(完整版)初中几何题练习
-
初中几何练习题
一．
三角形
1.
三角形的有关概念
一、填空题：
1
、三角形的三边为
1
，
1
a
，
9
，则
a
的取值范围是
。
2
、已知三角形两边的长分别为
1
和
2
，如果第三边的长也是整数，那么第三边
的长
为
。
3
、在△
ABC
中，若∠
C
＝
2
（∠
A
＋∠
B
）
，则∠
C
＝
度。
4<
/p>
、如果△
ABC
的一个外角等于
150
0
，且∠
B
＝∠
C
，则∠
A<
/p>
＝
。
5
、如果△
ABC
中，∠
ACB
＝
90
0
< br>，
CD
是
AB
< br>边上的高，则与∠
A
相等的角
是
。
6
、如图，在△
ABC
中，∠
A
＝
80
< br>0
，∠
ABC
和∠
ACB
的外角平分线相交于点
D
，
那么∠
BDC
＝
。
7
、如图，
CE
平
分∠
ACB
，且
CE
< br>⊥
DB
，∠
DAB
＝∠
DBA
，
AC
＝
18cm
，△
CBD
的周长为
28 cm
，则
DB
＝
。
8
、纸片△
ABC
中，∠
A
＝
65
0
，∠
B
＝
75
0
，将纸片的一角折叠，使点
C<
/p>
落在△
ABC
内（如图）
，若∠
1
＝
20
0
，则∠
2
的度数为
。
9
、在△
ABC
中
，∠
A
＝
50
0
，高
BE
、
CF
交于点
O
，则∠
< br>BOC
＝
。
A
C
A
1
B
C
F
D
C
D
E
A
< br>B
B
2
E
第
6
题图
第
7
题图
第
8
题图
二、选择题：
1
、若△
ABC
的三边之长都是整
数，周长小于
10
，则这样的三角形共有（
）
A
、
6
个
B
、
7
个
C
、
8
个
D
、
9
个
2
、
在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
D
在
AC
上，
且
BD
＝
BC
＝
AD
，
则∠
A
的度数为<
/p>
（
）
A
、
30
0
B
、
36
0
C
、
45
0
D
、
72<
/p>
0
3
、等腰三
角形一腰上的中线分周长为
15
和
12
两部分，则此三角形底边之长为
（
）
A
、
7
B
、
11
C
、
7
或
11
D
、不能确定
4
、在△
ABC
中，∠
B
＝
50
0
，
AB
＞
AC
，则∠
A
的取值范围是（
）
A
、
0
0
＜∠
A
＜
180
0
B
、
0
0
＜∠
A
＜
80
0
C
、
50
0
＜∠
A
＜
130
0
D
、
80
0
＜∠
A
＜
130
0
1
5
、
如果三角形的一个外角等于它相邻内角的
2
倍，
且等于它不相邻内角的
4
< br>倍，
那么这个三角形一定是（
）
A
、锐角三角形
B
、直角三角形
C
、钝角三角形
D
、正三角形
三、解答题：
1
、有
5
根木条，其长度分别为
4<
/p>
，
8
，
8
，
10
，
12
，用其中三根可以组成几种不
同形状的三角形？
2
、长为
2
，
3
，
5
的线段
，分别延伸相同长度的线段后，能否组成三角形？若能，
它能构成直角三角形吗？为什么
？
3
、如图，在△
ABC
中，∠
A
＝
96
0
< br>，延长
BC
到
D
，∠
ABC
与∠
ACD
的平分线
相交于
A
1
，
∠
A
1
BC
与∠
A
1
CD
的平分线相交于
A
2
，
依此类推，
∠
A
4
BC
与∠
A
4
CD
的平分线相交于
A
5
，则∠
A
5
的大小是多少？
A
A
1
A
2
B
C
D
第
3
题图
4
、如图
，已知
OA
＝
a
，
P
