第3讲五年级数学等差数列求和 教案
-
精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号：
年
级：
课
时
数：
学员姓名：
辅导科目：
学科教师：
授课类型
授课日期及时段
C-
等差数列求和计算
C
-
等差数列求和应用
C-
等差数列求和拓展
教学内容
1
、请讲解示范循环小数化成分数的方法。
2
、计算：
1
＋
3
1
1
1
1
1
1
1
1
＋
5
＋
7
< br>＋
9
＋
11
＋
13
＋
15
＋
17
20
30
< br>42
56
72
90
6
12
课堂导入
德国著名数学家高斯幼年时
代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：
1
＋
2
＋
3
＋
4
＋…＋
99
＋
100<
/p>
＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于
5050
。高斯为什么算得又快又准呢？原来
小高斯通过细心观
察发现：
1
＋
100
＝
2
＋
99
＝
3
＋
98
＝…＝
49
＋
52
＝
50
＋
51
。
1
～
100
正好可以分成这样的
50
对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为
（
1+100
）×
100
÷
2
＝
5050
。
< br>小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
我们也常把数列求和的计算称为“高斯求和”
。
知识点梳理
知识点
1
：
数列的基础知识<
/p>
（
1
）数列：
按一定次序排成的一列数叫做数列
.
（
2
）项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第
1
项（或首项）
，第
2<
/p>
项，…，第
n
项，…
.
（
3
）通项公式：一般地，如果
数列｛
a
n
｝的第ｎ项与序号ｎ之间的
关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做
这个数列的通项公式
.
（
4
）
有穷数列
:
项数有限的数列叫做有穷数
列
.
（
5
）<
/p>
无穷数列
:
项
数无限的数列叫做无穷数列
（
6
）数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用
一个公式来表示，
则这个公式就叫做这个数列的递推公式
.
递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出
a
1
,a
2
,
然后用递推关
系逐一写出数列中的项
.
知识点
2
：
等差数列
一般地，
如果一个数列从第二
项起，
每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，
那么
这个数列就叫做等
差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．
知识点
3
：
等差数列的简单性质
（
1
）首尾项性质
如果
a
1
、
a
2
、……
a
n
,
是等差数列，则
a
1
< br>+a
n
=a
2
< br>+a
n
-
1
=
……
（
2
）等差中项性质及中项定理
a<
/p>
b
a
b
等差中项
:
如果ａ
，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝
．我们把Ａ＝
叫做ａ和
ｂ的等差中项．
2
2
中项定理：
对于任意一个项数为奇数的等差数列，
中间一项的值等于所有项的平均数，
也等于首项与末项和的一
半
；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．
知识点
4
：
等差数列求
和公式
等差数列的总和
=
（首项
< br>+
末项）
项数
2
等差数列（奇数个数）的总和
=
中间项
项数
n
n
1
1
2
3
n
2
1
3
5
(
2
n
< br>1
)
n
2
一、专题精讲
题型
1
：
简单数列求和
例
1
：
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
分析：这是简单的
等差数列，根据首尾性质、求和公式，即可求。
解：
=(1+19)+(3+17)+(5+15)+(7+13)+(9+11)
=20x5
=100
例
2
：
2
＋
4
＋
6
＋…
＋
100
解：＝（
< br>2
＋
100
）×
50
＝
2550
题型<
/p>
2
：
简单数列之间的运算
例
1
：
40
- 39 + 38 - 37 + 36 - 35+....+ 4 - 3 + 2 - 1
分析：题目中的数的变化规律符合了等差数列的特征，但不是单纯的求和，仔细观察后，发现符号的 规律，分组计算
更简单。
解：原式
= (40 - 39) + (38 - 37)
+ (36 - 35) +....+ (4 - 3) + (2 - 1)
= 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1
=
1
×
20
= 20
例
2
：
（
100+96+92+
……
+4
）
-(98+94+90+
……
+2)
分析：括号里面都是
等差数列，但运用公式进行求和后再相减，会出现比较大的数字，不方便计算。运用括号变化，
< br>拆分组合更简单。
解：
=1
00+96+92+
……
+4-98-94-
< br>……
2
=100-98+96-94+92-90+
……
+4-2
=2+2+
……
+2
25
个
2
=50
题型
3
：
小数数列、
分数数列求和
例
1
< br>：
求
5.01, 6.02, 7.01, 5.02,
6.01, 7.02,
…前
20
项
的和是
______.
解：
20
÷
3=6
…
2.<
/p>
前
20
项之和为
(5+6+7)
×
6+5+6+(0.01+0.02)
×
10=11
9.3
例
2:
计算：
0.1+0.2+0.3+
…
+0.9+0.10+0.11
+0.12+
…
+0.99
分
析
：
题
目
中
含
有
两
个
等
差
数
列
，
< br>由
此
可
根
据
高
斯
求
和
公
式
计
算
．
解
：
0.1+0.2+0.3+…
+0.9+0.10+0.11+…
0.98+0.99
=
（
0.1+0.9
）
×9÷2+（
0.1+0.99
）
×90÷2
=4.5+1.09×45
=4.5+49.05
=53.55
例
3
：
解：
1
2
3
199
0
+
+
+
…<
/p>
+
1990
1
990
1990
1990
=
1
1990
1
×
×
1990
1990
2
=
1991
2
=995.5
二、专题过关
检测题：
一、计算下面各式的结果。
1.
