解一元二次方程练习题(韦达定理)
-
实用标准文档
解一元二次方程练习题
(
配方法
)
1
．用适当的数填空：
①、
x
2
+6x+
=
（
x+
）
2
；
②、
x
2
－<
/p>
5x+
=
（
x
－
）
2
；
③、
x
2
+
x+
=
（
x+
）
2
；
④、
x
2
－<
/p>
9x+
=
（
x
－
）
2
2
．将二次三项式
2x
2
-3x-5
进行配方，其结果为
_________
．
3
．已知
4x
-ax+1
可变为（
2x-b
）
的形式，则
ab=__
_____
．
2
4
．
将一元二次方程
x
2
-2x-4=0
用配方法化成
< br>（
x+a
）
=b
的形式为
______
，
•<
/p>
所以方程的根为
_______
．
2
2
5
．若
x
2
+6x+m
2
是一个完全平方式，则
m
的值是（
）
A
．
3
B
．
-3
C
．±
3
D
．以上都不对
6
< br>．用配方法将二次三项式
a
2
-
4a+5
变形，结果是（
）
A
．
（
a-2
）
2
+1 B
．
（
a+2
）
2
-1 C
．
（
a+2
）
2
+1 D
．
（<
/p>
a-2
）
2
-1
7
．把方程
x+3=4x
配方，得（
）
A
．
（
x-
2
）
2
=7 B
< br>．
（
x+2
）
< br>2
=21 C
．
（
x-2
）
2
=1
D
．
（
x+2
）
2
=2
8
．用配方法解方程
x
2
+4x=10<
/p>
的根为（
）
A
．
2
±
10
B
．
-2
±
14
C<
/p>
．
-2+
10
D
．
2-
10
9
．不论
x
、
y
为什么实数，代数式
x
2
+y
2
+2x-4y+7
的值（
）
A
．总不小于
2
B
．总不小于
7
C
．可为任何实数
D
．可能为负数
10
．用配方法解下列方程：
（
1
）
3x
2
-5x=2
．
<
/p>
（
2
）
x
2
+8x=9
（
< br>3
）
x
2
+12x-15=0
（
4
）
7
、
4
x
2
8
x
1
0
8
、
x
2
<
/p>
2
mx
n
2
0
9
、
x
2
<
/p>
2
mx
m
2
0
m
0
11.
用配方法求解下列问题
（
1
）求
2x
2
-7x+2
的最小值
；
（
2
）求
-3x
2
+5x+1
的最大值。
文案大全
1
2
x
-x-4=0
4
实用标准文档
一．填空题：
1
．关于
x
的方程
mx
2
-3x= x
2
-mx+
2
是一元二次方程
,
则
m___________
．
2
．方程
4x(x-1)=2(x+2)+8
化成一般形式是
______________,
二次
项系数是
____,
一次项系数是
__
___,
常数项是
____.
3
．方程
x
2
=1<
/p>
的解为
______________.
4
．方程
3 x
2
=27
的解为
_________
_____
；
x
2
+6x+____=(x+____)
2
；
a
2
±
____+<
/p>
5
．关于
x
的一
元二次方程
(m+3) x
2
+4x+
m
2
-
9=0
有一个解为
0 ,
则
m=______.
二．选择题：
6
．在下列各式中
①
x
+3=x;
②
2 x
- 3x=2x(x- 1)
–
1
③
3 x
- 4x
–
5
④
x
=-
是一元二次方程的共有
( )
A 0
个
B
1
个
C
2
个
D
3
个
8
．一元二次方程的一般形式是
(
)
A x
2
+bx+c=0
B a x
2
+c=0
(a
≠
0 ) C a
x
2
+bx+c=0 D a
x
2
+bx+c=0
(a
≠
0)
9
．方程
3
x
+27=0
的解是
( )
A x=
±
3 B x=
-3 C
无实数根
D
以上都不对
10
．方程
6
x
- 5=0
的一次项系数是
(
)
A 6 B 5 C -5 D 0
11
．将方程
x
- 4x- 1=0
的左边变成平方的形式是
( )
A (x- 2)
=1 B (x-
4)
=1 C (x- 2)
=5 D
(x- 1)
=4
三
.
