高中数学直线方程练习题集
-
高中数学直线方程练习题
一．选择题（共
12
小题）
1
．已知
A
（﹣
2
，﹣
1
），
B
（
2
，﹣
3
），过点
P
（
1
，
5
）的直线
l
与线段
AB
有交点，
则
l
的斜率的范围是（
）
A
．（﹣
∞，
8]
﹣
B
．
[2
，
+
∞）
C
．
（﹣∞，
8]
﹣∪
[2
，
+
∞）
D
．（﹣∞，
8
）﹣∪（
2<
/p>
，
+
∞）
2
．已知点
A
（
1
，
3
）
，
B
（﹣
2
，﹣
1
）．若直线
l
：
y=k
（
x
﹣
2
）
+
1
与线段
AB
相交，
则
k
的取值范围是（
）
A
．
[
，
+
∞）
<
/p>
B
．（﹣∞，
2]
﹣
C
．（﹣∞，
2]
﹣∪
[
，
+
∞）
<
/p>
D
．
[
﹣
2
，
]
3
．已知点
A
（﹣
1
，
1
），
B
（
2
，﹣
2
），若直线
l
：
x+my+m=0
与线段
AB
（含端点）
相交，则实数
m
的取值范围是（
）
A
．（﹣
∞，
]
∪
[2
，
+
∞）
B
．
[
，
2]
C<
/p>
．（﹣∞，
2]
∪﹣
[
﹣，
+
∞）
D
．
[
﹣
，﹣
2]
4
．已知
M
（
1
，
2
），
N
（
4<
/p>
，
3
）直线
l
过点
P
（
2
，﹣
1
）且与线段
MN
相交，那么
直线
l
的斜率
k
的取值范围是（
）
A
．（﹣
∞，
3]
﹣∪
[2
，
+
∞）
B
．
[
﹣，
] C
．
[
﹣
3
，
2]
D
．（﹣∞，﹣
]
∪
[
+
∞）
5
．已知
M
（﹣
2
，﹣
3
），
N
（
3
，
0
），直线
l
过点（﹣
1
，
2
）且与线段
MN
相交，则直
线
l
的斜率
k
的取值范围是（
）
A
．
或
k
≥
5
B
．
C
．
D
．
6
．已知
A
（﹣
2
，
），
B
（
2<
/p>
，
），
P
（﹣
1
，
1
），若直线
l
过点
P
且与线段
AB
有公共点，则直线
l
的倾斜角的范围是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
∪
，
7
．已知点
A
（
2
，
3
）
，
B
（﹣
3
，﹣
2
），若直线
l
过点
P
（
1
，
1
）与线段
AB
始终没
有交点，则直线
l
的斜率
k
的取值范围是（
）
A
．
＜
k
＜
2
B
．
k
＞
2
或
k
＜
C
．
k
＞
D
．
k
＜
2
8
．已知
O
为△
ABC
内一点，且
，
，若
<
/p>
B
，
O
，
D
三点共
线，则
t
的值为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
9
．经过（
3
，
0
），（
0
，
4
）两点的直线方程是（
）
A
．
3x+4y
﹣
12=0 B
．
3x
﹣
4y+12=0 C
．
4x
﹣
3y+12=0
D
．
4x+3y
﹣
12=0
10
．过点（
3
，﹣
6
）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（
）
A
．
2x+y=0 B
．
x+y+3=0
C
．
x
﹣
y+3=0
D
．
x+y+3=0
或
2x+y=0
11
．经过点
M
（
1
，
1
）且在两轴上截距相等的直线是（
A
．
x+y=2
B
．
x+y=1
C
．
x=1
或
y=1
D
．
x+y=2
或
x
﹣
y=0
）
12
．已知△
ABC
的顶点
A
（
2
，
3
），且三条中线交于点
G
（
4
，
1
），则
BC
边上的
中点坐标为（
A
．（
5
，
0
）
）
B
．（
6<
/p>
，﹣
1
）
C
．（
5
，﹣
3
）
D
．（
6
，﹣
3
）
二．填空题（共
4
小题）
13
．已知直线
l
1
：
ax+3y+1=0
，
l
2
：
2x+
（
a+1
）
y+1=0
，若
l
1
∥
l
2
，则实数
a
的值
是
．
14
．直线
l
1
：（
3+a
）
x+4y=5
﹣
3a
和直线
l
2
：
2x+
（
5+a
）
y=8
平行，则
a=
15
．设直线
l
：
x+my+6=0
1
．
1
2
和
l
：
（
m<
/p>
﹣
2
）
