有理数知识点与练习题
-
第二章
有理数及其运算
第一讲
正数、负、
0
【引入】
< br>欧洲人的盲目
：
古代印度人创造了阿拉伯数字后
.
大约到了公元
7
世纪
的时候
.
这些
数字传到了阿拉伯地区<
/p>
.
来
.
这些数字
又从阿拉伯地区传到了欧洲
.
欧洲人只知道这些数
字是从阿拉伯地区传入的
.
所以便把这些数字叫做阿
拉伯数字
.
以后
.
这些数字又从欧洲
传到世界各国
.
刘徽的先见与德
•
< br>摩根的固执：
1
、
1831
年英国数学家德
•
摩根认为负数是“虚构”的，他还特意举了一个“特例”
来说明他的观点：
“
父亲
56
岁，
他儿子
29
岁，
问什么
时候父亲的岁数将是儿子的两倍？”
，
通过列方程解得
x=
―
2
，他认为这个
结果是荒唐的，他不懂得
x=
―
2
正是说明两年前父
亲的岁数将是儿子的两倍。
2
、你看过电视或听过广播中的天气预报吗？中国地形图上
的温度阅读。（可让学
生模拟预报
)
请
大家来当小小气象员，记录温度计所示的气温
25
º
C
，
10
º
C
，零下
10
º
C
，零下
30
º
C
。
为书写方便，将测量气温写成
25
，
10
，―
10
，―<
/p>
30
。
3
、
最早的负教定义
三国时期著名数学家刘徽在负数概念的建立上贡献最大
.
刘徽
第
一次给出了正负数的定义
,
他说
:
“今两算得失相反
,
要令正负以名之意思就是说
,
在计算
过程中遇到具有相反意义的量
,
要用正数和负数来区分它们。
【讲解】
1
．相反意义的量
：
在日常生活中，常会遇到这样一些量（事情）：
例
1
：汽车向东行驶
3
千米和向西行驶
2
千米。
< br>
例
2
：温度是零上
10
℃和零下
5
℃。
例
3
：收入
500
元和支出
237
元。
例
4
：水位升高
1.2
米和下降
0.7<
/p>
米。
例
5
：买进
100
辆自行车和买出
20
辆自行车。
试着让学
生考虑这些例子中出现的每一对量，有什么共同特点？（具有相反意义。
向东和向西、零
上和零下、收入和支出、升高和下降、买进和卖出
都具有相反意义）
2
．正数和负数：
①能用我们已经学的来很好的表示这些相反意义的量吗？例如，零上
5
℃用
5
来表
示，零
下
5
℃呢？也用
5
来表示，行吗？
说明：在天气预报图中，零下
5
℃是用―
5
℃来表示的
。一般地，对于具有相反意义
的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过
的数来表示；把与它意义相
反的量规定为负的，用过去学的数（零除外）前面放一个“－
”（读作“负”）号来表
示。
拿温度
为例，
通常规定零上为正，
于是零下为负，
零上
10
℃就用
10
℃表示，
零下
5
℃
则用―
5
℃来表示。
②怎样表示具有相反意义的量？能否从天气预报出现的
标记中，
得到一些启发呢？
在例
1
中，我们如果规定向东为正，那么向西为负。汽车向东行驶
3
千米记作
3
千
米，向西
2
千米应记作―
< br>2
千米。
在以上的讨论中，出现了哪些新数？
为了表示具有相反意义的量，上面我们引进了―
5
，―
2
，―
237
，―
0.7
等数。像这
样的一些新数，叫做负数
（
negative
number
）
。过去学过的那些数（零除外），如
10
，
3
，
500
，
1.2
等，叫做正数（
positive number<
/p>
）。正数前面有时也可放一个“
+
”（读
作“正”），如
5
可以写成
+5
。
注意：零既不是正数，也不是负数。
【跟踪练习】
1
、下列用正数和负数表示的相反意义的量，其中正确的是
(
)
．
A
、一
天凌晨的气温是－
4
℃，中午比凌晨上升了
4
℃，所以中午的气温是＋
4
℃<
/p>
B
、如果＋
8
.5m
表示比海平面高
8.5m
，那么
－
19.2m
表示比海平面低－
19.