。将下列方程化为一般形式
,
并分别指出它们的二次
项系数、一次项系数和常数项
t(t + 3) =28
2
x
+3=7x
x(3x + 2)=6(3x + 2)
(3
–
t)
+ t
=9
2
< br>2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
=(a
±
___
_ )
2
4
1
+2
x
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
五
. <
/p>
用配方法或公式法解下列方程
.
：
(10)
x
－
6x+9 =0
（
1
）
x
+
2x + 3=0
（
2
）
x
+
6x
－
5=0 (3)
x
－
4x+ 3=0
(4)
x
－
2x
－
1
=0 (5) 2x
+3x+1=0
(6) 3x
+2x
－
1 =0
文案大全
2
2
2
2
2
2<
/p>
2
实用标准文档
(7)
5x
2
－
3x+2 =0
(8) 7x
2
－
4x
－
3 =0 (9)
-x
2
-x+12 =0
韦达定理：对于一元二次方程
ax
bx
c
0(
a
0)
，如果方程有两个实数根
x
1
,
x
< br>2
，那么
2
< br>b
c
x
1
x
2
,
x
1
x
2
a
a
说明：
（
1
）定理成立的条件
0
（
2
）注
意公式重
x
1
x
2
根
系关系的三大用处
（
1
）计算对称式的值
例
<
/p>
若
x
1
,
x
2
是方程
x
2
x
2007
0
的两个根，
试求下列各式的值：
文案大全
2
b
的负号与
b<
/p>
的符号的区别
a
实用标准文档
2
2
(1)
x
1
x
2
；
(2) <
/p>
1
1
；
(3)
(
x
1
5)(
x
2
5)
；
x
1
x
2
(4)
|
x
1
x
2
|
．
< br>解：
由题意，根据根与系数的关系得：
x
1
x
2
2,
x
1
x
2
2007
2
2
2
2
(1)
x
1
x
2
(
x
1
x
2
)
2
x
1
x
2
(
< br>
2)
2(
< br>
2007)
4018
(2)
x
x
2
1
1
2
2
1
< br>
x
1
x
2
x
1
x
2
2007
2007
< br>(3)
(
x
1
5)(
x
2
5)
x
< br>1
x
2
5(
x
1
x
2
)
25
2007
5(
2)
25
1
972
(4)
|
< br>x
1
x
2
|
(
x
1
x
2
)
2
(
x
1
x
2
)
2
< br>4
x
1
x
2
(
2
)
2
4(
2007)
2
2008
x
x
2
1
1
2
2
1<
/p>
，
(
x
1
x
2
)
(
x
1
x
2
)
4
x
1
x
2
，
x<
/p>
1
x
2
x
1
x
2
说明：
利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
x
1
2
< br>x
2
2
(
x
1
x
2
)
2
2
x
1
x
2
，
|
x
1
x
2
< br>|
(
x
1
x
2
)
2
4
x
1
x
2
，
x
1
x
2
2
x
1
< br>2
x
2
x
1
x
2
(
x
1
x
2
)
，
x
1
3
x
2
3
< br>(
x
1
x
2
)
3
3
x
1
x
2
(
x
1
x
2
)
等等．韦达定理体现了整体思想．
【课堂练习】
2
2
2
1
．设
x
1
，
x
2
是方程
2x
－
6x
＋
3
＝
0
的两根，则
x
1
＋
x
2
的值为
_________
2
2
．已知<
/p>
x
1
，
x
2
是方程
2x
－
7x
＋
4
＝
0
的两根，则
x
1<
/p>
＋
x
2
＝
，
x
1
·
x
2
＝
，
2
（
x
1
－<
/p>
x
2
）
＝
1
2
3
．已知方程
2x
－
< br>3x+k=0
的两根之差为
2
，则
k=
2
4
．若方程
x
+(a<
/p>
－
2)x
－
3=
0
的两根是
1
和－
3
，则
a=
2<
/p>
2
5
．若关于
x
的方程
x
+2(m
－
1)x+4m
