(整理)三、数列的分类.
-
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第七章
数列
通过
对本章的学习，
使学生了解数列的定义，
数列的通项公式和数列
的分类；
理解等差
数列和等比数列的定义；
熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、
前
n
项和公式及等差中
项与等比中项公式。
数列在生产及生活中有着广泛的应用。
通过对本章的学习，
希望学生在学习过程中善于把所
学的知识应用到实践中去，
< br>培养学生善于归纳，
总结的能力，
提高学生分析问题和解
决问题
的能力。
有人说：
“一张纸厚
0.1
毫米，若将它对折
30
次，其高度就会超过珠穆郎玛峰。从理论
上讲这是真的吗？当我们学完本章后，就可以得
出明确的答案。
同学们一定听说过德国伟大的数学家高斯
9
岁时的一件事吧。
他的老师为了惩罚几个
淘
气的学生出了一道数学题
：计算从
1
到
100
的
自然数之和。老师认为，他们算这道题需很
长时间，可是他刚坐下，马上就有一个学生举
手说：
“老师，我做完了。
”他就是高斯。他用
的方法正是我们这章将要学习的数列的知识。
§
7.1
数列的概念
—
数列的定义
一组按正整数顺序排列的一列数
a
1,
a
2
,a
3…….
< br>叫数列。记作
{a
n
}
。
例如：
（
1
）
大于
3
且小于
11
的自然数排成一列：
4
，
5
，
6
< br>，
7
，
8
，
9
，
10
；
（
2
）
正整数的倒数排成一列：
1
，
1
1
1
,
,
……..;
2
3
4
（
3
）
-1
和<
/p>
0
相间的一列数：
-1
，
0
，
-1
，
0
，
-1
，
0
，
…
…..
（
4
）
无穷多个
1
排列成一列数是：
1
，
1
< br>，
1
，
1
，
1,……
数列
< br>{a
n
}
里的每一个数叫数列的
一个项
,
按它所在位值分别把
a
1
叫第一项，又叫首项
。
a
2
叫第二项。依此类推，
a
n
叫做第
n
项。又叫做数列的通项。
二
数列的通项公式
< br>如果
{a
n
}
< br>的通项
a
n
与项数
n
之间的函数关系可以用解析式表示，
这个解析式叫
做数列的
通项公式
例
1
根据通
项公式，求出下面数列
{a
n
}
的前
5
项
（
1
）
{a
n
}=
n
（
2
）
（
-1
）
n.
n
n
1
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解：
（
1
）在通项公式中依次取
n=1<
/p>
、
2
、
3
、
4
、
5
得到数列的前
5
项为
1<
/p>
2
3
4
，
，
，
，
2
3
4
5
5
6
（
2
）在通项公式中依次取
n=1
、
2
、
3
、
4
、
5
得到数列的前
5
项为
-1
，
2
，
-3
，
4
，
-5.
例
2
写出数
列的一个通项公式，使它的前
4
项分别是下面各列数
（
1
）
1
，
3
，
5
，
7
2
2
1
3
2
1
4
2
1
5
2
1
（
2
）
，
，
，
< br>
3
2
4
5
（
3
）
，
1
1
1
，
，
2
3
3
4
4
5
< br>解（
1
）数列的前
4
项
1
，
3
，
5
，
7
都是序号的
2
倍数减
1
，所以通项公式为
a
n
=
2 n-1
2
2
< br>1
3
2
1
4
2
1
5
2
1
（
2
）
数列的前<
/p>
4
项
，
，
，
的分母等于序号加
1
，
3
2
4
5
分子都等于分母的平方减去
1
，
所以通项公式为
a
n
=[
（
n+1
）
²
-1]/
（
n+1
）
= n
（
n+2
）
/
（
n+1
）
（
3
）数列的前
4
项
1
1
1
1
，
，
，
的绝对值都等于序号与序号加上
1
的
1
2
2
3
3
4
4
5
(
1
)
n
积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式为
a
< br>n
=
.
