数列全部题型归纳(非常全面-经典!)
-
数列百通
通项公式求法
(
一
< br>)
转化为等差与等比
1
、已知数列
{
a
n<
/p>
}
满足
a
1
1
，
a
n
2.
已知
{
a
n
}
是首项为
2
的数列，并且
< br>a
n
1
a
n
2
a
n
a
n
1
，则它的通项公式
a
n
是什么
2
3
3.
首项为
2<
/p>
的数列，并且
a
n
1
a
n
，则它的通项公式
a
n
是什么
2
a
n
1
1
（
n
N
,
２≤
n
≤８），则它的通项公式
a
n
什么
1 / 1
4
、已知数列
a
n
中，
a
< br>1
0
，
a
n
1
1
，
n
N
*
.
2
a
n
1
求证：
是等差数列；并求数列
a
n
的通项公式；
a
1
n
5.
已知
数列
a
n
中，
a
1
<
/p>
3
，
a
n
1
2
a
n
2
n
2
，如果
b
n
a
n
2
n
，求数列
a
n
的通项公式
1 / 1
（二）含有
S
n
的递推处理方法
<
/p>
1
）知数列
{
a
n
}
的前
n<
/p>
项和
S
n
满足<
/p>
log
2
（
S<
/p>
n
+1
）
=
n
+1
，求数列
{
a
n
}
的通项
公式
.
(2
<
/p>
a
n
)
2
2.
）若数列
a<
/p>
n
的前
n
项和
S
n
满足，<
/p>
S
n
则，数列
a
n
8
3
）若数列
a
n<
/p>
的前
n
项和<
/p>
S
n
满足，
a<
/p>
n
S
n
S
n
1
,
a
n
0,
a
1
< br>
4
）
a
1
2
a
2
3
a
3
< br>...
na
n
n
(
n
1)(
n
2)
< br>
求数列
a
n
1
则，数列
a
n<
/p>
4
1 / 1
（三）
累加与累乘
n
（
1
）如果数列
< br>a
n
中
a
1
1,
a
n
a
n<
/p>
1
2
(
n
2)
求数列
a
n
（
2
）已知数列
{
a
n
}
满足
a
1<
/p>
3
，
a
n
a
n
1
(3)
a
1
1,
a
2
2,
a<
/p>
n
+2
=3
a<
/p>
n
1
2
a
n
,
求此数列的通项公式
.
（
4
）若数
列
a
n
<
/p>
的前
n
项和
S<
/p>
n
满足，
S
n<
/p>
n
a
n
,
a
1
2
1
(
n
2
)
，求此数列的通项公式
n
(
n
1
)
1
则，数列
a
n
2
1 / 1
（四）一次函数的递推形式
1. <
/p>
若数列
a
n<
/p>
满足
a
1
1,
a
n
2 .
若数列
a
n
满足
a
1<
/p>
1,
a
n
（五）分类讨论
（
< br>1
）
a
n
3
a
n
2
(
n
3),
a
1
1,
a
2
7
，求数列
a
n
（
2
）
1
a
n
1
1
(
n
2)
，数列
a
n
2
1
a
n
1
2
n
(
n
2)<
/p>
，数列
a
n
<
/p>
2
a
n
2,(
n
3)
a
1
1,
a
2
3
，求数列
a
n
a
n
2
1 / 1
（六）求周期
16
（
1
）
a
n
1
（
2
）如果已知数列
a
n
1
a
n
a
n
1
，
a
1
2,
a
2
6
，求
a
2010
1
a
n
,
a
2
4
，求数列
a
2004
1
a
n
1 / 1
拓展
1
：有关等和与等积
（
1
）数列
{
a
n
}
满足
< br>a
1
0
,
a
n
1
a
n
2
,
求数列
{
a
n
}
的通项公式
（
2
）数列
{
a
n
}
满足
a
1
0
,
a
n
1
a
n
2
n
,
求数列
{
a
n
}
的通项公式
(3).
已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
3
,
a
n<
/p>
a
n
1
(
)
,
(
n
N
)
,
求此数列
{
a
n
}
< br>的通项公式
.
