六年级数学割补法求圆与扇形的面积(含答案)
-
圆与扇形———割补法
课前预习
彩虹的传说
一个圆的故事（又名：彩
虹的传说）从前，有一个非常完美的圆，没有任何缺口和毛刺，甚至连一点
点划痕在它身
上都找不到。圆长得非常可爱，胖鼓隆冬的，从小就特别招人喜欢，时间久了，就自然觉得
自己是世界上最完美的。
圆有很多好朋友：三角（快速灵活
）
、方块（稳重平和）
、平行四边形（勇敢自信）
、五角星（理性谦
卑）
、六边形（经验丰富）
、心形（牺牲成全）
。它们每天在一起玩儿得很开心。有一天，圆遇上
了月亮姐
姐，它对月亮姐姐说：“姐姐、姐姐，你挂在天空上可真漂亮啊！不过，为什么
一定要有时圆有时缺呢？
嘿嘿！如果我能像你一样挂在天空上，也放出光芒那该多好啊！
”月亮姐姐淡淡地笑了，对圆说：“我告
诉你一个地方，到了那里你就找到了智慧。”圆
迟疑地问道：“智慧是什么？我为什么要找它？”
月亮姐姐说
：“因为只有找到了智慧才能够回答你提出的这些问题，帮你实现愿望啊！”
圆似懂非懂地点了点头，把这个消息告诉了它的好朋友们。突然，三角大声地号召：“不如我们一
起去月
亮姐姐说的那个地方吧，人多力量大，我们这么多人一定能找到那个叫智慧的东西
。”于是大家都纷纷响
应，
收拾起行囊浩浩荡荡地上路了。
它们经历了千辛万苦，
淌过了虚荣河，
越过
了贪婪海，
走过了嗔恨桥，
翻过了愚痴山。
有一天，
终于来到了智慧门前。
这是一扇看起来很普通的门
，
长方形的门框没有任何修饰。
不同的是，这道门很矮小，也很
窄。几个小伙伴只能调整好最佳的位置，否则很难钻进去。
圆
有些失望地对大家说：“我们经历了这么多坎坷，就是为了进这么一个门啊！”三角、方块、平行四边
形、五角星、六边形、心形纷纷点头，觉得不可思议。
< br>三角总是最有主意，行动最快的一个。它放下所有行李跟大家说：“无论如何，我们费了这么大劲儿
才找到这扇门，我的身体最小，我先进去。”话音刚落，它哧溜一下，钻进了门里。方块的为人
正像它的
体形，正直稳重。它沉着冷静地紧跟其后，也顺利进入门内。平行四边形的棱角
比较尖锐，它自信地说了
一句：“不成功就成仁！”，稍微一侧身，勇敢地冲进门里。五
角形的体形比较大，只见它用小于自己身
体比重的双脚，蹒跚地走到门前。它的两只手和
头部都卡在了门外。圆、六边形和心形都为它捏了把汗。
这时，只见五角星谦卑地把头低
下，双手合十，顺利地进入门内。该轮到六边形了，六边形是几个小伙伴
当中年龄最大的
一个，它的身体也特别丰硕。不过六边形懂得吸取前几个伙伴的经验，来到门前又弯腰又
鞠躬，费力调整了好几个姿势，终于缓缓地进入门内。
两颗心
形手拉着手走到了智慧门前，它们心里知道智慧门只能一次通过一个人。两颗深深相爱的心形
早有心理准备，它们默契地相视一笑，各自削去了自己的一半身体，与另一半连在一起，立刻重新组合了
一颗心。这下它们可以在一起，永远不分开了。这回该轮到最胖最丰满的圆了。只见它不慌不
忙盘腿坐了
五年级奥数
.
几何
.
割补法
.
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下来，片刻之后，它突然想到了
月亮姐姐，于是快速将自己对折再对折，变成了一弯新月的形状，侧身进
入了智慧大门。
看到好朋友圆形顺利通过了大门，大家开始欢呼雀跃起来。突然，它们发现自己的身体变
得通透无碍，同时发出了极亮的光芒。三角是红色、方块是橙色、平行四边形是黄色、五角星是绿色、六
边形是青色、心形是蓝色、圆形是紫色。它们紧紧地抱在一起，照亮了整个天空。
有人说：彩虹本来是一个圆环，一半在天堂，一半在人间。当你在人间看到彩
虹时，它的另外一半一
定在天堂朝你微笑着。
知识框架
圆的知识：
1.
当一条线段绕着它的一个端点<
/p>
O
在平面上旋转一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫做
圆
，
点
O
叫做这个圆的
圆心
.