是射线
ON
上一动点（即
P
可在射线
ON
上运动）
，
∠
AO
N
＝
60
0
，
填空：
（
1
）当
OP
＝
时，△
A
OP
为等边三角形；
（
2
）当
OP
＝
时，△
AOP
为直角三角形；
（
3
）当
OP
满足
时，△
A
OP
为锐角三角形；
（
4
）当
OP
满足
时，△
AOP
为钝角三角形。
A
a
60
0
O
P
N
第
4
题图
2
2
、等腰三角形
一、填空题：
1
、等腰三角形的两外角之比为
5
∶
2
，则该等腰三角形的底角为
。
2
、在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
BD
平分∠
ABC
交
AC
于
D
，
DE
< br>垂直平分
AB
，
E
为垂足，则∠
C
＝
。
3
、等腰三角形的两边长为
4
和
8
，则它腰上的高为
。
4
、在△
ABC
中
，
AB
＝
AC
，点
D
在
AB
边上，且
BD
＝
BC
< br>＝
AD
，则∠
A
的度数
为
。
5
、如图，
AB
＝
BC
＝
CD
，
AD
＝
AE
，
DE
＝
BE
，
则∠
C
的度数为
。
A
A
A
P
D
E
B
C
E
1
D
2
H
F
< br>3
C
4
G
B
C
B
D
第
5
题图
第
6
题图
第
7
题图
6
、如图，
D
为等边△
ABC
内一点，
DB
＝
DA
，
BP
＝
AB
，∠
DBP
＝∠
DBC
，则
∠
BPD
＝
。
7
、如图
，在△
ABC
中，
AD
平分∠
BAC
，
EG
⊥
AD
分别交
AB
、
AD
、
AC
及
BC
的延长线于点
E
、
H
、
F
、
G
，已知下列四个式子：
1
①∠
1
＝
（∠
2
＋∠
3
）
< br>
②∠
1<
/p>
＝
2
（∠
3
－∠
2
）
2
1
1
③∠
4
＝
（∠
3
－∠
2
）
④∠
4
＝<
/p>
∠
1
2
2
其中有两个式子是正确的，它们是
和
。
二、选择题：
1
、等腰三角形中一内角的度数为
50
0
，那么它的底角的度数为（
）
A
、
50
0
B
、
65
0
C
、
130
0
D
、
50
0
或
65
0
2
、如图，<
/p>
D
为等边△
ABC
的
AC
边上一点，且∠
ACE
＝∠
ABD
，
CE<
/p>
＝
BD
，则
△<
/p>
ADE
是（
）
A
、等腰三角形
B
、直角三角形
C
、不等边三角形
D
、等边三角形
A
E
F
Q
D
B
C
B
D<
/p>
C
P
S
E
A
第
2
题图
第
3
题图
0
0
3
、如图，在△
ABC
中，∠
ABC
＝
60
，∠
ACB
＝
45
，
AD
、
CF
都是高，相
交于
P
，
角平分线
BE
分别交
AD
、
CF
于
Q
、
< br>S
，
那么图中的等腰三角形的个数是
（
）
A
、
2
B
、
3
C
、
4
D
、
5
3
4
、如图，已知
< br>BO
平分∠
CBA
，
CO
平分∠
ACB
，且<
/p>
MN
∥
BC
，设
AB
＝
12
，
BC
＝
24
，
AC
＝
18
，
则△
AMN
的周长是（
）
A
、
30
B
、
33
C
、
36
D
、
39
D
A
N
B
O
M
C
E
C
A
B
第
4
题图
第
5
题图
5
、
如图，
在五边形
ABCDE
中，
∠
A
＝∠
B
＝
120
0
，
EA
＝
AB
＝
BC
＝
1
1
< br>DC
＝
DE
，
< br>2
2
则∠
D
＝（
）
A
、
30
0
B
、
45
0
C
、
60
0
D
、
67
.