n
(
n
1
)
三
数列的分类
1
．
按项数
分类：项数有限的数列叫有穷数列项；项数无限的数列叫无穷数列
如：
1
，
3
，
5
，
7
，
9
为有穷数列
1
，
3
，
5
，
7
，
9
……为无穷数列
2
．
按相邻
两项数值的大小分类有：递增数列，递减数列，摆动数列及常数列。
< br>如：
1
，
2
，
3
，
4
……为递增数列
-1
，
-2
，
-3
……为递减数列
1
，
0
，
1
，
0
……为摆动数列
7
，
7
，
7
，
7
……为常数列<
/p>
四、数列的前
n
项和记号简介
我们将数列的前项
和记为
s
n
,
即
s
n
=a
1
+a
2
+a
3
+
……
+a
n
,
简记为
s
n
=
Σ
n
a
i
i=1
<
/p>
显然
s
n-1
=
a
1
+a
2
+
a
3
+
……
+
a
n-1
∴
a
n
=
s
n
-s
n-1
(n
≥
2)
a
1
=s
1
(n=1)
a
n
=
s
1
n=1
s
n
-s
n-1
n
≥
2
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2
例
3
：已知数列
{a
< br>n
}
它的前
n
< br>项和
s
n
=-n
+2n
，求（
1
）
a
1
(2)a
100
(3)
通项公式
a
n
解：
（
1
）∵
s
1
=a
1
2
∴<
/p>
a
1
=-1
+2
×
1=1
(2)
∵
a
100
< br>=s
100
-s
99
2
2
=-100
+2
×
100-(-99<
/p>
+2
×
99)
2
2
=99
-100
+2(100-99)
=-197
(3)
∵
a
n
=s
n
-s
n-1
< br> ( n
≥
2)
2
2
∴
a
n
=-n
+2n-[-(n-1)
+2(n-1)]
2
2
=-n
+2n+(n-1)
-2(n-1)
=-2n+3
当
n=1
时，
a
1
=-2
×
1+3=1=s
1
∴通项公式
a
n
=-2n+3(n
∈
N+)
习题
7-1
一
填空
3
1
．
数列
a
n
=n
的第
2
项及第
5<
/p>
项分别为
_____________.
2
．
数列<
/p>
2
，
4
，
6
，
8
……的通项公
式
a
n
=_____________
.
3
．
1,
4
．
在数列
-
2
5
．
已知
s
n
=2n<
/p>
+1,
则
a
1<
/p>
=_____________,a
2
=
____________.
n
6
．
已知
a
n
=-2<
/p>
+2,
则
a
10
=_____________.
7
．
数列<
/p>
0.1
，
0.01
，
0.001
……的通项公式
a
n
=_____________.
2
8
．
已知
s
n
=n
-10,
则
a
10
=_____________.
二
选择题
9
．
a
n
=(-1)n+1/n+1
的第
2
项为（
）
。
（
A
）
1
（
B
）
-
1
（
C
）
1
（
D
）
-
1
2
2
3
3
10
．数列
-0
.2
，
-0.22
，
< br>-0.222
，
-0.2222
……为（
）
。
（
A
）递增数列
（
B
）递减数列
（
C
）摆动数列
（
D
）常数列
11
．数列
3
，
5
，
7
，<
/p>
9
……的通项公式为（
）
。
（
A
）
2n-1`
(B)2n+1 (C)2n (D)n-1
12.
数列
2-4
，
4-6
，
6-8
，
8-10
，……为（
）
。
（
A
）递增数列
（
B
）递减数列
（
C
）摆动数列
（
D
）常数列
三
解答题
13
．根据下列数列
{ a
n
}
写出它的前
3
项
（
1
）
a
n
=
1
(2)
a
n
=n (n+1)
2
n
14.
写出下列数列的通项公式
（
1
）
1
,
1
，<
/p>
1
,
……
2
3
4
精品文档<
/p>
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（
2
）
-1
，
1
，
1
，
1
3
2
……
5
7
15
．已知
s
n
=n
-n+1,
求
a
n
及
a
5
§
7.2
等差数列
一
等差数列的定义
我们来观察下面几个数列：
1
．
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
……
2
．
3
，
0
，
-3
，
-6
，
-9
，
……
3
．
5
，
5
，
5
，
5
，
5
，
……
这几个数列具有一个共同的特性，
从第
2
项起，每一项与它的前面一项之差都等于同一
个常数。在数列
1
中这个常数是
< br>1
，在数列
2
中这个常数是
-3
，在数列
3
中这个常数是
0
。
具有这样规律的数列
有如下定义：
定义：
如果数列
a
1
,a
2
, a
3
,……a
n
,……
从第
2
< br>项起，每一项
减去它前面一项，所得的差
都等于某一常数
d.