2m
C
、如果收入增加
180
元记作＋
180
元，那么－
< br>100
元表示支出减少
100
元
D
、售一件服装盈利
20
元记作＋
20
元，那么－
30
元表示亏本
30
< br>元
3
2
2
、
下列各数：
3
，－
5
，
0
，
，
1
，－
0.3
，
6.75
中，正数的个数共
有
( )
．
4
3
A
、
1
个
<
/p>
B
、
2
个
C
、
3
个
D
、
4
个
3
、下列说法正确的是（
）
A
、零是正数不是负数
B
、零既不是正数也不是负数
C
、零既是正数也是负数
D
、不是正数的一定是负数，不是负数的一定是正数
【中考链接】
1
、（
2011
•
岳阳）负数的引入
是数学发展史上的一大飞跃，使数的家族得到了扩
张，为人们认识世界提供了更多的工具
．最早使用负数的国家是（
）
A
、中国
B
、印度
C
、英国
D
、法国
2
、（
2010
哈尔滨）某年哈尔滨市一月份的平均气温为－
18
℃，三月份的平均气温
为
2
℃，
则三月份的平均气温比一月份的平均气温高<
/p>
（
）
（
A
）
16<
/p>
℃
（
B<
/p>
）
20
℃
（
C
）一
16
℃
（
D
）一
20
℃
3.
一个有理数的平方一定是（
）
A
、负数
B
、正数
C
、非负数
D
、非正数
【总结】
1
、正数和负数表示的是一对相反意义的量，哪种意义为正是可以任意规定的。如
果把一种
意义规定为正，则相反意义的量规定为负。常将“前进、上升、收入、零上温
度”等规定
为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负
,
。<
/p>
2
、用正负表示具有相反意义的量
,
必须是同类量
,
如果有单位的
,
不要漏带单位
.
3
、正数在书写时
,
前面的“
+
”号可省略不写，负数前面的“—”号不能省略。
4
、对于非
0
的数字来说，前面只带有一个负号即为负数，但对于字母来说不一定。
第二讲
有理数的概念及其分类
【引入】
日本人的无知
：
有理数在希腊文中称为
λογο
< br>ς
，
原意是“成比例的数”。
英
文
取其意，以
ratio
为字根，在字
尾加上
-nal
构成形容词，全名为
r
ational
number
，直
译
成汉语即是“可比数”。
对应地，
无理数则为“不可比数”。<
/p>
但并非中文翻译不恰当。
有理数这一概念最早源自西方《几何原本
》，在中国明代，从西方传入中国，而从中国
传入日本时，出现了错误。
明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》前
6
卷时的底本是拉丁文。他们
将这个词（“λογο
ς
”）译为“理”，这个“理”指的是“比值”。日本在明治维
新以前，欧美数学典籍的译本多半采用中国文言文的译本。日本学者将中国文言文中的
“理”直接翻译成了理，而不是文言文所解释的“比值”。后来，日本学者直接用错误
的理解翻译出了“有理数”和“无理数”。当有理数从日本传回中国时又延续错误。清
< br>末中国派留学生到日本，将此名词传回中国，以至现在中日两国都用“有理数”和“无
理数”的说法
可见，由于当年日本学者对中国文言文的理
解不到位，才出现了今天的误译。
【讲解】
1
．数的扩充：
数
1
，
2
，
3
，
4
，…
叫做正整数；―1，―2，―3，―4，…叫做负整数；正整数、负
整数和零统称为整数
；数
2
，
1
，
8
4
，
+5.
6
，…叫做正分数；―
7
，―
6
，―3.5，…叫
3
4
5
9
7
做负
分数；正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。
2.
区分“正”与“整”；
小数
,<
/p>
百分数可化为分数
。
3
．有理数的分类
< br>①先将有理数按“整”和“分”的属性分，再按数的“正”、“负”分，即得如下
分类表：
正整数
< br>整数
0
负整数
有理数
分数
正分数
负分数
②先将有理数按“正”和“负”的属性分，
再按数的“整”、“分”分，即得如下
分类表：
有理数
正有理数
正整数
正分数<
/p>
0
负有理数
负
整数
负分数
注：①“0”也是自然数。②“0”的特殊性。
【跟踪练习】
1.