5
0
三、解答题：
1
、如图，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
D
、
E
< br>、
F
分别为
AB
、
BC
、
CA
上的点，且
BD
＝
CE
，∠
DEF
＝∠
B<
/p>
。求证：△
DEF
是等腰三角形。
A
D
F
B
E
C
第
1
题图
2
、为美化环境，计划在某小区内用
30
平方米的草皮铺设一块边长为
10
米的等
腰三角形绿地。请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长
。
<
/p>
3
、如图，在锐角△
ABC
中，∠
ABC
＝
2
∠
C
，∠
ABC
的平分线与
AD
垂直，垂
足为
D
，求证：
AC
＝
2BD
。
A
E
D
B
< br>C
第
3
题图
4
、在等边△
ABC
的边
BC
上任取一点
D
，作∠
DAE
＝
60
0
，
AE
交∠
C
的外角平
分线于
E
，
那么△
ADE
是什么三角形？证明你的结论。
< br>
4
3
、全等三角形
一、填空题：
1
、若△
ABC
≌△
EFG
，且∠
B
＝
60
0
，∠
FGE
－∠<
/p>
E
＝
56
0
，则∠
A
＝
度。
2
、如
图，
AB
∥
EF
∥
DC
，∠
ABC
< br>＝
90
0
，
AB
＝
DC
，那么图中有全等三角
形
_________
对。
3
、
如图，
在△
ABC
中，
∠
C
＝
90
0
，
BC
＝
40
，
AD
是∠
BAC
的平分
线交
BC
于
D
，
且
DC
∶
D
B
＝
3
∶
5<
/p>
，则点
D
到
AB
的距离是
。
A
E
D
A
A
E
H
D
C
B
F
C
C
< br>D
B
B
第
4
题图
第
3
题图
第
2
题图
4
、如图，在△
ABC
中，
AD
⊥
BC
，
CE
⊥
AB
，垂足分别为
D
、
E
，
AD
、
CE
交于
点
H
，请你添加一个适当的条件：
，使△
AEH
≌△
CEB
。
5
、如图，把一张矩形纸片
ABCD
沿
B
D
对折，使
C
点落在
< br>E
处，
BE
与
< br>AD
相
交于点
O
，写出一组相等的线段
（不包
括
AB
＝
CD
和
AD
＝
BC
）
。
6
、如
图，∠
E
＝∠
F
＝
90
0
，∠
B
＝∠
C
，
AE
＝
AF
。给出下列结论：①∠
1
＝∠
2
；
②
BE
＝
CF
；
③△
ACN
≌△<
/p>
ABM
；
④
CD
＝
DN
。
其中
正确的结论是
_
（填序号）
。
E
D
A
F
M
G
E
E
A
O
D
C
M
D
E
A
C
< br>B
O
1
A
B
C
2
F
N
B
B
F
C
填空第
5
题图
填空第
6
题图
选择第
1
题图
选择第
2
题图
二、选择题：
1
、
如图，
AD
< br>⊥
AB
，
EA
< br>⊥
AC
，
AE
< br>＝
AD
，
AB
< br>＝
AC
，
则下列结论中正确的是
（
）
A
、△
ADF
≌△
A
EG
B
、△
AB
E
≌△
ACD
C
、△
BMF
≌△
CNG
D
、△
AD
C
≌△
ABE
2
、如图，
AE
＝
AF
，
AB
＝
AC
，
EC
与
BF
交于点
O
，∠
A
＝
60
0
，∠
B
＝
25
0
，则
∠
EOB
的度数为（<
/p>
）
A
、
60
0
B
、
70<
/p>
0
C
、
75
0
D
、
85
0
5
3.
