九年级中考数学总复习：二次函数知识总结 讲义
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2020
年中考数学人教版总复习：二次函数
知识总结
一、二次函数的概念
一般地，形如
y
=
ax
2
+
bx
+
c
（
a
，<
/p>
b
，
c
是常数，
a
≠
0
）的函
数，叫做二次函数．
二、二次函数解析式的三种形式
（<
/p>
1
）一般式：
y
=
ax
2
+
b
x
+
c
（
a<
/p>
，
b
，
c
为常数，
a
≠
0
）．
（
2
）顶点式：
y
=
a<
/p>
（
x
–
h
）
2
+
k
（
a
，
h
，
k
为常数，
a
≠
0
），顶点坐标是（
h<
/p>
，
k
）．
（
3
）交点式：
y
=
a
（
x
–
x
1
）
（
x
–
x
2
），其中
x
1
，
x
2
是二次函数与
x
轴的交点的横坐标，
a
< br>≠
0
．
三、二次函数的图象及性质
1
．二次函数的图象与性质
解析式
二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
（
a
，
b
，<
/p>
c
是常数，
a
≠
0
）
对称轴
x
=
–
b
2
a
顶点
<
/p>
b
4
ac
b
2
（
–
，
）
2
a
4
a
a
< br>>0
a
<0
a
的符号
图象
开口方向
开口向上
开口向下
当
x
=
–
最值
b
时，
2<
/p>
a
当
x
=
–
b
时，
2
a
4
ac
b
2
y
最小值
=
4
a
4
ac
< br>b
2
y
最大值
< br>=
4
a
1
最点
抛物线有最低点
抛物线有最高点
当
< br>x
<
–
增减性
< br>
b
时，
y
随
x
的增大而减小；
2
a
b
时，
y
随
x
的增大而增大
2
a
当
x
<
–
b
y
随
x
的增大而增大；
时，
2
a
b
时，
y
随
x
的增大而减小
2
a
当
x
>
–
当
x
>
–
2.
二次函数图象的特征与
a
，
b
，
c
的关系
字母的符号
a
>0
a
a
<0
b
=0
b
ab
>0
（
a
与
b
同号）
ab
<0
（
a
与
b
异号）
c
=0
c
c
>0
c
<0
b
2
–
4
ac
=0
b
2
–
4
ac
b
2
–
4
ac
>0
b
2
–
4
ac
<0
四、抛物线的平移
1
．将抛物线解析式化成顶点式
y
=
a
（
x
–
h
）
2
+<
/p>
k
，顶点坐标为（
h
，
k
）．
2
．
保持<
/p>
y
=
ax
2
的形状不变，将其顶点平移到（
h
，
k
）处，具体平移方法如下：
开口向下
对称轴为
y
轴
对称轴在
y
轴左侧
对称轴在
y
轴右侧
经过原点
与
y
轴正半轴相交
与
y
轴负半轴相交
与
x
轴有唯一交点（顶点）
与
x
轴有两个交点
<
/p>
与
x
轴没有交点
图象的特征
开口向上
2
3
．
注意
<
/p>
二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的
加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之
间的平移求出变化后的解析式．
五、二次函数与一元二次方程的关系
1
．二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
（
a
≠
0
），当
y
=0
时，就变成了一元二次方程
ax
2
+
bx
+
c<
/p>
=0
（
a
≠
0
）．
2
．
ax
2
+
bx
+
c
=0
（
a
≠
0
）的解是抛物线
y
=
ax<
/p>
2
+
bx
+
c
（
a
≠
0
）的图象与
x
轴交点
的横坐标．
3
．（
1
）
b
2
–
4
ac
>0
⇔
方程有两个不相等的实数根，抛物线与
< br>x
轴有两个交点；
（
2
）
b
2
–
4
ac
=0
⇔
方程有两个相等的实数根，抛物线与
x
轴有且只有一个交点；
（
3
）
b
2
–
4
ac
<0
⇔
方程没有实数根，抛物线与
x
轴没有交
点．
六、二次函数的综合
1
、函数存在性问题
解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达
< br>式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等
；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题
意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．
2
、函数动点问题
< br>（
1
）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问
题；二是与动点、存在点、相似
等有关的二次函数综合题．
3
（<
/p>
2
）
解答动点函数图象问题，
要把问题拆分，
分清动点在不同位置运动或不同时间段运
< br>动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做
到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．
（<
/p>
3
）
解决二次函数动点问题，
首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，
运动速度是
< br>多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最
后结合题干中与动点有关的条件进行计算．
考点一二次函数的有关概念
1
．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是
2
；
③二次项系数不等于零．
2
．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，
它们之间可以互相转化．
典型例题
典例
1
）
如果
y
=
（
m
–
2
）
x
m
2
m
是关于
x
的二次函数，则
m
=
A
．
–
1
【答案】
A
B
．
2
C<
/p>
．
–
1
或
2
D
．
m
不存在
【解析】依题意
m
2
m
²
，解得
m
=
–
1
，故选
A.
m
2
0
【名师点睛】此题主要考察二次函数的定义，需要注意
a
0
.
