初中数学自主招生考试试题(含解析)
-
2015
年湖南省长沙市自主招生考试数学试卷
一、选择题：本题有
6
小题，每小题<
/p>
5
分，共
30
分
．
1
．方程（
x
2
+x
﹣
1
）
x+3
=1
的所有整数解的个数是（
）
A
．
5
个
B
．
4
个
C
．
3
个
< br>
D
．
2
个
2
．如图，已知等边△
ABC
外有一点
P
，<
/p>
P
落在∠
BAC
内，设
P
到
BC
、
CA
、
AB
的距离分别为
h
1
，
h
2
，
h
3
，满足
h
2
+h
3
﹣
h
1
=6
，那么等边△
ABC
的面积为（
）
A
．
4
B
．
8
C
．
9
D
．
12
一定是（
）
3
．若﹣
1
＜
a
＜
0
，则
A
．
最小，
a
3
最大
C
．
最小，
a
最大
B
．
最小，
a
最大
最大
D
．
最小，
4
．如图，
将△
ADE
绕正方形
ABCD
的顶点
A
顺时针旋转
9
0°，得△
ABF
，连接
EF
交
AB
于
H
，则下列
结论错误的是（
）
A
．
AE
⊥
AF
B
．
EF
：
AF=
：
1 <
/p>
C
．
AF
=FH
•FE
D
．
FB
：
FC=HB
：
< br>EC
2
5
．在△
ABC
中，点
D
，
E
分别在
AB
，
AC
上，且
CD
与<
/p>
BE
相交于点
F
，已知△
BDF
的面积为
10
，△
BCF
的面积为
2
0
，△
CEF
的面积为
16
，则四边形区域
ADFE
的面积等于（
）
A
．
22
B
．
24
C
．
36
D
．
44
6
．某医院内科病房有护士
15
人，每<
/p>
2
人一班，轮流值班，每
8
小时换班一次，某两人同值一班后，
到下次两人再同班，最长需要的天数是（
）
A
．
30
B
．
35
C
．
56
D
．
448
二、填空题：本题有
6
小题，每小题
5
分，共
30
分．
7
．若
4sin
A
﹣
4sinAcosA+cos
A=0
，则
tanA=
．
8
．在某海防观测站的正东方向
12
< br>海浬处有
A
、
B
两艘船相会之后，
A
船以每小时
12
海浬的速度往
南航行，
B
船则以每小时
3
海浬的速度向北漂流．则经过
小时后，观测站及
A
、
B
两船恰成一个
直角三角形．
9
．如
图，
在坐标平面上，
沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，<
/p>
其长、宽分别为
4
、
2
，
则通过
A
，
B
，
C
三点的拋物线对应的函数关系式是
．
2
2
10<
/p>
．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为
20c
m
，小球半径
5cm
，则这两颗球分<
/p>
别与桌面相接触的两点之间的距离等于
cm
．
1
1
．物质
A
与物质
B
分别由点
A
（
< br>2
，
0
）同时出发，沿正方形<
/p>
BCDE
的周界做环绕运动，物质
A
按逆
时针方向以
1
单位
/
秒等速运动，物质
B
按顺时针方向，以
2
单位
/
秒等速运动，则两个物质运动后
的第
2015
次相遇地点的坐标是
．
12<
/p>
．设
C
1
，
C
2
，
C
3
，…为一群圆，其作法如下：
C
1
是半径为
a
的圆，在
C
1
的圆内作四个相等的圆
C
2
（如图），每个圆
C
2
和圆
C
1
都内切，且相邻的两个圆
C
2
均外切，再在每一个圆
C
2
中
，用同样的方法
作四个相等的圆
C
3<
/p>
，依此类推作出
C
4
，
C
5
，
C
6
，…，则
（
1
）圆
C
2
的半径长等于
< br>（用
a
表示）；
（
2
）圆
C
k
的半径为
（
k
为正整数，用
a
表示，不必证明）
三、解答题：本题有
4
个小题，共
60
分．
13
．如图，四边形
ABCD
内接于圆
O
，且
AD
是圆
O
的直径，<
/p>
DC
与
AB
的延
长线相交于
E
点，
OC
∥
AB
．
< br>（
1
）求证：
AD=AE
；
（
2
）若
OC=AB=4
，求△
BCE
的面积．
14
．已知抛物线
y=x
2<
/p>
+2px+2p
﹣
2
的顶点为
M
，
< br>（
1
）求证抛物线与
x
轴必有两个不同交点；
（
2
）设抛物线与
x
轴的交点分别为
A
，
B
，求实
数
p
的值使△
ABM
< br>面积达到最小．
15
．某次足
球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：
积分
奖励（元
/
每人）
胜一场
平一场
负一场
3
1500
1
700
0
0
当比赛进行到
12
轮结束已知：矩形
ABCD
（字母顺序如图）的边长
AB=3
，
AD=2
，将此矩形放在平面
直角坐标系
xOy
中，使
AB
在
x
轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线
y=
x
﹣
1
经过这两个顶点中的一个．
（
1<
/p>
）求出矩形的顶点
A
、
< br>B
、
C
、
D
的坐标；
（
2
）以
AB
为直径作⊙
M
，经过
A
、
B
两点的抛物线，
y=ax
2
+bx+c
的顶点是
P
点．
①若点
P
位于⊙
M
外侧且在矩形
ABCD
内部，求
a
的取值范围；
②过点
C
作⊙<
/p>
M
的切线交
AD
于
F
点，当
PF
∥
AB
时，试判断抛物线与
y
轴的交点
Q
是位于直线
y=
x
﹣
1
的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．
201
5
年湖南省长沙市长郡中学自主招生考试数学试卷（理实班
）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题有
6
小题，每小题
5
分，共
30
分．
1
．方
程（
x
+x
﹣
1
）
=1
的所有整数解的个数是（
）
A
．
5
个
B
．
4
< br>个
C
．
3
个
D
．
2
个
【考点】零指数幂．
【专题】分类讨论．
【分析】方程的
右边是
1
，有三种可能，需要分类讨论．
第
1
种可能：指数为
0
，底数不为
0
；
第
2
种可能：底数为
1
；
第
3
种可能：底数为﹣
1
，指数为偶数．
【解答】解：（
1
）当
x+3=0
，
< br>x
+x
﹣
1
≠
0
时，解得
x=
﹣
3
；
（
2
）当
x
2
+x
﹣
1=1
时，解得
x=
﹣
2
或
1
．
（
3
）当
x
+x
﹣
1=
﹣
1
，
x+3
为偶数时，解得
x=
﹣
1
因而原方程
所有整数解是﹣
3
，﹣
2
，
1
，﹣
1
共
4
个．
故选
B
．
<
/p>
【点评】本题考查了：
a
=1
（
a
是不为
0
的任意数）以及
1
的任何次方都等于
1
．本题容易遗漏第
3
种可
能情况而导致误选
C
，需特别注意．
2
．如图
，已知等边△
ABC
外有一点
P
，
P
落在∠
BAC<
/p>
内，设
P
到
BC
、
CA
、
AB
的距离分别为
h
1
，
h
2
，
h
3
，满足
h
2
+h
3
﹣
h
1
=6
，那么等边△
< br>ABC
的面积为（
）
0
2
2
2
x+3
A
．
4
B
．
8
C
．
9
D
．
12
【考点】等边三角形的性质．
【专题】面积法．
【分析】
先设等边三角形
ABC
的边长为
a
，
连接
PA
、
PB
、
PC
，
根据
S
△
< br>PAB
+S
△
PAC
﹣
S
△
PCB
=S
△
CAB
，
得出
ah
1
+
ah
2
﹣
ah
3
=
，再根据
h
2
+h
3
﹣
h
1
=6
，求得
a=4
即可得到等边△
ABC
的面积．
【解答】解：设等边三角形
ABC
的边长为
a
，连接
PA
、
PB
、
PC
，则
S
△
PAB
+S
△<
/p>
PAC
﹣
S
△<
/p>
PCB
=S
△
C
AB
，
即
a
h
1
+
ah
2
﹣
ah
3
=<
/p>
∴
a
（
h
2
+h
3
﹣
h
1
）
=
∵
h
2
+h
3
﹣
h
1
=6
，
∴
a=4
∴
S
△
CAB
=
故选（
D
< br>）．
，
=12
，
，
，
【点评】本题主要考查了等边三角形面积的计算，等边三角形
高线长与边长之间的关系．根据等边
三角形的高计算等边三角形的面积是解决问题的关键
．
3<
/p>
．若﹣
1
＜
a<
/p>
＜
0
，则
A
．
最小，
a
3
最大
C
．
最小，
a
最大
B
．
一定是（
）
最小，
a
最大
最大
D
．<
/p>
最小，
【考点】实数大小比较．
【分析】在所给范围内选择一个具体的数，代入后比较即可．
【解答】解：∵若﹣
1
＜
a
＜
0
，
< br>
∴
a
可取﹣
< br>0.001
，
那么
a
3
=
﹣
0.000 000 001
，
=
﹣
0.1
，
=
﹣
1000
< br>，
∴
最小，
< br>a
3
最大，
故选
A
．
<
/p>
【点评】考查实数的大小比较；选择一个合适的具体的数，代入所给代数式比较，可以简化
比较的
步骤．
4
．如图，将△
ADE
绕正方形
ABCD
的顶点<
/p>
A
顺时针旋转
90°，得△
ABF
，连接
EF
交
AB
于
H
，则下列<
/p>
结论错误的是（
）
A
．
AE
⊥
AF <
/p>
B
．
EF
：
AF=
：
1
C<
/p>
．
AF
=FH•FE
D
．
FB
：
FC=HB
：
EC
2
【考点】旋转的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
【分析】由旋转得到△
AFB
≌△
AED
，根据相似三角对应边的比等于相似比，即
可求得．
【解答】解：由题意知，△
AFB