三角形的两边和其中一边上
的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边
所对的角（
）
A
、相等
B
、不相等
C
、互余
D
、互补或相等
三、解答题：
1
、如图，∠
1
＝∠
2
，∠
3
＝∠
4
，
EC
＝
A
D
。求证：△
ABE
和△
BDC
是等腰三角
形。
<
/p>
D
4
E
3
1
A
B
2
C
解答题第
1
题图
2
、如图
，
AB
＝
AE
，∠
ABC
＝∠
AED
，
BC
＝
ED
，点
F
是
CD
的中点。
（
1
）
求证：
AF
⊥
CD
；
（
2
）
在你连结
BE
后，
还能得出什么新结论？请再写两个。
A
B
E
C
F
D
解答题第
2
题图
3
、
（
1
）已知，在
△
ABC
和△
DEF
< br>中，
AB
＝
DE
，
BC
＝
EF
，∠
BAC
＝∠
EDF
＝
100
0
，求证：
△
ABC
≌△
DEF
< br>；
（
2
）上问中，若将条件改为
AB
＝<
/p>
DE
，
，
BC<
/p>
＝
EF
，∠
BA
C
＝∠
EDF
＝
70
0
，结论
是否还成立，为什么？
6 <
/p>
4
、如图，已知∠
MON
的边
OM
上有两点
A
、
B
，边
ON
上有两点
C
、
D
，且
AB
＝
CD
，
P
为∠
MON<
/p>
的平分线上一点。问：
（
1
）△
ABP
与△
PCD
是否全等？请说明理由。
（
2
）△
ABP
与△
PCD
的面积是否相等？请说明理由。
B
A
P
O
C
D
N
M
解答题第
4
题图
5
、如图，已知
CE
⊥
AB
，
DF
⊥
AB
，点
< br>E
、
F
分别为垂足，且
AC
∥
BD
。
（
1
）
根据所给条件，
指出△
ACE
和△
BDF
具有什么关系？请你对结论予以证明。
（
2
）若△
ACE
和△
BDF
不全等
，请你补充一个条件，使得两个三角形全等，并
给予证明。
<
/p>
C
F
A
E
B
D
解答题
第
5
题图
二．四边形
一、填空：
1
、对角线
______________
平行四边形是矩形。
2
、
如图⑴
已知
O
是□
ABCD
< br>的对角线交点，
AC
＝
24
，
BD
＝
38
，
AD
＝
14
，
那么△
OBC
的
周长等于
______________
A
O
B
⑴
D
A
O
C
B
C
B
⑶
E
C
B
D
A
D
A
F
E
C
⑷
D
⑵
3
、在平
行四边形
ABCD
中，∠
C
＝∠
B+
∠
D,
则∠
A
＝
______
_
，∠
D
＝
_
______
4
、
一个平行四边形的
周长为
70cm
，
两边的差是
10cm
，
则平行四边形各边长为＿
__________cm
。
7
5
、已
知菱形的一条对角线长为
12cm
，面积为
30cm
2
，则这个菱形的另一条对角
线长为
__________cm
。
6
、菱形
ABCD
中，∠
A
＝
60
o
，对角线
BD
长为
7cm
，则此菱形周长
__________
cm
。
7
、
如果一个正方形的对角线长为
2
，那么它的面积
____________
。
8
、如图
2
矩形
ABCD
的两条对角线相交于
O,
∠
AOB
＝
60
o
,AB
＝
8,
则矩形对角线的
长
____________
9
、如图
3,
等腰梯形<
/p>
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
AB
∥
DE
，
BC
＝
8
，
AB
＝
6
，
AD
＝
5
则△
CDE
周长
_______
。
10
、正方形的对称轴有
________
条
11
、如图
4
，
BD
是□
ABCD
的对角线，点
E
、
F
在
BD
上，要使四边形
AECF
是平行
四边
形，还需增加的一个条件是
__________________
< br>12
、要从一张长为
40cm
，
宽为
20cm
的矩形纸片中，剪出长为
18cm
，宽为
12cm
的矩形纸片，
最多能剪出
___________
张。
二、选择题：
13
、在□
ABCD
中，∠
A<
/p>
：∠
B
：∠
C<
/p>
：∠
D
的值可以是（