2.
连结一个圆的圆心和圆周上任一
点的线段叫做圆的
半径
.
3.
连结圆上任意两点的线段叫做圆
的
弦
.
过圆心的弦叫做圆的
直径
.
4.
圆的周长与直径的比叫做
圆周率
.
圆周上任意两点间的部分叫做
弧
.
5.
圆周长
=
直径
×π.
=
半径
×2π
圆面积
=π×
半径
2
.
扇形的知识：
1.
扇形
是
圆的一部分，
它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形
.
顶点在圆心的角叫做
圆心角
.
2.
我们经常说的
< br>1
1
1
圆、
圆、
圆等等其实都是扇形，
而这个几分之几表示的其实是这
个扇形的圆
2
4
6
心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是
n
．
360
n
r
n
r
n
r
2
3.
扇形中的弧长
=
.
扇形的周长
=
+2r.
扇形的面积
=
=
180
180
360
.
弓形的知识：
1.
弦与它所对的弧所组成的图形叫
做弓形
.
【
一般来说，弓形面积
扇形面积
-
三角形
面积．
(
除了半
圆
)
】
2.
常用的思想方法：
①转化思想
(
复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的
)
②等积变形
(
割补、平移、旋转等
)
③借来还去
(
加减法
)
④外围入手
(
从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的
”
关系
”)
3.
割补法：
将不规则的组合图形经过分割（用连线分割）
、切拼、拼合后，转化成一个规则的几何
五年级奥数
.
几何
.
割补法
.
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图形，从而交易求得面积的方法，就是割补法求面积
.
重难点
重
点：
掌握什么是割补法求面积
.
能运用
割补法求组合图形的面积
.
难点：
在
图形中，准确巧妙的对图形进行分割，正确选择数据计算图形面积
.
例题精讲
【例
1
】求下列各图中阴影部分的面积
(
图中长度单位为
cm
，圆周率按
3
计算
)
：
_
1
2
（
1
）
_
1
_
1
（
2
）
3
（
3
）
（
4
）
【考点】圆与扇形
【难度】
☆
☆
【题型】解答
【解析】
（
1
）阴影部分为一个正方形的面积
=1
平方厘米
（
2
）阴影部分为二分之一个正方形的面积
=2
平方厘米
（
3
）阴影部分为一
个等腰直角三角形的面积
=4.5
平方厘米
（
4
）阴影部分合为一个长方方
形的面积
=
平方厘米
【答案】
（
1
）
1
平方厘米
（
2
）
2
平方厘米
（
3
）
4.5
平方厘米
< br>
（
4
）平方厘米
【巩固】求下列各图中阴影部分的面积
(
图中长度单位为
cm
，圆周率按
3
计算
)
：
< br>
五年级奥数
.
几何
.
割补法
.
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<
/p>
4
（
1
）
（
2
）
2
2
2
【考点】圆与扇形
【难度】
☆
☆
【题型】解答
【解析】
（
1
）阴影部分为一个等腰直角三角形的面积
=25
平方厘米
（
2
）阴影部分为一个正方形的面积
=16
平方厘米<
/p>
【答案】
（
1
）
25
平方
厘米
（
2
）
16
平方厘米
【例
2
】如
图，在
18×
8
的方格纸上，画有
1
，
9
，
9
，
8
四个数字．那么
，图中的阴影面积占整个方格纸面
积的几分之几
?
【考点】圆与扇形
【难度】
☆
☆
☆
【题型】解答
【解析】
我们数出阴影部分中完整的小正方形有
8+15+15+16=54
个，
其中
分有
6+6+
8=20
个，
而
1
个
和
1
个
部分有
6+6+8=20
个，
部
正好组成一个完
整的小正方形，
所以阴影部分共包含
54+20=74
个完整小正方形，而整个方格纸包含
8×
18=
144
个完整小正方形．
所以图中阴
影面积占整个方格纸面积的
74
37
，
即
．
144
72
【答案】
37
.
72
【巩固】在
4×
7
的方格纸板上面有如
阴影所示的
”6”
字，阴影边缘是线段或圆弧．问阴影面积占纸
板面积
的几分之几？
五年级奥数
.
几何
.
割补法
.
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【考点】圆与扇形
【难度】
☆
☆
☆
【题型】解答
【解析】一共有
28
个小方格，阴影合为：
6+3=9
个小格
.
所以阴影面积占值班面积的
19
.
28
【答案】
19
.