≌△
AED
∴
AF=AE
，∠
FAB=
∠<
/p>
EAD
，∠
FAB+
∠
BAE=
∠
EAD+
∠
BAE=
∠BAD=90°．
< br>
∴
AE
⊥
AF
，所以
A
正确；
∴△
AEF
是等腰直角三
角形，有
EF
：
AF=
∵
HB
∥
EC
，
∴△
FBH
∽△
FCE
，
∴
FB
：
FC=HB
：
EC
，所以
D<
/p>
正确．
∵△
A
EF
与△
AHF
不相似，
∴
AF
2
=FH•FE
不正确．
故选：
C
．
【点评】本题利用了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求
解．
：
1
，
所以
B
正确；
5
．在△
ABC
中，点
D
，
E
分别在
AB
，
AC
上，且
CD
与
BE
相交于点
F
，已知△
BDF
的面积为
10
，△
BCF
的面积为
20
，△
CEF
的面积为<
/p>
16
，则四边形区域
ADFE
的面积等于（
）
A
．
22
B
．
24
C
．
36
D
．
44
【考点】三角形的面积．
【分析】<
/p>
可设
S
△
ADF
=m
，
根据题中条件可得出三角形的面
积与边长之间的关系，
进而用
m
表示出
△
AEF
，
求出
m
的值，进而可得四边形的面积．
【解答】解：如图，连
AF
，设
S
△
ADF
=m
，<
/p>
∵
S
△
BDF
：
S
△
BCF
=10
：
20
=1
：
2=DF
：
CF
，
则有
2m=S
△
AEF
+S
△
EFC
，
S
△
AEF
=2m
﹣
16
，
而
S
△
BFC
：
S
△
EFC
=20
：
16=5
：<
/p>
4=BF
：
EF
，
又∵
S
△
ABF
：
S
△
AEF
=BF
：
EF=5
：
4
，
而
S
△
ABF
=m+S
△
BDF
=m+10
，
∴
S
△
ABF
：
S
△
AEF
=BF
：
EF=5
：
4=
（
m+10
）：（
2m
﹣
16
），
< br>
解得
m=20
．
S
△
AEF
=2
×
20
﹣
16=24
，
S
ADEF
=S
△
AEF
+S
△
ADF
=24+20=44
．
故选
D
．
【点评】本题主要考查了三角形的面积计算问题，能够利用三
角形的性质进行一些简单的计算．
6
．某医院内科病房有护士
15
人，每
2
人一班，轮流值班，每
8
小时换班一次，某两人同值一班后，
到下次两人再
同班，最长需要的天数是（
）
A
．
30
B
．
35
C
．
56
D
．
448
【考点】整数问题的综合运用．
【专题】数字问题．
【分析】此题可
运用排列组合解答，
15
人，每
2
人一班，轮流值班，则有
C
15
2
=105
种组合，一天是
24
小时，
8
小时
< br>1
班，
24
除以
3=
每天
3
个班
再用
105
除以
3=35
天．
【解答
】解：由已知护士
15
人，每
2
人一班，轮流值班，
得：有
C
15
=105
种组合，
又已知每
8
小时
换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，
所以最长
需要的天数是
105
÷（
24
÷
8
）
=35
（天）．
故选：
B
．
【点评】
此题考查的知识点是整数问题的综合运用，
关键是先求出
15
人，
每
2
人一班有多少种组合，
再由每
8
小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班求出最长需要
的天数．
二、填空题：本题有
6
小题，每小题
5
分，共
30
分．
7
．若
4sin
2
A
﹣
4sinAcosA+
cos
2
A=0
，则
< br>tanA=
．
2
【考点】解一元二次方程﹣配方法；锐角三角函数的定义．
【分析】先解一元二次方程，再根据锐角三角函数的定义得出即可．
【解答】解：
4sin
2
A
﹣
4sinAcosA+co
s
2
A=0
，
（
2sinA
﹣
cosA
）
=0
，
< br>
2sinA
﹣
cosA=0<
/p>
，
2sinA=cosA
，
tanA=
=
，
2
故答案为：
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和解一元二次方程等知识点，比较简单，注意锐角三角函
数定义的掌握．
8
．在某海防观测站的正东方向
12
海浬处有
A
、
B
两艘船相会之后，
A
船以每小时
12
海浬的速度往
南航行，
B
船则以每小时
3
海浬的速度向北漂
流．则经过
2
小时后，观测站及<
/p>
A
、
B
两船恰成
一
个直角三角形．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】计算题．
【分析】根据题意
画出图形，设经过
x
小时后，观测站及
A
、
B
两船恰成一个直角三角形，在<
/p>
Rt
△