即
a
n+1
—
a
n
=
d
(n=1,2,3,……)
那么这个数列叫等差数列，常数
d
叫公差
.
当
d>0
时数列递增，
d<0
时数列递减。
二
等差数列的通项公式及等差中项
如果
数列
a
1
,
a
2
,
a
3
,
……a
n
,……
是等差数列，它的公
差为
d,
由等差数列的定义有：
a
2
=a
1
+d
a
3
=a
2
+d=(a
1
+d)+d=a
1
+2d
a
4
=a
3<
/p>
+d=(a
1
+2d)+d=a
1
+3d
……
一般地
,
a
n
=
a
1
+ (n-1)d
这就是等差数列的通项公式。它表
示了等差数列的
a
1
,d,n,a
n
四个量之间的关系，如果已
知其中任何三个量，就可以求出另外一个量。
例如：一个等差数列
{ a
n
}
的首项为
1
。公差
为
2
，那么它的通项公式
a
n
=1+
（
n-1
）
2
即
a
n
=2
n
–
1
例
1
：求等差数列
3
，
< br>0
，
-3
，
-6
，
-9
……
< br>的通项和第
10
项
解：∵
a
1
=3
d=0-3=-3
∴
a
n
=1
+
（
n-1
）
（
-3
）
即
a
n
=
-3 n +4
所以
a
10
=-3
×
10+4=-26
例
2
：等差数列
-5<
/p>
，
-9
，
-13
……
的第几项是
-401
？
解：∵
a
1
=-5
，
d=-9-
（
-5
）
=-4
a
n
=-401
∴
-401=-5+(n-1)
×（
-4
）
解得
n=100
即这个数列的第
100<
/p>
项是
-401
。
例
3
：在
3<
/p>
与
7
之间插入一个数
A
，使
3
，
A
，
7
成等差数列
< br>
解：∵
3
，
< br>A
，
7
成等差数列
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∴
A-3=7- A
2 A=3+7
解得
A=5
一般地，如果在数
a
与
b
中间插入一个数
A
，使
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫
a
与
b
的
等差中项。在例
3
中，数
5
叫
3
与
7
的等差中项
定义
：如果
a
，
A
，
b
三个数成等差数列，那么
A
< br>叫
a
与
b
的等差中项
根据等差数列的定义
得
A-a=b- A
a
a+b
b
即
A=
2
2
三
等差数列的前
n
项和公式
已知等差数列
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,……
它的前
n
项和记
作
s
n
=a
1
+a
2
+a
3
+……+a
n
下面我们来讨论一个比较熟悉的问题，求数列：
1
，
2
，
3
，
4
，
……
的前
100
项的和
设
s
100
=1+2+3+……+98+99+
100
将项的次序倒过来
s
100<
/p>
又可写成
s
1
00
=
100+99+98+……+3+2+1
以上两式相加得
2
< br>s
100
=(1+100 )+( 2+99 )+ (
3+98 )+……+( 98+3 )+
( 99+2 )+( 100+1 ) <
/p>
=(1+100)
﹒
100
因此
s
100
=(1+100
)
﹒<
/p>
100
﹒
5050/2
一般地，设等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
s
n
则
Sn=
n(a
1
+a
n
)
2
因为
a
n
=a
1
+n(n-1)d/2
所以上式又可写成
Sn=a
1
n+n(n+1)d
2
在这
两个公式中，都涉及
4
个变量的关系，只要知道其中任意
3
个，就可求出第
4
个
例
4
：已
知
a
1
=-5,a
n
=85,n=10,
求
s
n
解：由公式
Sn=n(a
1
+a
n
)/2
得：
Sn=10
（
-5+
85
）
/2=400
例
5
：已知三个数成等差数列，且它们的和为
24
，积为
440
，求这三个数
解：由已知设这三个数分别为：
a-d, a,
a+d.
则有
(a+d)+a+(a-d)=24
(a+d)
a(a-d)=440
解得
a=8 d=3
∴
a-d=8-3=5,
a+d=8+3=11
即这三个数
为
5
，
8
，<
/p>
11
习题
7
一
2
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