x+3y+2m=0
，当
m=
2
时，
l
∥
l
，
当
m=
时，
l
1
⊥
l
2
．
16
．如果直线（
2a+5
）
x+
（
a
﹣
2
）
y+4=0
与直线（
2
﹣
a
）
x+
（
a+3
）
y
﹣
1=0
互相垂
直，则
a
的值等于
．
三．解答题（共
11
小题）
17
．已知点
A
（
1
，
1
），
B
（﹣
2
，
2
），直线
l
过点
P
（﹣
1
，﹣
1
）且与线段
< br> AB
始终有
交点，则直线
l
的斜率
k
的取值范围为
．
18
．已知
x
，
y
满足直线
l
：
x+2y=6
．
（
1
）求原点
O
关于直线
l
的对称点
P
的坐标；
（
2
）当
x
∈
[1
，
3
]
时，求
的取值范围．
19
．已知点
A
（
1
，
2
）、
B
（
5
，﹣
1
），
（
1
）若
A
，
B
两点到直线
l
的距离都为
2
，求直线
l
的方程；
（
2
）若
A
，
B
两点到直线
l
的距离都为
m
（
m
＞
0
），试根据
m
的取值讨论直线
l
存在的条数，不需写出直线方程．
20
．已知直线
l
的方程为
2x+
（
1+m
）
y+2m=0
，
< br>m
∈
R
，点
P
的坐标为（﹣
1
，
0
）．
（
1
）求证：直线
l
恒过定点，并求出定点坐标；
（
2
）求点
P
到直线
l
的距离的最大值．
21
．已知直线方程为（
2+m
）
x+
（
1
﹣
2m
）
y+4
﹣
3m=0
．
（
Ⅰ）证明：直线恒过定点
M
；
（
Ⅱ）若直线分别与
x
轴、
y
轴的负半轴交于
A
，
B
两点，求△
AOB
面积的最小
值及此时直线的方程．
22
．已知光线经过已知直线
l
1
：
3x
﹣
y+7=0
和
l
2
：
2x+y+3=0
的交点
M
，且射到
x
轴上一点
N
（
1
，
0<
/p>
）后被
x
轴反射．
（
1
）求点
M
关于
x
轴的对称点
P
的坐标；
（
2
）求反射光线所在的直线
l
3
的方程．
（
3
）求与
l
3
距离为
的直线方程．
23
．已知直线
l
：
y=3x+3
求（
1
）点
P
（
4
，
5
）关于
l
的对称点坐标；
（
2
）直线
y=x
﹣
2
关于
l
对称的直线的方程．
24
．已知点
M
（
3
，
5
），在直线
< br> l
：
x
﹣
2y+2=0
和
y
轴上各找一点
P
和
Q
，使△
MPQ
的周长最小．
25
．已知直线
l
经过点
P
（
3
，
1
），且被两平行直线
l
1
；
x+y+1=0
和
l
2<
/p>
：
x+y+6=0
截得的线段之长为
5
，求直线
l
的方程．
26
．已知直线
l
：
5x+2y+3=0
，直线
l
′经过点
P
（
2
，
1
）且与
l
的夹角等于
45
，
求直线
l'
的一般方程．
27
．已知点
A
（
2
，
0
），
B
（
0
，
6
），
O
为坐标原点．
（
1
）若点
C
在线段
OB
上，且∠
ACB=
，求△
ABC
的面积；
（
2
）若原点
O
关于直线
AB
的对称点为
D
，延长
BD
到
P
，且
|PD|=2|BD|
，已知
直线
L
：
ax+10y+84
﹣
108 =0
经过点
P
，求直线
l
的倾斜角．
高中数学直线方程练习题
参考答案与试题解析
一．选择题（共
12
小题）
1
．（
20
16
秋
?
滑县期末）已知
A
（﹣
2
，﹣
1
），
B
（
2
< br>，﹣
3
），过点
P
（
1
，
5
）的直线
l
与线段
AB
有交点，则
l
的斜率的范围是（
）
A
．（﹣
∞，
8]
﹣
B
．
[2<
/p>
，
+
∞）
C
．（﹣∞，
8]
﹣∪
< br>[2
，
+
∞）
< br>D
．（﹣∞，
8
）﹣∪（
2
，
+
∞）
【分析】
利用斜率计算公式与斜率的
意义即可得
出．【解答】
解：
k
PA
=
=2
，
k
PB
=
=
﹣
8
，
∵直线
l
与线段
AB
有交点，∴
l
的斜率的范围是
k
< br>≤
8
﹣，或
k
≥
2
．
故选：
C
．
【点评】
本题考查了斜率计算公式与
斜率的意义，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题．
2
．（
2016
秋
?