=0
有两个实数根
，且这两个根互为倒数，那么
m
的值为
;
2
6
．
设
x
1
,x<
/p>
2
是方程
2x
－
6x+3=0
的两个根，求下列各式的值：
1
1
2
2
(1)x
1
x
2
+x
1
x
2
(2)
－
x
1<
/p>
x
2
7
．已知<
/p>
x
1
和
x
2
是方程
2x
2
－
3x
－
1=0<
/p>
的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
2
2
1
1
2
x
1
x
2
2
（
2
）构造新方程
理论：以两个数
例
解方程组
x+y=5
文案大全
为根的一元二次方程是
。
实用标准文档
xy=6
解：
显然，
x
，
y
是方程
z
-5z+6
＝
0
①
的两根
由方程①解得
z
1
< br>=2,z
2
=3
∴原方程组的解为
x
1
=2,y
1
=3
x<
/p>
2
=3,y
2
=
2
显然，此法比代入法要简单得多。
（
3
）定性判断字母系数的取值范围
2
例
一个三
角形的两边长是方程
的两根，第三边长为
2
，求
k
的取值范围。
解：设此三角形的三边长分别为
a
、
b
、
c
，且
a
、
b
为
由题意知
△＝
k
-4
×
2
×
< br>2
≥
0
，
k
≥
4
或
k
≤
-4
2
的两根，则
c=2
∴
【典型例题】
为所求。
例
1
已知关于
x
的方程
x
(
k
1)
x
2
1
2<
/p>
k
1
0
，根据下列条件，分别求出
k
的值．
4
(1)
方程两实根的积为
5
；
(2)
方程的两实根
x
1
,
x
2
满足
|
x
1
|
x
2
．
分析：
(1)
由韦达定理即可求之；
(2)
有两种
可能，一是
x
1
x
2
0
，二是
x
1
x
2
，所以要分类讨论．
解：
(1)
∵方程两实根的积为
5
文案大全
实用标准文档
1
2
2
[
(<
/p>
k
1)]
<
/p>
4(
k
1)<
/p>
0
3
4
k
,
k
4
∴
2
x
x
1
k
2
1
5
1
< br>2
4
所以，当
k
4
时，方程两实根的积为
5
．
(2)
由
|
x
1
|
x<
/p>
2
得知：
①当
x<
/p>
1
0
时，
x
1
x
2
，所以方程有两相等实数根，故
0
k
3
；
2
②当
x
1
0
时，
x
1
x
2
x
1
< br>x
2
0
k
1
0
k
1
，由于
0<
/p>
k
3
，故
k
1
不合题意，舍去．
2
综上可得，
k
3
时，方程的两实根
x
1
,
x
2
满足
|
x
1
|
x
2
．
2
说明：
根据一元二次方程两实
根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求
的字母应满足
0
．
例
2
已知
x
1
,
x
2
是一元二次方程
4
k
x
4
kx
k
1
0
的两个实数根．
(1)
是否存在实数
k
，使
(2
x
1
x
2
< br>)(
x
1
2
x
2
)
2
3
成立
？若存在，求出
k
的值；若不存在，请您说
2
明理由．
(2)
求使
x
1
x
2
2
的值为整数的实数
k
的整数值．
x
2
x
1
解：
(1)
假设存在实数
k
，使
(2
x
1
x
2
)(
x
1<
/p>
2
x
2
)
2
3
成立．
2
∵
一元二次方程
4
kx
< br>
4
kx
k
1
0
的两个实数根
< br>
4
k
0
k
0
，
∴
2
(
4
k
)
4
4
< br>k
(
k
1)
16
k
0
又
x
1
,
x
2
是一元二次方程
4
< br>kx
4
kx
< br>
k
1
0
的两个实数根
2
x
1
x
2
1
∴
k
1
< br>x
1
x
2
4
k
2
2
2
∴
(2
x<
/p>
1
x
2
)(
x
1
2
x
2
)
2(
x
1
x
2
)
5
x
1
x
2
2(
x
1
x
2
)
9
x
1
x
2
k
9
3
9
k
，但
k
0
．
4
k
2
5
3
∴不存在实数
k
，使
< br>(2
x
1
x
2
)(
x
1
2
x
2
)
成立．
2
文案大全