28
【例
3
】下图中每一个小正方形的面积是
1
平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？
【考点】圆与扇形
【难度】
☆
☆
【题型】解答
【解析】
割补法，如图所示，格线部分的面积是
36
平方厘米
.
【答案】
36
平方厘
米
【巩固】下图中每一个小正方形的
面积是
1
平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？
【考点】圆与扇形
【难度】
☆
☆
【题型】解答
【解析】割补法，如图所示，格线部分的面积是
36
平方厘
米
.
五
年级奥数
.
几何
.
割补法
.
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【答案
】
36
平方厘米
【例
4
】求如图中阴影部分的面积．
(
圆周率取
3.14)
4
4
【考点】圆与扇形
【难度】
☆
☆
【题型】解答
【解析】如图所示
将左下角的叶子阴影部分割开，两部分分别顺逆时针
90
度，则阴影部分转化为四分之一圆的面积减去一
个等腰直角三角形，阴影部分的面积<
/p>
=
【答案】
4.56.
【巩固】求下图中阴影部分的面积
(
圆周率
按
3
计算
)
：
1
2
1
r
-
4
4
=4.56 <
/p>
4
2
4
【考点】
圆与扇形
【难度】
☆
☆
【题型】解答
每两个部分的面积等于
半圆面积减去一个等腰直角三角形的面积
阴影部分面积
=
圆面积
-
三角形面
积
=
(<
/p>
)
4
2
2
1
4
4
=4
2
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五年级奥数
.
几何
.
割补法
.
教师版
【答案】
4
【例
5
】已知图中大正方形边长是
6
厘米
,
中间小正方形边长是
4
厘米
.
求阴影部分的面
积
.
【考点】圆与扇形
【难度】
☆
☆
☆
【题型】解答
【解析】
将阴影部分旋转后
,
可以看出所求阴影部分面积为大正方形面积的一半减去小正形的一半<
/p>
,
即阴影部分面积等于
6
2
2
< br>4
2
2
10
(
平方厘米
< br>).
【答案】
10
平方厘米<
/p>
2
【巩固】如图，长方形
ABCD
的长是
8cm
，则
阴影部分的面积是
cm
．
(<
/p>
π
3.14
)
【考点】圆与扇形
【难度】
☆
☆
☆
【题型】解答
【解析】
阴影部分的面积实际上是上图阴影部分的一半，
长方形的长等于两个圆的直径，款等于一个圆的直径
.
所以上图阴影部分的面积
=8=6.88
平方
厘米
原题中阴影部分的面积
=6.8
8
平方厘米
【答案】平方厘米
【例
6
】求右图中阴影部分的面积．
(
< br>π
取
3)
五年级奥数
.
几何
.
割补法
.
教师版
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45
45
20cm
【考点】圆与扇形
【难度】
☆
☆
☆
【题型】解答
【解析】我们只用将两
个半径为
10
厘米的四分之一圆减去空白的
①
、
②
部分面积和即可，其中
①
、
②
面
积相等．
易知
①
、
②
部分均是等腰直角三角形，
但是
①
部分的直角边
AB
的长度未知．
< br>单独求
①
部分面积不易，
于是我
们将
①
、
②
部
分平移至一起，如下图所示，则
①
、
②
部分变为一个以
AC
为直角边的等腰直
角三角
形，而
AC
为四分之一圆的半径
，所以有
AC=10
．
两个四分之一圆的面积和为
2
10
50
3.14
< br>=157
，
而
①
、
②
部分的面积和为
1
4
2
1
×
10×
10=50
，<
/p>
2
所以阴影部分的面积为
157-50=107(
平方厘米
)
．
【答案】
107(
平方厘米
)
【巩
固】如图所示，三角形
ABC
为等腰直角三角形，∠
ACB
为直角，
D
是
AB
的中点，
AB=10
< br>厘米，圆
弧
DE
、
DF
是分别以
A
、
B
为圆心所作的四分之一圆，求图中阴影部分的面积
.
【考点】圆与扇形
【难度】
☆
☆
☆
【题型】解答
【解析】两个空白的等腰直角三角形合为一个
1
个腰长为<
/p>
5
厘米的等腰直角三角形
阴影部分的面积
=1
个半径为
5
厘米的半圆面积－
1
个腰长为
5
厘米的等腰直角三角形的面积
阴影部分的面积
=
（
1
2.5π
-12.5
）
=26.75<
/p>
（平方厘米）
【答案】
26.75
平方厘米
【例
7
】求图中阴影部分的面积
.
（圆周率按
3
计算）<
/p>
五年级奥
数
.
几何
.
割补法
.
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