碑林区校级期末）已知点
A
（
1
，
3
），<
/p>
B
（﹣
2
，﹣
1
）．若直线
l
：
y=k
（
x
﹣
2
）
+1
与线段
AB
相交，则
k
的取值范围是（
）
A
．
[
，
+
∞）
<
/p>
B
．（﹣∞，
2]
﹣
C
．（﹣∞，
2]
﹣∪
[
，
+
∞）
<
/p>
D
．
[
﹣
2
，
【分析】由直线系方程求出直线
l
所过定点，由两点求斜率公式求得连接定点与
线段
AB
上点的斜率的最小值和最大值得答案．
【解答】
解：∵直线
l
：
y=k
（
x
﹣
2
）
+1
过点
P
（
2
，
1
），
连接
P
与线段
AB
上的点
A
（
1
，
3
）时直线
l
的斜率最小，为
，
]
连接
P
与线段
AB
上的点
B
（﹣
2
，﹣
1
）时直线
< br> l
的斜率最大，为
．
∴
k
的取值范围是
．
故选：
D
．
【点评】
本题考查了直线的斜率，考查了直线系方程，是基础题．
3
．（
2016
秋
?
雅安期末）已知点
A
（﹣
1
，
1
），
B
（
2
，﹣
2
），若直线
l
：
x+my+m=0
与线段
AB
（含端点）相交，则实数
m
的取值范围是（
）
A
．（﹣
∞，
]
∪
[2
，
+
∞）
B
．
[
，
2]
C<
/p>
．（﹣∞，
2]
﹣∪
[
﹣，
+
∞）
D
．
[
﹣
，﹣
2]
【分析】
利用斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性即可得出．
【解答】
解：直线
l
：
x+my+m=0
经过定点
P
（
0
，﹣
1
），
k
PA
=
=
﹣
2
，
k
PB
=
=
﹣．
∵直线
l
：
x+my+m=0
与线段
AB
（含端点）相交，
∴
≤
≤
2
﹣，
∴
．
故选：
B
．
斜率与倾斜角的关系及其单调性，
考查了推
理能力与计算能力，属于中档题．
4
．（
2016
秋
?
庄河市校级期末）已知
M
（
1
，
2
），
N
（
4
，
3
）直线
l
过点
P
（
2
，
﹣
1
）且与线段
MN
相交，那么直线
l
的斜率
k
的取值范围是（
）
A
．（﹣
∞，
3]
﹣∪
[2
，
+
∞）
B
．
[
﹣，
] C
．
[
﹣
3
，
2]
D
．（﹣∞，﹣
]
∪
[
+
∞）
【分析】画出图形，由题意得
所求直线
l
的斜率
k
满足
k
≥
k
PN
或
k
≤
k
PM
，用直
【点评】本题考查了斜率计算公式、
，
线的斜率公式求出
k
PN
和
k
PM
的值，解不等式求出直线
l
的斜率
k
的取值范围．
【解答】
解：如图所示：
由题意得，所求直线
l
的斜率
k
满足
k
≥
k
PN
或
k
≤
k<
/p>
PM
，
即
k
≥
=2
，或
k
≤
=
﹣
3
，
∴
k
≥
2
，或
k
≤
3
﹣，
故选：
A
．
【点评】
本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想．
5
．（
2013
秋
?
迎泽区校级月考）已知
M
（﹣
2
，﹣
3
），
N
（
3
，
0
），直线
l
过点（﹣
1
，
2
）且与线段
MN
相交，则直线
l
的斜率
k
的取值范围是（
）
A
．
或
k
≥
5
B
．
C
．
D
．
【分析】
求出边界直线的斜率，作出
图象，由直线的倾斜角和斜率的关系可得．
【解答】
解：（如图象）即
P
（﹣
1
，
2
），
由斜率公式可得
PM
的斜率
k
1
=
直线
PN
的斜率
k
2
=
=5
，
=
，
当直线
l
与
x
轴垂直（红色线）时记为
l
′，
可知当直线介于
l
′和
PM
之间时，
k
≥
5
，
当直线介于
l
′和
PN
之间时，
k
≤﹣，
故直线
l
的斜率
k
的取值范围是：
k
≤﹣，或
k
≥
5
故选
A
【点评】本题考查直线的斜率公式，
涉及数形结合的思想和直线的倾斜角与斜率
的关系，属中档题．
6
．（
2004
< br>秋
?