）
A
、
1
：
2<
/p>
：
3
：
4
B
、
1
：
2
：
2
：
1
C
、
2
：
2
：
1
：
1
D
、
2
：
1
：
2
：
1
14
、菱形和矩
形一定都具有的性质是（
）
A
、对角线相等
B
、对角线互相垂直
C
、对角线互相平分
D
、对角线互相平分且相等
15
、下列命题中的假命题是（
）
A
、等腰梯形在同一底边上的两个底角相等
B
、对角线相等的四边形是等腰梯形
C
、等腰梯形是轴对称图形
D
、等腰梯形的对角线相等
16
、四边形
ABCD
的对角线
AC
、
BD
< br>交于点
O
，能判定它是正方形的是（
）
A
、
AO
＝
O
C
，
OB
＝
O
D
B
、
AO
＝
BO
＝
CO
＝
DO
，
AC
⊥
BD
C
、
AO
＝
OC
，
OB
＝
OD
，
AC
⊥
BD
D
、
AO
＝<
/p>
OC
＝
OB
＝<
/p>
OD
17
、给出下列四个命题
⑴一组对边平行的四边形是平行四边形
⑵一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
⑶两条对角线互相垂直的矩形是正方形
⑷顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是等腰梯形。
其中正确命题的个数为（
）
A
、
1
个
B
、
2
个
C
、
3
个
D
、
4
个
8
18
、下列矩形中按虚线剪开后，能拼成平行四边形，又能拼成直角三
角形的是
（
）
中
中
中
点
点
点
A
B
C
D
三、解答题
19
、如图：在□
ABCD
中，∠
BA
D
的平分线
AE
交
DC
于
E
，若∠
< br>DAE
＝
25
o
，
求∠
C
< br>、∠
B
的度数。
D
E
C
A
B
20
、已知在梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
AB
＝
DC
，∠<
/p>
D
＝
120
o<
/p>
,
对角线
CA
平
分∠
BCD
，
且梯形的周长
20
，求
AC
。
A
D
B
C
21<
/p>
、如图：在正方形
ABCD
中，
E
为
CD
边上的一点，
F
为
BC
的延
长线上一点，
CE
＝
CF
。
⑴△
BCE
与△
DCF
全等吗？说明理由；⑵若∠
BEC
＝
60
o
，求∠
EFD
。
D
A
E
60
o
B
F
C
22
证明题：如图，△
ABC
中∠
ACB
＝
90
o
，点
D
、
E
分别是
AC
，
AB
的中点，点
F
在
BC
的延长线上，且∠
CDF
＝∠
A
。
求证：四边形
DECF
是平行四边形。
A
D
E
F
B
C
9
23
、已知：如图所示，△
ABC
中，
E
、
F
、
D
分别是
AB
、
AC
、
BC
上的点，且
DE
∥
AC
，
DF
∥
AB
，要使四边形
AEDF
是菱形，在
不改变图形的前提下，你需添加的一
个条件是
________
_________________,
试证明：这个多边形是菱形。
E
A
F
B
24
、应用题
某村要挖一条长
1500
米的水渠，
渠道的横断面为等腰梯形，
渠道深
0.8
米，
渠底宽为
1.2
米，腰与渠底的
夹角为
135
o
，问挖此渠需挖出土多
少方？
25
、
（
10
分）观察下图
⑴正方形
< br>A
中含有＿＿＿＿＿个小方格，即
A
的面积为＿＿＿＿个单位面积。
⑵正方形
B
中含有＿＿＿＿＿个小方格，即
B
< br>的面积为＿＿＿＿个单位面积。
⑶正方形
C
中含有＿＿＿＿＿个小方格，即
C
的面积为＿＿＿＿个单位面积。
⑷你从中得到的规律
是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
C
A
B
10
D
C
（
1
）三
角形的有关概念答案
一、填空题：
1
、
9
a
7
；
2
、
2
；
3
、
120
0
；
4
、
< br>30
0
或
120
0
；
5
、
∠
DCB
；
6
、
50
0
；
7
、
8cm
；
8
、
60
0
；
9
、
130
0
；
二、选择题：
CBCBB
三、解答题：
1
、
6
种（
4
、
8
、
8
；
4
、
8
、
10
；
8
