
解有
a
1
=1
，
d=2
．
∴a
n
=2n
﹣
1
，
n
∈
N
*
．
（Ⅱ）由已知
+
+…+
=1
﹣
，
n
∈
N
*
，有：
当
n=1
时，
=
，
当
n≥2
时，
=
（
1
﹣
）﹣（
1
﹣
）
=
，∴，
n=1
时符合．
∴
=
，
n
∈
N
*
由（Ⅰ）知
，
a
n
=2n
﹣
1
，
n
∈<
/p>
N
*
．
∴b
n
=
，
n
∈
N
*
．
又
T
< br>n
=
+
+
+…+
，
∴
T
n
=
+
+
…+
+
，
两
式相减有：
T
n
=
+
（
+
+…+
）﹣
=
﹣
∴T
n
=3
﹣
﹣
．
4
.
（2010•山东）已知等差数列
{a
n
}
满足：
a
3
=7
，
a
5
+a
7
=26
．
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
．
（Ⅰ）求
a
n
及
S
n
；
（Ⅱ）令
（
n
∈
N
*
）
，求数列
{b
n
}
的前
n
项和
T
n
．