南通期末）已知
A
（﹣
2
，
），
B
（
2
，
< br>
），
P
（﹣
< br>1
，
1
），若
直线
l
过点
P
且与线段
AB
有公共点，则直线
l
的倾斜角的范围是（
）
A
．
B
．
D
．
∪
C
．
【分析】先求出直线的斜率的取值范围，
再根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜角
的范围求出倾斜角的具体范围．
【解答】
解：设直线
l
的斜率等于
k
，直线的倾斜角为
α
由题意知，
k
PB
=
=
﹣
，或
k
PA
=
α
，则
α<
/p>
∈
[0
，
π
），
tan
α
=k
，
=
﹣
设直线的倾斜角为
由图知
0
°≤
α
≤
120
°或
150
°≤
α
＜
180
°
故选：
D
．
【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，
直线的斜率公式的应用，
属于基
础题．
7
．已知点
A
（
2
，
3<
/p>
），
B
（﹣
3
，﹣
2
），若直线
l
过点
P
（
1
，
1
）与线段
AB
始终没
有交点，则直线
l
的斜率
k
的取值范围是（
）
D
．
k
＜
2
A
．
＜
k
＜
2
B
．
k
＞
2
或
k
＜
C
．<
/p>
k
＞
【分析】
求出
PA
，
PB
所在直线的斜率，数形结合得答案．
【解答】
解：点
A
（
2
，
3
），
B
（﹣
3
，﹣
2
），若直线
l
过点
P
（
1
，
1
），
∵直线
PA
的斜率是
=2
，
=
．
直线
PB
的斜率是
如图，
∵直线
l
与线段
AB
始终有公共点，
∴斜率
k
的取值范围是（
，
2
）．
故选：
A
．
【点评】本题考查了直线的倾斜角和直线的斜率，
考查了数形结合的解题思想方
法，是基础题．
8
．（
2017
?
成都模拟）已知
O
为△
ABC
内一点，且
，
，若
B
，
O
，
D
三点共线，则
t
的值为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析】以
OB
，
OC
为邻边作平行四边形
OBFC
，连接
OF
与
BC
相交于点
E
，
E
为
BC
的中点．由
，可得
=2
=2
，点
O
是直线
AE
的
中点．根据
，
B
，
O
，
D
三点共线，可得点
D
是
BO
与
AC
的交点．过点
O
作
OM
∥
BC
交
AC
于点
M
，则点
M
为
AC
的中点．即可得出．
【解答】
解：以
OB
，
OC
为邻边作平行四边形
OBFC
，连接
OF
与
BC
相交于
点
E
，
E
为
BC
的中点．
∵
，∴
=2
=2
，
∴点
O
是直线
AE
的中点．
∵
，
B
，
O
，
D
三点共线，
∴点
D
是
BO
与
AC
的交点．
过点
O
作
OM
∥
BC
交
AC
于点
M
，则点
M
为
AC
的中点．
则
OM= EC=
BC
，
=
，
∴
DM=
MC
，
∴
AD= AM= AC
，
∴
t=
．
故选：
B
．
【点评】本题考查了向量共线定理、
向量三角形与平行四边形法则、
平行线的性
质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9
．（
2016
< br>秋
?
沙坪坝区校级期中）
经过（
3
，
0
），（
0
，
4
）两点的直线方程是
（
）
A
．
3x+4y
﹣
12=0 B
．
3x
﹣
4y+12=0 C
．
4x
﹣
3y+12=0
D
．
4x+3y
﹣
12=0
【分析】
直接利用直线的截距式方程求解即可．
【解答】解：因为直线经过（
3
，
0
），（
0
，
4
）两点，所
以所求直线方程为：
，
即
4x+3y
﹣
12=0
．
故选
D
．
【点评】
本题考查直线截距式方程的求法，考查计算能力．
10
．（
2016
秋
< br>?