下列说法正确的是（
）
A
．一个有理数不是整数就是分数
B
．正整数和负整数统称整数
C
．正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数
D
．
0
不是有理数
2.
下列四种说法中正确的是：（
）
A.
不是正数的数一定是负数
B
．所有的整数都是正数
C
．－
a
一定是负数
D
．
0
既不是正数，也不是负数
3.
下列说法中不正确的是
(
)
A
．
-3.14
既是负数，分数，也是有理数
B
．
0
既不是正数，也不是负数，但是整数
C
．
-2000
既是负数，也是整数，但不是有理数
D
．
O
是非正数
<
/p>
1
4.
把下列各数填入相应的集合中：
3
,
4
,
(
1
.
9
),
3
< br>.
14
1
5
,
0
,
1998
,
123
< br>,
3
正数集合
{
…}；负数集合
{
…}；
整数集合
{
…}；分数集合
{
…}；
5.
把下列各数镇在相应的集合中：
1
－
7
，
3.5
，－
3.
1415926
，
，
0
，
5
，
10
，－
5
％，
0
.
1
6
2
自然数集合：
｛
…｝
非正整数集合：
｛
…｝
负分数集合：
｛
…｝
非负数集合；
｛
< br>
…｝
【中考链接】
1
、将下列各数分别填入相应的大括号里：
.
-3.5
，
3.14
，
-2
，
+43
，
0.6
，
0.618
，
22
< br>，
0
，
-0.202
7
正数：
个；整数：
个；负分数：
个；正整数：
个；非正整数：
个；
非负整数：
个；
【总结】
根据不同的分类标准对有理
数进行分类。
通过具体的数的分类练习培养正确分类能
力，在确
定分类标准时应防止出现“重”、“漏”的错误，即要求每一个数必须属于某
一类，又不
能同时属于不同的两类。
要
正确判断一个数属于哪一类，首先要弄清分类的标准。要特别注意“0”不是正
数，
但是整数。
在数学里，
“正”和“整”不能
通用，
是有区别的，
“正”是相对于“负”
来说的，“整”是相对于分数而言的。
第三讲
数轴
【引入】
笛卡尔的勤奋：
有一天
,
笛卡尔（
159
6
—
1650,
法国哲学家、数学家、
物理学家）生
病卧床
,
但他头脑一直没
有休息
,
在反复思考一个问题：几何图形是直观的
,
而代数方程
则比较抽象
,
能不能用几何图形来表示方程呢
?
这里
,
关键是如何把组成几何的图形的点
和
满足方程的每一组“数”挂上钩
.
他就拼命琢磨
.
通过什么样的办法、才能把“点”和
“数”联系起来
.
突然
,
他看
见屋顶角上的一只蜘蛛
,
拉着丝垂了下来
,
一会儿
,
蜘蛛又顺
着丝爬上去
,
在上边左右拉丝
.
蜘蛛的“表演”
,
使笛卡尔思路豁然
开朗
.
他想
,
可以把蜘
蛛看做一个点
,
它在屋子里可
以上、下、左、右运动
,
能不能把蜘蛛的每个位置用一组数
确定下来呢
?
他又想
,
屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线
,
如果把地面上的墙角作
为起点
,
把交出来的三条线作为三根数轴
,
那么空间中任意一点的位置
,
不是都可以用这
三根数轴上找到的有
顺序的三个数来表示吗
?
反过来
,
任意给一组三个有顺序的数
,
例如
3
、
2
、
1,
也可以用空间中的一个点
P
< br>来表示它们
.
同样
,
用一组数（
a,b
）表示平面上的
一个点
,
平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数
来表示
.
于是在蜘蛛的启示下
,
笛
卡尔创建了直角坐标系
.
【讲解】
1.