拓展
2
综合实例分析
1
已知数列
{
a
n
< br>}
的前
n
项和为
S
n
，且对任意自然数
n
，总有
S
n
p
a
n
1
,
p
0,
p
1
（
1
）求此数列
{
a
n
}
的通项公式
(2)
如果数列
< br>b
n
中，
b
n
2
n
q
,
a<
/p>
1
b
1
,
a
2
b
2
，求实数
p
的取值范围
1
2
n
*
n
3
n
2
已知整数列
{
a
n
}
满足
a
1
a
2
a
2
a
3
a
3
a
4
...
a
n
1
a
n<
/p>
，求所有可能的
a
n
3
1 / 1
2
2
3
已知
{
a
n
}
是首项为１的正项数列，并且
(
n
1)
a
n
1
< br>na
n
a
n
1
a
n
0(
n
1,
2,3,
)
，则它的通项公式
a
n
是什
么
4
已知
{
a
n
}
是首项为
1
的数列
，并且
a
n
1
5
、数列
a
n
和
b
n
中，
a
n
,
b
n
,
a
n
1
成等差数列，
b
n
，
a
n
1
< br>，
b
n
1
成等比数列，且
a
1
1
，
b
< br>1
2
，设
a
n
，则它的通项公式
a
n
是什么
3
a
n
4
a
n
，求数列
c
n
的通项公式。
c
n
b
n
1 / 1
6
7 <
/p>
数列
a
n
满足
p
1
S
n
1
a
n
，其中
p
为正实数，
S
n
a
1
a
2
…
a
n
n
N
*
(1)
证明：
a
n
为等比数列，并求出它的通项；
(
2)
数列
b
n
中，
b
1
1
，
b
n
1
b
n
a
n
，求
b
n
的通项公式
设无穷数列
a
n
的
前
n
项和为
S
n
，已知
a
1
2
，且当
n
N
时，总有
3
S
n
1
1
2
S
n
，求
a
n
及
S
n
．
1 / 1
数列求最值的方法
（一）化为函数方法
转化为耐克函数
n
< br>2
n
4
（
1
）如果数列
< br>
a
n
的通项公式是
a
n
=
，此数列的哪一项最小？并求其最小值
n
（
2
）如果
数列
a
n
的通项公式是
a
n
=
转化为分式函数
（
< br>3
）如果数列
a
n
的通项公式是
a
n
=
转化为二次函数
< br>（
4
）如果数列
a
n
的通项公式是
a
n
=
n
kn
2
是单调递增数列，求
k
的取值范围。
2
n
，此数列的哪一项最大
？并求其最大值
2
n
156
n
1
，此数列的哪一项最大？并求其最大值
n
5
如果该数列在第四
项最小，求
k
的取值范围
1 / 1
（二）数列的简单单调性求最值的方法：
如果数列
a
n
< br>
的通项公式是
a
n
=
(1)
判断数列的增减
(2)
若对于一切大于
1
的
自然数
n
，不等式
a
< br>n
1
1
1
.....
< br>(
n
N
*
)
，
n
1
n
2
n
n
1
2
log
a
(
a
1)
恒成立求
a
的取值范围
？
12
3
（三）计算器结合复杂单调性，求最值的方法
*
*
（
1
）数列
a
n
的通项公式是
a
n
=
n
1,
n
N
，是否存在自然数
m
，使对任意的序号
n
N
，有
a
n
a
m
恒
成
立，若存在，求出
m
，如果不存在，
请说明理由
（
2
）如果数列
a
n
的通项公式是
a
n
=
(
9
n
)
,
n
<
/p>
N
*
，是否存在自然数
< br>m
，使对任意的序号
n
N
*
，有
a
n
a
m
10
恒成立，若存在，求出
m
，如果不存在，请说明理由
（
3
）如果数列
a
n
的通项公式是
a
n
=
(
n
1)(
9
n
)
,
n
N<
/p>
*
，是否存在自然数
m
< br>，使对任意的序号
n
N
*
，有
10
a
n
a
m
恒成立，若存在，求出
m
，如果不存在，请说明理
由
1 / 1
（四）数列单调性求“和”的最值的方法
已知数列前
n
项和为
S
n
，且
S
n
n
5
< br>a
n
85,(
n
N
)
（
1
）
求
a
n
的通项
公式
（
2
）
求
S
n
的通项公式
（
3
）
说说
n
为何值时，
S
n
取得最小值？
数列的求和
（一）倒序相加法：
（
1
）设
f
x
1
，利用课本中推导等差数列前
n
项和公式的方法，求：
x
2
2
f
8
f
7
…
< br>f
0
…
f
8
f
9
的值
0
1
2
3
n
1
n
（
2
）
S
n
C
n
2
C<
/p>
n
3
C
n
4
C
n
....