典例
2
下列函数是二次函数的是
A
．
y
=2
x
+2
【答案】
C
【解析】直接根据二次函数的定义判定即可．
A
、
y
=2
< br>x
+2
，是一次函数，故此选项错误；
< br>
B
、
y
=
﹣
2
x
，
是正比例函数，故此选项错误；
4
B
．
y
=
﹣
2
x
C
．
y
=
x
2
+2
D
．
y
=
x
﹣
2
C
、
< br>y
=
x
2
+2
是二次函数，故此选项正确；
D
、
y
=
x<
/p>
﹣
2
，是一次函数，故此选项错误．
故选
C
．
<
/p>
考点
2
二次函数的图象
< br>
二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，
叫做
抛物线，
该直线叫做抛物线的对称轴，
对称轴与抛物线的交点叫
做抛物线的顶点
.
典型例题
典例
3
函数
y
=
ax
2<
/p>
+
bx
+
a
+
b
（
a
≠
0
）的图象可能是
A
．
B
．
C
．
D
．
【答案】
C
【解析】
A
，由图象可知，开口向下，则
a
<0
，又因为顶点在
y
轴左侧，则
b
<0
，则
a
+
b
<0
，<
/p>
而图象与
y
轴交点为（
< br>0
，
a
+
b
）在
y
轴正半轴，与
a
+
b
<0
矛盾，故此选项错误；
B
，
由图象可知，开口向下，则
a
<0
，又
因为顶点在
y
轴左侧，则
b
<0
，则
a
+
b
<0
，而图象与
y
轴交点为（
0
，
1
）在
y
轴正半轴，可知
a
+
b
=1
< br>与
a
+
b
<0
矛盾，故此选项错误；
C
，由图象可知，开口向上，则
a
>0
，顶点在
y
轴右侧，则
b
<0
，
a
+
b
=1
可能成立，故此选项
正确；
D
，
由图象可知，
开口向上，
则
a
>0
，
顶点在
< br>y
轴右侧，
则
b
<0
，
与
y
< br>轴交于正半轴，
则
a
+
b
>0
，
0
）
而图象与
x
轴的交点为
（
1
，
，
则
a
+
b
+
a
+
b
=0
，
显然
a
+
b
=0
与
a
+
b
>0
< br>矛盾，
故此选项错误．
故
选
C
．
典例
4
如果
二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
（
a
≠
0
）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是
5
A
．
a
>0
C
．
ac
<0
【答案】
C
B
．
b
<0
D
．
bc
<0
【解析】
∵抛物线开口向下，
∴
a
<0
，
∵抛物线的
对称轴在
y
轴的右侧，
∴
x
=
–
∵抛物线与
y
轴的交点在
x
轴上方
，∴
c
>0
，∴
ac
<0
，
bc
>0
．故选
C
．
< br>
考点
4
二次函数的性质
b
< br>>0
，
∴
b
>0
，
2
a
二次函数的解析式中，
a
决定抛物线的形状和开口方向，
h
、
k
仅决定抛物
线的位置．若两个
二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数<
/p>
a
必相等．
典型例题
典例
5
由二
次函数
y
=3
（
x
﹣
4
）
2
﹣
2
可知
A
．其图象的开口向下
C
．其顶点坐标为（
4
，<
/p>
2
）
【答案】
B
【解析】
Q
y
3(
< br>x
4)
2
，
2
B
．其图象的对称轴为直线
x
=4 <
/p>
D
．当
x
>3<
/p>
时，
y
随
x
的增大而增大
a
=3>0
，抛物线开口向上，故
A<
/p>
不正确；
对称轴为
x
4
，故
B
正确；
顶点坐标为（
4
，
–
2
），故
C
不正确；
当
x
4
时，
y
随
x
的增大而增大，故
D
不正确；
6