数轴的画法：
< br>第一步：画一条直线（通常是水平的直线），在这条直线上任取一点
O
，叫做原点，
用这点表示数
0
；（相当于温度计上的
0℃。）
第二步：规定这条直线的一个方向为正方向（一般取从左到右的方向，用箭头表示
出来）
。相反的方向就是负方向；（相当于温度计
0℃以上为正，0℃以下为负。）
第三步：适当地选取一条线段的长度作为单位长度，也就是在
0
的右面取一点表示
1
，
0
与
1
之间的
长就是单位长度。（相当于温度计上
1℃占
1
< br>小格的长度。）
在数轴上从原点向右，每隔一个单位长
度取一点，这些点依次表示
1
，
2
，
3
，…，
从原点
向左，每隔一个单位长度取一点，它们依次表示–
1
，–
2
，–
3
，…。
2.
数轴的定义：规定了
原点
、
正方向
和
单位长度
的直线叫做数轴。
原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，原点位置的选定、正方向的取向、单位
长度
大小的确定，都是根据需要人为规定的。
注：直线也不一定是水平的；正方向也不一定向右。
3.
用数轴比较有理数的大小：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的
点表示的数
大，所以在比较很多数的大小关系时，可以先把它们在数轴上表示出来，然后
比较。
正数都大于
0
；负数都小于
0
；正数大于一切负数。
【跟踪练习】
1
、王老师在阅卷时，发现有一位同学画的数轴如下图所示，
请你指出他的
错误原因是（
）
－
1
－
2
－
3
0
1
2
3
2
、数轴上的原点右边的点表示
，原点左边的点表示
，
原点表示
，离原点
3
个单位长度的点有
。
【中考链接】
1
、（
2010
•
安徽）冬
季某天我国三个城市的最高气温分别是
-10
℃，
1
℃，
-7
℃，
把它们从高到低排列正确的是（
）
A
．
-10
℃，
-7
< br>℃，
1
℃
; B
．
-7
℃，
-10
℃，
1
℃
C
．
1
℃，
-7
℃，
-10
℃
; D
．
1
℃，
-10
℃，
-7
℃
2
、（
2010
•
广西）比较大小
:-1_______-2
．
3
、（
2010
内蒙古）比较大小
:- _______-
．
4
、（
2010
•
南宁）比较
-3
与
2
的大小．
5
、（
2010
年金华）如图，若
A
是实数<
/p>
a
在数轴上对应的点，则关于
a
，－
a
，
1
的大
小关系表示正确的是（
）
A
．
a
＜
1
＜－
a
B
．
a
＜－
a
＜
1
C
．
1
＜－
a
＜
a
D
．－
a<
/p>
＜
a
＜
1
6
、
（莱芜）
如图，
数轴上
A
、
B
两点分别对应实数
a
、
b
，
则下列结论正确的是
（
）
A. Ab>0
【总结】
示有理数；
2
、画数轴时，原点的位置以及单位长度的大小可根据实际情况适当选取，注意不
要漏画
正方向、不要漏画原点，单位长度一定要统一，数轴上数的排列顺序（尤其是负
数）要正
确。
3.
比较有理数大小法则是：在
数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。根
据法则先在同一个数轴上表示出同一
组数的位置，然后用“＜”号连接，这种方法比较
直观，但画图表示数较麻烦。另一种方
法是利用数轴上数的位置得出比较大小规律，即
正数都大于
0<
/p>
，负数都小于
0
，正数大于一切负数，则
比较更方便些。
B.a-b>0
C
．
a+b>0
D
．
a
b
>0
1
、所有的有理数都可以用
数轴上的点表示，但反过来并不是数轴上的所有点都表
第四讲
绝对值
【引入】
被迫不务正业的数学家：
德国数学家
魏尔斯特拉斯的父亲威廉·魏尔斯特拉斯是受
法国雇佣的海关职员，
威廉在家里十分严厉而且专断。
14
岁卡尔进附近帕德博恩
城的一
所天主教预科学校学习，在那里学习德语、拉丁语、希腊语和数学。中学毕业时成
绩优
秀，共获
7
项奖，其中包括数学，
但不容卡尔有半句分辩，他的父亲却把他送到波恩大
学去学习法律和商业，希望他将来在
普鲁士民政部当一名文官。魏尔斯特拉斯对商业和