nC
n
(
n
1)
C
n
1 /
1
（二）
错位相减法
求和：
1
3
5
7
2
n
1
…
< br>
n
2
2
4
8
16
（三）
公式求和法
（
1
）数列
a
n
中，
a
1
8,
a
4
2
且
a
n
2
2
a
n
1
a
n
< br>
0
n
N
*
，
S
n
a
1
a
2
a
3
a
< br>4
…
a
n
，求
S
n
．
（
2<
/p>
）
S
n
a
n
a
n
1
b
a
n
2
b
2
a
2
b<
/p>
n
2
ab
n
1
b
n
(
n
N
*
< br>)
（
3
）求和
1
2
3
4
…
n
2
2
2
2
2
1 / 1
（三）裂项求和法
（
1
）
（
2
）
1
1
1
,
,
,
…
1
5
3
7
5
< br>
9
1
1
1
…
1
3
3
5
< br>5
7
（
3
）
1
1
1
1
1
,
(
n
< br>N
*
)
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
< br>
n
（
4
）求数列
a
n
n
n
!
的前
n
项和
1 / 1
（四）
.
分组求和法
1.
分部分组法
（
1
）
1
,2
,3
,
…
1
2
1
4
1
8
1
1
1
（
2
）
< br> 1
，
3
＋
，
3
2
＋
2
，……，
3
n
＋
n
3
3
3
2.
奇偶分组
6
n
5
n
为偶数
（
3
）已知
a
n
求数列
a
n
的前
n
项和．
n
4
n
为奇数
3
均匀分组
（
4
）
1,3,
5,7
…
1 / 1
4.
不均匀分组
（
5
）求数列：
1,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
…的前
100
项和；
（
6
）求数列：
1,2
3,4
5
6,7
8
9
10,
…的前
n
项和．
数列的极限
5
个“三”
三个定义极限
（
1
）
lim
C
=
C
（
C
为常数）
;
n
1
1
1
1
1
1
1
1<
/p>
1
2
2
3
3
3
4
4
4
4
（
2
）
lim
n
1
=0;
n
（
3
）
lim
q
n
=0
（
|
q
|
＜
1
）
n
三个不存在的极限
lim
n
n
lim(
1)
n
n
lim
2
n
n
三个推导极限
（
1
）多项式
a
a
k
n
k
a
k
1
n
k
1
< br>...
a
1
< br>n
a
0
,
l
k
;
b
(
k
,
l
N
*
,
a
k
0,
b
l
0)
< br>
lim
l
l
< br>
1
...
< br>
b
1
n
b
0
n
b
l
n<
/p>
b
l
1
n
0,
l
k
.
an
2
bn
3
lim
3
，则
a
________,
b<
/p>
________
.
< br>
n
4
n
5
1 / 1
(2)
单指数
(1
r
)(1
q
n
)
lim
n
1
q
(1
q<
/p>
)
n
（
3
）多指数
若
lim
3
n
3
n
1
a
1
n
n
1
，求
a
的取值范围
3
三个待定形
1
）
0
型
0
1
3
2
n
和
lim
比较<
/p>
lim
n
n<
/p>
1
n
<
/p>
2
n
2
n
2
）
1
3
2
n
n
1
4
2
n
n
型
<
/p>
3
n
2
2
5
n
2
2
比较
lim
和
lim
n
2
n
2
1
n
2
n
2
< br>
1
3
）
0+0+0+0+0+0+0+0
……
型
lim
(
n
1
2
3
2
n<
/p>
)
__________
_
.
n
2
1
n
2
1
n
2
1
n
2
1
三个重要条件
n
q
lim
0(
1
q
1)
n
lim
q
n
n
极限存在
< br>(
1
q
1)
S
lim
S
n
n
a
1
(0
|<
/p>
q
|
1)
1
q
1 / 1