Lagrange方程练习题
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Lagrange
方程练习题
mRr
一、如图所示
,
一半径为质量为的匀质圆柱体
,
在一
半径
为的固定的圆柱体内壁上做往复无滑滚动
.
若初始时
,
小
圆柱偏离平衡位置不大
,
试用拉格朗日方法求小圆柱质
心的运动周期
.
mr
二、如图所示
,
一质
点的质量为
,
悬在不可伸长的轻绳上
,
绳的另一端
绕在半
径为的
l
固定圆柱上
.
设质点在平衡位置时
,
绳的下垂部分
长
.
不计绳的质量
,
试用拉格朗日方法写
出质点摆动时的
运动微分方程
.
mA
三、
如图所示
,
在
质量可忽略的滑轮上跨一绳
,
绳的一端悬一质量为的重物
,
另一端
1mmB
系一无重小滑轮
,
在小滑轮上另跨一绳
,
绳
的
两
端
分
别
悬
挂
质
量
为
,
的
重
物
和
3
已知
.
试用拉格朗日方
法求解物
体
,,
的加速度
.
设轴承
123
光滑
,
绳的质量不计
,
绳与滑轮
之间没有滑动
.
m
四、
如图所示
,
质
量为的质点
,
在光滑的旋轮线上做往复运动
,
旋轮
线的方
程式为
sO
,
式中的是图中由点量起的弧坐
标
, <
/p>
是旋轮线的切线与水平轴的
a
夹角
,
为常量
.
试用拉
格
朗日方法证明质点的振动是简谐振动
(
即使做大幅度振
动
),
并求出振动周
期
.
O
五、
如图所示
,
一滑轮可绕水平轴转动
,
m
在此滑轮上绕过一条不可伸长的绳
,
绳的一端
悬一重物
,
其质
量为
,
另一端与一铅垂弹簧连接
,
弹簧的另一端被固定
,
弹簧的劲
1m
k
度系数为
,
滑轮质量为
,
视质量均匀分布在轮缘上
,
绳与滑轮
间无滑动
.
试用拉
2
格朗日方法
,
求证重物做简谐振动
,
并求振动
周期
.
m
A
六、
如图所示
,
倾角为的光滑
1
固定尖劈上放有一质量为的滑块
,
上面用铰链与轻
l
B
杆连
接
,
轻杆又与一小球相连
.
轻杆只能在铅垂面内运动
.
已知杆长为
,
小
球质
m
量为
.
< br>试用拉格朗日方程建立滑块、轻杆和小球组成的
力学系统的运动微分方程
.
2
mmsPP
七、
如图所示
,
质量为的圆
柱体放在质量为的圆柱体上做无滑动滚动
,
放
12
置在粗糙平面上
.
已知两圆柱的对称轴都是水平的
,
且质心在同一竖直面内
,
开始
时
P
系统是静止的
,
两圆柱连心线沿竖直方向
.
若以圆柱
体的初
始位置为固定坐标原点
,
s<
/p>
试证明圆柱的质心在任意时刻的坐标
为
C
C
式中为两圆柱对称轴间的距离
,
为两圆柱连心线与竖直向上的直
线的夹角
.
m2lABR
八、
如图所示
,
一匀质直杆
,
质量为
,
长为
,
两端约束在
< br>uml
R
平圆圈上
, ,
圆圈被固定在水平面内
.
一
半径为的光滑水
质量为的甲虫以不变的相对速度
沿杆运动
.
初始时甲虫在
杆的中点
,
杆的转动角速度为
.
设杆与水平固定
直线的
0
t
夹
角
为
,
试
用<
/p>
拉
格
朗
日
方
法
求
杆
在
时
刻
的
转
动
角
速
度
.
m2aABA
九、
如图所示
,
匀质细杆
,
质量为
,
长
,
端可在水平光滑导轨
上运动
,
杆在铅
垂平面内绕端摆动
.
杆除重力作用外
,
端还受
到水平力的作用
.
试用拉格朗日方法求出摆角很小时杆的运动
微
分方程
.
SSOA
十、
如图所示
,
水平放置的行星齿
轮
,
曲柄带动齿轮在固定齿轮上滚动
.
已
知
21mSmSR
r
曲柄的质量为
,
的质量为
,
半径为
,
齿轮的半径为
.
今在曲柄上作
用一个不
变的力矩
,
并把齿轮视为匀质圆盘
,
试用拉格朗
日方程求出曲柄
的转动角速度
.
P
l
m
十一、
如图所示
,
质量为的质点固定
在长为的轻杆的一端
,
轻杆的另一端铰接在
固
1PP
mO
l
定点上；长
为的另一轻杆的上端与质点铰接
,
另一端与质量也为的质点连
12
接
< br>.
各铰链光滑
.
以两杆分别与竖直向下方向所夹的角度
,
12
作为广义坐标
,
求此
论其简正模式
.
解：
系统的微振动运动方程及简正频
率
,
并讨
一、将小圆柱质心和所在的大
圆柱截面中心
向为正方
的连线与竖直直线的夹角作为广义坐标，
逆时针方
向
.
设小圆柱角坐标正方向为顺时针方向，坐标变换方
4
程
为
，
系
统
拉
氏
函
数
为
将代入拉氏方程后得
.
小
圆柱质心的运动周期为
12
当
二、图中
很小时
角
为
广
义
坐
标
拉氏函数为
2
代
入拉氏
方程后得到质点的运动微分方程
.
xx
C
AB
三、坐标、为系统
（定滑轮和
物体、
、
，以及连接重物的绳）的广义坐标
AB
经过坐
标
< br>变
换
，
拉
格
朗
日
函
数
为
13A23B3AB1A2B3AB22
C
是在坐标变换中出现的常量的总和）
方程，且将代入
231
得
L
将代入拉氏
，
ABAB
AB1717AB
、两物体的
加速度分别为：
，
. s
四、
选择弧坐标为广
义坐
标
28a
，
4a
代入
拉氏方程得
所以是
简谐振动
a
质
点的振动周期
.
m
OOx
五、
建立原点在定滑
轮中心的正下方地面
上
一点，轴通过滑轮
中心向上，以重物的
坐
x
标为广义坐标
.
系
统（由滑轮、重物、
绳
、
弹
簧
组
成
）
1
121A022
，