、
8
、
10
；
8
、
8
、
12
；
8
、
10
、
12
、
4
、
10
、
< br>12
）
2
、
可以，设延伸部分为
a
，则长为
2
a
，
3
a
，
5
a
的三条线段中，
5
a
最
长∵
(
2
a
)
(
3
a
)
(
5
a
)
a
0
∴只要
a
0
，
长为
2
a
，
3
a
，
5
a
的三
条线段可以组成三角形，设长为
5
a
的线段所对的角为
，则
为△
ABC
的最
大角，又由
(
2
< br>
a
)
2
(
3
a
)
2
(
5
a
)
2
a
2
12
，当
a
2
12
0
，即
a
< br>2
3
时，
△
ABC
为直角三角形。
3
、
3
0
a
a
a
4
、
（
1
）
a
；
（
2
）
2
a
或<
/p>
；
（
3
）
＜
OP
＜
2
a
；
（
4
）
0
＜
OP
＜
或
OP
＞
< br>2
a
2
2
2
（
2
）
等腰三角形参考答案
一、填空题：
1
、
30
0
；<
/p>
2
、
72
0
；
3
、
15
；
4
、
36
0
；
5
、
36
0
；
6
、
30
0
；
< br>7
、
①③
二、选择题：
DDDAC
三、解答题：
1
、
证△
DBE
≌△
ECF
2
、
提示：分两种情
况讨论。不妨设
AB
＝
10
米，作
CD
⊥
AB
于
D
，则
CD
＝
6
米。
（
1
）当
AB
为底边时，
AC
＝
BC
＝
61
米；
（
2
）当
AB
为
腰且三角形为锐角三角形时，
AB
＝
A
C
＝
10
米，
BC
＝
2
10
米；
（
3
）
当
AB
为腰且三角形为钝角三角形时，
AB
＝
BC
＝
10
米，
AC
＝
6
10
米；
3
、
提示：延长
AD
交
BC
于点
M
。
4
、
△
ADE
为等边三角形。
（
3
）全等三角形
参考答案
一、填空题：
1
、
32
；
2
、
3
；
3
、
15
；
4
、<
/p>
AH
＝
BC
或<
/p>
EA
＝
EC
或<
/p>
EH
＝
EB
等；
5
、
DC<
/p>
＝
DE
或
BC<
/p>
＝
BE
或
OA<
/p>
＝
OE
等；
6<
/p>
、
①②③
二、选择题：
BBDA
三、解答题：
1
、
略；
2
、
（
1
）略；
（
2
）
AF
⊥
BE
，
AF
平分
BE
等；
3
、
（
1
）略；
（
2
）不成立，
举一反例即能说明；
4
、
（
1
）不一定全等，因
△
ABP
与△
PCD
< br>中，只有
AB
＝
CD
，而其它角和边都有
可能不相等，故两三角形不一定全等。
（
2
）面积相等，因为
OP<
/p>
为∠
MON
平分
线上一点，
故
P
到边
< br>AB
、
CD
上的距离相等，
即△
ABP
中
AB
边上的高与△
PCD
中
CD
边上的高相等，又根据
AB
＝
CD
（即底边也相等）从而△
AB
P
与△
PCD
的面积相等。
5
、
（
1
）△
ACE
和△
BDF
的对应角相等；
（
2
）略
（
4
）四边形答案
一、⑴相等；⑵
45
；⑶∠
A
＝
120
o
，∠
D
＝
60
o
；⑷
22.5
，
12.5
；⑸
5
；⑹
28
；⑺
1
；
⑻
16
；⑼
15
；⑽
4
；⑾略；⑿
3
。
二、⒀
D
；⒁
C
；⒂
B
；⒃
B
；⒄
B
；⒅
B
11
19
、解：∠
< br>BAD
＝
2
∠
< br>DAE
＝
2
×
< br>25
o
＝
50
< br>o
（
2
分）
又∵□
ABCD
< br>∴∠
C
＝∠
BAD
＝
50
o
（
4
分）∴
AD
∥
BC
∴∠
B
＝
18
0
o
－∠
BAD
（
6
分）＝
180
o
－
50
o
＝
13
0
o
（
8
分）
<
/p>
20
、
解：
∵<
/p>
AD
∥
BC
∴∠
1
＝∠
2
又∠
2
＝∠
3
∴∠
1
＝∠
3
AD
＝
DC
（
2
分）
又
AB
＝
DC
得
AB
＝
AD
＝
DC
＝
x<
/p>
180
o
<
/p>
120
o
30
o
在△
AD
C
中∵∠
D
＝
120
∠
1
＝∠
3
＝
2
o
又∠
BCD
＝
2
∠
3
＝
60
o
∴∠
B
=
∠
BCD=60
o
< br>
（
4