法律都毫无兴趣。在波恩大学他把相当
一部分时间花在自学他所喜欢的数学上，攻读了
包括
拉普拉斯<
/p>
的《天体力学》在内的一些名著。他在波恩的另一部分时间则花在了击剑
< br>上。魏尔斯特拉斯体魄魁伟，击剑时出手准确，加上旋风般的速度，很快就成为波恩人
心目中的击剑明星。这样在波恩大学度过四年之后，魏尔斯特拉斯回到家里，没有得到
他父亲所希望的法律博士学位，连硕士学位也没有得到。这使他父亲勃然大怒，呵斥他
是一个“从躯壳到灵魂都患病的人”。这时多亏他家的一位朋友建议，魏尔斯特拉斯被
送
到明斯特去准备教师资格考试。
【讲解】
1
．几何定义：在数轴上表示数
a
的点与原点的距离叫做数
a
的
绝对值
。记作<
/p>
|
a
|
。
这里的
a
可以是正
数、负数和
0
。
例如，
在数轴上表示数―
6
与表示
数
6
的点与原点的距离都是
6
，
所以―
6
和
6
的绝
对值都是
6
，记作
|
―
6|=
|6|=6
。同样可知
|
―
4|=4
，
|+1.7|=1.7
。
代数定义：（<
/p>
1
）
一个正数的绝对值是它本身；
（
2
）
0<
/p>
的绝对值是
0
；
（
3
）
一个负数的绝对值是它的相反数。
即
：
a
(
a<
/p>
0
)
a
0
(
a
0
)
a
(
a
0
)
。
2
．绝对值的性质：
（
1
）任何一个数的绝对值都是非负数，（绝对值的非
负性）。
（
2
）互为相反数的两个数的绝对值相等，反之，若两个数的绝对值相等，那么这
两个数相
等或互为相反数
（
3
）若几个绝对值的和等于
0
< br>，则这几个绝对值都应为
0
【跟踪练习】
3
（
1
）绝对值是
的数有几个？各是什么？
4
(2)
绝对值是
0
的数有几个？各是什么？
(3)
有没有绝对值是
-2
的数？
（
4
）求绝对值小于
4
的所有整数。
（
5
）说说
a
a
的意义以及满足这个式子的数
a
的条件；
【中考链接】
1
．（
2014
年山东烟台）﹣
3
的绝对值等于（
）
1
A
．﹣
3
B
．
3
C
．
±
3
D
．
3
1
2
．（
2014
年
云南省，第
1
题
3
分）
|
﹣
|=
（
）
7
1
1
A
．﹣
B
．
C
．
﹣
7
D
．
7
7
7
<
/p>
3
．（
2014
•
舟山，第
1
题
3
分）﹣
3
的绝对值是（
）
1
1
A. -3
B. 3 C.
D.
3
3
4.
<
/p>
（
2014
•
株
洲，第
1
题，
3
分）下列各数中，绝对值最大的数是（
）
A. -3
B.-2 C. 0 D. 1
【总结】
1
．对绝对值概念的理解可以从其几何意义和代数意义两方面考虑，从几何方面看，
一个数
a
的绝对值就是数轴上表示数
a
的点与原点的距离，它具有非负性；从代数方面
看，一个正数的绝对值
是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，
0
的绝对值是
0
。
2
．求一个数的绝对值注意先判断这个数是正数还是负数。
第五讲
有理数的加法
【引入】
< br>《九章算术》的丰功伟绩：
《九章算术》其作者已不可考。一般认为它是经历代各
家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其<
/p>
时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元
四年（
263
年），刘徽为《九章》所作的
注本。在世界数学史上首次阐述了负数及其加
减运算法则。关于正、负数的加减运算法则
，“正负术曰：同名相益，异名相除，正无
入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益
，正无入正之，负无入负之”。这里所说
的“同名”、“异名”分别相当于所说的同号、
异号。“相益”、“相除”是指二数相
加、相减。
【讲解】
知识点一：有理数加法法则
1
、一位同学沿着一条东西向的跑道，先走了
20
米，又走了
30
米，能否确定他现
< br>在位于原来位置的哪个方向，相距多少米
?
规定向东为正，向西为负。