数列高考常见题型分类汇总情况
-
标准文案
数列通项与求和
一、数列的通项
方法总结：
对于数列的通项的变形，
除了常见的求通项的方法，还有一些是需要找规律的，算周期
或者根
据图形进行推理
。其余形式我们一般遵循以下几个原则：
①对于同时出现
a
< br>n
,
n
,
S
n
的式子，首先要对等式进行化简。
常用的化简方法是因式分解，或
者同除一个式子，同加，同减，取倒数等，
如果出现分式，将分式化简成整式；
②利用
a
n
S
n
S
n
1
关系消掉
S
n
（或者
a
n
），得到关于
a
n
和
n
的等式，然后用传统的求通
项方法求出通
项；
③根据问题在等式中构造相应的形式，使其变为我们熟悉
的等差数列或等比数列；
④对于出现
a
n
或
S
n<
/p>
（或更高次时）应考虑因式分解，最常见的为二次函数十字相乘法，提
取公因式法；遇到
a
n
•
a
n
1
时还会两边同除
a
n
•
a
n
1
.
1.
规律性形式求通项
2
2
1-1.
数列
{a
n
}
满足
a
n+1
=
，若
a
1
=
，则
a
2016
的值是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
1-2
.
分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦
•
B
•
曼德尔布罗特（
Benoit
B
．
Mandelbrot
）在
20
世纪
70
年代创
立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图按
照
的分形规律生长成一个树形图，则第
12
行的实心圆点的个数是（
）
A
．
55
B
．
89
C
．
144
D
．
233
1-3.
如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的
，第
n
行有
n
个数且两端的数均为
（
n
≥
2
），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如
，
，
大全
标准文案
，…，则第
10
行第
4
个数（从左往右数
）为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
2.
出现
a
n
,
n
,
S
n
的式子
2
1-4.
正项数列
{a
n
}
的前项和
{a
n
}
满足
:
< br>s
n
(
n
2
n
1)
s
n
<
/p>
(
n
2
n
)
0
(1)
求数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
;
(2)
令
b
n
1-5.
设数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
.
已知
a
1
<
/p>
1
,
(1)
求
a
2
的值
;
(2)
求数列
a
n
的通项公式
.
大全
n<
/p>
1
n
2
2
a
n
2
,
数列
{b
n
}
的前
n
项和为
T
n
.
证明
:
对于任意的
n
N
*
,
都有
T
n
5
.
64
2
S
n
< br>1
2
a
n
1
n
2
n
,
n
N
*
.
n
3
3
标准文案
*
1-6.
已知首项都是
1
的两个数列
a
n
< br>
，
b
n
(
b
n
0
,
n
N
)
满足
a
n
b
n
1
a
n
1
b
n
2
b
n
1
b
n<
/p>
0
.
(1)
令
c
n
a
n
，求数列
<
/p>
c
n
的通项公
式；
b
n
n
1
(2)
若
b
n
3
，求数列
a
n<
/p>
的前
n
项和<
/p>
S
n
.
牛刀小试：
1.
已知数列
{
a
n
< br>}
的前
n
项和为
Sn
，
a
1
< br>＝
1
，且
2
nS
n
1
2(
n
1)
S
n
n
(
n
1)(
n
N
*)<
/p>
，数列
{
b
n<
/p>
}
满足
b
n
2
2
b
n
1
b
n
< br>0(
n
N
*)
，
b
3
5
，其前
9
项和为
63.
（
1
）求数列数列
{
a
n
}
和
{
b
n
}
的通项公式；<
/p>
2.
已知数列
a<
/p>
n
的前
n
项和为
S
n
,
且
a
1
(1)
求
a
n
的通项公式
;
(2)
设
b
n
n
2
S
n
<
/p>
,
n
N
，若集合
M
n
b
n
,
n
N
*
1
n
< br>1
,
a
n
1
a
n
.
2
2
n
*
恰有
4
个元素
,
求实数
的取值
范围
.
大全
标准文案
3.
需构造的（证明题）
1-7.
已知数列
a<
/p>
n
的前
n
项和为
S
n
,
且满足
a
n
2
S
n
•
S
n
1
0
n
< br>
2
,
a
1
(1)
求证
:
1
.
2
1
是等差数列
;
< br>S
n
(2)
求
a
n
表达式；
1-8.
设数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且首项
a
1
≠
< br>3
，
a
n+1
< br>=S
n
+3
（
< br>n
∈
N
）．
（
1
）求证：
< br>{S
n
﹣
3
}
是等比数列；
（
2
）若
{a
n
}
为递增数列，求
a
1
的取值范围．
牛刀小试
1
．已知数列
{
a
n
}
中，
a
1
（
1
）
证明：数列
大全
<
/p>
n
n
*
2
a
n
2
(
n
N
)
．
a
，
n
1
a
n
1<
/p>
3
1
n
1
是等比数列；
<
/p>
（
2
）求数列
的前
n
项和
为
S
n
．
<
/p>
a
n
a
n
标准文案
2.
数列
{
a
n
}
中，
a
1
1
，
a
n
1
1
1
2
，
b
n
(
n<
/p>
N
)
．
4
a
n
2
a
n
1
（
1
）求证：数列
{
b
n
}
是等差数列；
二、数列求和与放缩
数列求和的考察
无外乎错位相减、裂项相消或者是分组求和等，但有一些通项公式需要化简才
可以应用传
统的方法进行求和。对于通项公式是分式形式的一般我们尝试把“大”分式分解成次数
（
分母的次数）相等的“小”分式，然后应用裂项相消的方法进项求和。
放缩，怎么去放缩
是重点，
一般我们不可求和的放缩为可求和的，分式形式，分母是主要化简对象。
2
n
1
a
n
(
n
N
)
.
2-1.
数列
a
n
< br>
满足
a
1
2
,
a
n
1
1<
/p>
n
n
a
n
2
2
2
n
（
1
）
设
b
n
b<
/p>
n
的通项公式
.
a
n
，求
数列
（
2
）
设
c
n
1
1
2
1
m
m
S
n
对一切
n
N
成立，
S
c
n
< br>的前
n
项和为
n
，
，
数列
不等式
n
n
< br>1
a
n
1
4
4
求
m
的范围
.
2-2
.
设数列
a
n
满足
a
1
0
且
（
1
）求
a
n
的通项公式；
（
2
）设
b<
/p>
n
大全
1
1<
/p>
1.
1
a
n
1
1
a
n
1
< br>a
n
1
n
,
记
S
n
b
k
,
证明：
S
n
1.
k
1
n