分）
<
/p>
∠
BAD
＝
18
0
o
－∠
B
－
∠
2
＝
90
o
∠
2
＝
30
o
则
BC
＝
2AB
＝
2x
（
6
分）
x
x
x
2<
/p>
x
20
<
/p>
x
4
A
B
1
D
3
2
C
AB
＝
4
BC
＝
8
在
Rt
△<
/p>
ABC
中
AC
＝
8
2
4
2
4
12
4
3
（
8
分）
<
/p>
21
、⑴△
BCE
≌△
DCF
理由：因为四边形
AB
CD
是正方形∴
BC
＝
CD
，∠
BCD
＝
90
o
∴∠
BCE
＝∠
DCF
又
CE
＝
CF
∴△
BCE
≌△
DCF
（
4
分）
<
/p>
1
⑵∵
CE
＝<
/p>
CF
∴∠
CEF
＝∠
CFE
∵∠
FCE
＝
90
o
∴∠
CFE
＝
(180
o
90
o
)
45
o
2
o
又∵△
BCE
≌△
DCF
∴∠
C
FD
＝∠
BEC
＝
60
（
6
分）
<
/p>
∴∠
EFD
＝∠
CFD
－∠
CFE
＝
< br>60
o
－
45
< br>o
＝
15
o
（
8
分）
<
/p>
22
、证明：∵
D
、
E
分别是
AC
、
AB
的中点
∴
DE
∥
BC
（
1
分）
<
/p>
∵∠
ACB
＝
9
0
o
∴
C
E=
1
AB
＝
AE
（
3
分）
∵∠
A
＝∠
ECA
∴∠
CDF
＝∠
A
（
4
分）
<
/p>
2
∴∠
CDF
＝
∠
ECA
∴
DF
∥
CE
∴四边形
DECF
是平行四边形
23
、答条件
AE
＝
AF<
/p>
（或
AD
平分角
BAC
，等）
证明：∵
DE
∥
AC
DF
∥
AB
∴四边形
AEDF
是平行四边形
（
6
分）
又
AE
＝
AF
∴四边形
AEDF
是菱形（
8
分）
24
、如图所示设等腰梯形
ABCD
为渠道横断面，分
别作
DE
⊥
AB
，
CF
⊥
AB
（
2
分）
<
/p>
垂足为
E
、
F<
/p>
则
CD
＝
1.2
米，
DE
＝
C
F
＝
0.8
米∠
ADC
＝∠
BCD
＝
135
o
（
4
分）
E
F
AB
∥
CD
∠
A+
∠
AD
C
＝
180
o
∴∠
A
＝
45
o
＝∠
B
A
B
又
DE
⊥
AB
CF
⊥
AB
∴∠
EDA
＝∠
A
< br>∠
BCF
＝∠
B
∴
AE<
/p>
＝
DE
＝
CF<
/p>
＝
BF
＝
0.8
米
C
又∵
四边形
CDEF
是矩形
∴
EF
＝
CD
＝
1.2
米
（
6
分）
D
1
1<
/p>
S
梯形
ABCD
＝
(
AB
C
D
)
DE
(1.2
0.8
2
1.2)
< br>
0.8
1.6
2
2
∴所挖土方为
1.6
×
1500
＝
2400
（立方米）
（
8
分）
<
/p>
（解析：解决本题的关键是数学建模，求梯形面积时，注意作辅助线，把梯形问
题向三角形和矩形转化）
25
< br>、①
4
，
4
②
9
，
9
③
13
，
13
④在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方
12
《圆》章节知识点复习
一、圆的概念
集合形式的概念：
1
、
圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2
、圆的外部：可以看作是到定点的
距离大于定长的点的集合；
3
、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1
、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为
半径的圆；
（补充
）
2
、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫
中垂线）
；
3
、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4
、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线
的距离等于定
长的两条直线；
5
、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离