平遥县校级期中）过点（
3
，﹣
6
）且在两坐标轴上的截距相等的直
线的方程是（
）
A
．
2x+y=0 B
．
x+y+3=0
C
．
x
﹣
y+3=0
D
．
x+y+3=0
或
2x+y=0
【分析
】当直线过原点时，用点斜式求得直线方程．当直线不过原点时，设直线
的方程为
x+y=k
，把点（
3
，﹣
6
）代入直线的方程可得
k
值，从而求得所求的直
线方程，综合可得结论．
【解答】
解：当直线过原点时，方程为
y=<
/p>
﹣
2x
，即
2x+y=0
．
当直线不过原点时，设直线的方程为
x+y=k
，把点（
3
，﹣
6
）代入直线的方程可
得
k=
﹣
3
，
故直线方程是
x+y+3=0
．
综上，所求的直线方程为
x+y+3=0
或
2x+y=0
，
故选：
D
．
【点评】本题考查用待定系数法求直线方程，
体现了分类讨论的数学思想，
注意
当直线过原点时的情况，这是解题的易错点，属于基础题．
11
．（
2015
秋
?
运城期中）经过点
M
（
1
，
1
）且在两轴上
截距相等的直线是
（
）
A
．
x+y=2
< br>B
．
x+y=1
C
．
x=1
或
y=1
D
．
x+y=2
或
x
﹣
y=0
【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为
0
时，设出
该直线的方程为
x+y=a
，把已知点坐标代入即可求出
a
的值，得到直线的方程；
y=kx
，把已知
第二：当所求直线与两坐标轴的截距为
0
时，设该直线的方程为
点的坐标代入即可求出
k
的值，得到直线的方程，
综上，得到所有满足题意的直
线的方程．
【解答】
解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为
0
时，设该直线的方程为
x+y=a
，
把（
1
，
1
）代入所设的方程得：
a=2
，则所求直线的方程为
x+y=2
；
②当所求的直线与两坐标轴的截距为
0
时，设该直线的方程为
y=kx
，
把（
1
，
1
）代入所求的方程得：
k=1
，则所求直线的方程为
y=x
．
综上，所求直线的方程为：
x+y=2
或
x
﹣
y=0
．
故选：
D
．
【点评】
此题考查直线的一般方程和分类讨论的数学思想，要注意对截距为
0
和不为
0
分类讨论，是一道基础题．
12
．（
2013
春
< br>?
泗县校级月考）已知△
ABC
的顶点
A
（
2
，
3
），且三条中线交于点
G
（
4
，
1
），则
BC
边上的中点坐标为（
）
A
．（
5
，
0
）
B
．（
6<
/p>
，﹣
1
）
C
．（
5
，﹣
3
）
D
．（
6
，﹣
3
）
【分析】
利用三角形三条中线的交点到对边的距离等于到所对顶点的距离的一
半，用向量表示即可求得结果．
【解答】
解：如图所示，；
∵△
ABC
的顶点
A
（
2
，
3
），三条中线交于点
G
（
4
，
1
< br>），
设
BC
边上的中点
D
（
x
，
y
），则
=2
，
<
/p>
∴（
4
﹣
2
，
1
﹣
3
）
=2
（
x
﹣
4
，
y
﹣
1
），
即
，
，
解得
即所求的坐标为
D
< br>（
5
，
0
）；
故选：
A
．
【点评】本题考查了利用三角形三
条中线的交点性质求边的中点坐标问题，
是基
础题．
二．填空题（共
4
小题）
13
．（
2015 ?
益阳校级模拟）已知直线
l
1
：
ax+3y+1=0
，
l
2
：
2x+
（
a+1
）
y+1=0
，
若
l
1
<
/p>
∥
l
2
，则实数
a
的值是
﹣
3
．
【分析】
根据
l
1
∥
l
2
，列出方程
a
（
a+1
）﹣
2
×
3=0
，求出
a
的值，讨论
a
是否满足
l
1
∥
l
2
即可．
【解答】
解：∵
l
1
∥
l
2
，
∴
a
（
a+1
）﹣
2<
/p>
×
3=0
，
即
a
+a
﹣
6=0<
/p>
，
2
解得
a=
﹣
3
，或
a=2
；
当
a=
﹣
3
时，
l
1
为：﹣
3x+3y+1=0
，
l
2
为：
2x
﹣
2y+1=0
，满足
l
1
∥
l
2
；
当
a=2
时，
l
1
为：
2x+3y+1=0
，
l
2
为：
2x+3y+1=0
，
l
1
与
l
2
重合；