都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1
、点在圆内
d
r
点
C
在圆内；
2
、点在圆上
d
r
点
B
在圆上；
3
、点在圆外
d
r
点
A
在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1
、直线与圆相离
d
r
无交点
；
2
、直线与圆相切
d
r
有一个交点；
3
、直线与圆相交
d
r
有两个交点；
A
r
B
d
C
d
O
13
r
d
d=r
r
d
四、圆与圆的位置关系
外离（图
1
）
无交点
d
R
r
；
外切（图
2
）
有一个交点
d
R
r
；
相交（图
3
）
有两个交点
R
r
d
R
r
；
内切（图
4
）
有一个交点
d
R
r
；
内含（图
5
）
无交点
d
R
r
；
d
R
图
1
r
R
d
< br>r
图
2
d
R
图
3
r
d
五、垂径定理
图
4
R
r
d
r
R
图
5<
/p>
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论
1
：
（
1
）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（
2
）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分
弦所对的两条弧；
（
3
）平分
弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共
4
个定理，
简称
2
推
3
定理：
此定理中共
5
个结论中，
只要知道其
中
2
个即
14
可推出其它
3
< br>个结论，即：
①
AB
是直径
②
AB<
/p>
CD
③
CE
DE
④
弧
BC
弧
BD
⑤
弧
AC<
/p>
弧
AD
中任意
2
个条件推出其他
< br>3
个结论。
推论
2
：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
C
C
A
O
< br>E
D
B
D
O
A
B
即：在⊙
O
中，∵
AB
∥
CD
∴弧
AC
弧
BD
例题
1
、
基本概念
1
．下面四个命题中正确的一个是（
）
A
．
平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B
．
平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的
弦
C
．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心
D
．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直
线必过这个圆的圆心
2
．下列命题中，正确的是（
）
．
A
．过弦的中点的直线平分弦所对的弧
B
．过弦的中点的直线必过圆
心
C
．弦所对的两条弧
的中点连线垂直平分弦，且过圆心
D
．弦的垂线平分弦所对的弧
例题
2
、垂径定理
1
、
在直径
为
52cm
的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果
油的最大深
度为
16cm
，那么油面宽
度
AB
是
________cm.
2
、
在直径为
52
cm
的圆柱形油槽内装入一些油后，
，
如果油面宽度是
48cm
，那么油的
最
大深度为
________cm.
3
、
如图，
已知在⊙
O
< br>中，
弦
AB
< br>CD
，
且
AB
< br>
CD
，
垂足为
H
，
OE
< br>AB
于
E
，
OF
CD
于
F
.
（
1
）求证：四边形
OEHF
是正方形
.
（
2
）若<
/p>
CH
3
，
DH
9
，求圆心
O
到弦
AB
和
CD
的距离
.
4
、已知：△
ABC
内接于⊙
O
，
AB=AC
，半径
OB=5cm
，圆心
O
到
BC
的距离为
< br>3cm
，求
AB
的长．
5
、
如图，
F
是以
O
为圆心，
BC
为直径的半圆上任意一点，
A
是
的中点，
AD
⊥
BC
于
D
，
15