(1+3+
…
+1991)-(2+4+
…
+1990)
=1+(3-2)+(5-4)+
…
+(1991-1990)
=1+1+
…
+1
=996
2.
1-3+5-7+9-11+
…
-1999+2001
=1+(5-3)+(9-7)+(13-11
)+
…
+(2001-1999)
=1+2+2+
…
+2
=1001
3. 100+99+98-97-96+95+94+93-92-91+
…
+10+9+8-7-6+5+4+3-2-1
=100+(99-97)+(98-96)+
95+(94-92)+(93-91)+
…
+10+(9-7
)+(8-6)+5+(4-2)+(3-1)
=(100+95+<
/p>
…
+10+5)+2+2+
…
+2
(
100
5
)
=
20
2
40
2
=105
×
10+80
=1130
1
1
1
1
1
1
1
1
4.
1992+
-1
+2
-3
+4
-5
+
…
+1990
-1991
2
3
2
3
2
3
2
3
1
1
1
1
1
1
=[(2-1)+(4-3)+
…
+(1992-1991)]+[(
-
)+(
-
)+
…
+(
-
)]
2
3
2
3
2
3
1
1
=996+996
×
(
-
)
2
3
1
=996+996
×
6
=996+166
=1162
5
、
(3+4+5+6+7+8+9
+10+11+12+13+14+15)
÷
13
解法一
(3+4+5+6+
…
+14+15)
÷
13
=
3
15
×
13
÷
13
2
=9
×
13
÷
13
=9
解法二
(3+4+5+6+
…
+14+15
)
÷
13
=[(3+10)+(4+
9)+(5+8)+(6+7)+(11+15)+13+(12+14)]
÷
13
=13
×
9
÷
13
=9
6
、
(1+
7
7
7
7
7
)+(1+
×
2
)+(1+
×
3)+
…
+(1+
×
10)+(1+
×
11)
33
33
33
33
33
7
< br> =(1+1+
…
+1)+
×
(1+2+3+
…
+10+11)
33
1
11
7
=11+
×
11
33
2
7
=11+
×
6
×
11
33
=25
三、学法提炼
1
、专题特点：
等差数列求和计算，
在计算题中属于比较难的题型。
常见的
数列计算题型中会有单数列的求和、
数列求和后的混
算、分数数
列求和、小数数列求和等等。在等差数列的求和过程中，常常需要先解决其他的问题，例如，找到首项，
或找到末项，或先求出项数等；所以，要求掌握等差数列中的相关公式，这样才能较快地解决问题
。
2
、解题方法
等差数列求和的常见的两种求和公式。
（
1
）
等差数列的总和
=
（首项
+
末项）
项数
2
=
中间项
项数
（<
/p>
2
）相关公式：
1
、等差数列的和
=
（首项＋末项）
×项数÷
2
2
、项数
=
（末项－首项）÷公差＋
1
3
、第
N
项的数
=
首项＋（项数－
1
）×公差
4
、首项<
/p>
=
末项－（项数－
1
）×公差
3
、注意事项
（
1
）注意找准项数，别忘
+1
；
（
2
）在逆用公式时，别忘了用和×
2
课堂导入
我们学了等差数列的求和，我们来看看等差数列的在应用题中的应用。
< br>
一、专题精讲
例
1
：
小王看一本书第一
天看了
20
页，以后每天都比前一天多看
2
页，第
30
天看了
78
页正好看完。这本书共有多
少页？
分析：根据条件“以后每天比前一天多看
2
页”可以知道他每天看的页数都是按照一定规律排列的数，即
20
、
22
、
24
、…、
76
、
78<
/p>
。要求这本书共有多少页也就是求出这列数的和。
解：由题意可知，这列数是一个等差数列，首项
=20
，末项
=78
，项数
=30
，
所以这本书
共有（
20+78
）×
30
÷
2=1470
（页）
答：这本书共有
1470
页。
例
2
：
四（
1
）班
45
位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握
一次手，同学们共握
了多少次手？
提
示：假设
45
位同学排成一队，第
1<
/p>
位同学一次与其他同学握手，一共握了
44
次，第
2
位同学因与第
1
位同学已握
手，只需要与另外
43
位同学握手，一共握了
43
次，这样第
3
位同学只需与另外的
42
位
同学握手，…，依次类推。握手
的次数分别为：
44,43,4
2
，…，
3,2,1
，这样应用等差数
列求和公式即可解答。
解：根据以上分析，可以把本题转化为求一个等差数列的和
即
44+43+42+
…
+3+2+1
=
（
44+1
）×
44
÷
2
=990
（次）
答：同学们共握了<
/p>
990
次手。
例
3
：
100
与
500
之
间
能
被
9
整
除
的
所
有
自
然
数
之
和
是
多
少
< br>？
解
：根
据
题
干
，
100
到
500
之
间
，能
被
9
整
除
的
自
然
数
组
成
的
等
差
数
列
为
：9×12，9×13，…
，9×55，
共
有
55-12
+1=44
（
个
）
，
（
108+495
）
×44÷2，
=603×22，
=13266
．
故
答
案
为
：
13266
．
二、专题过关
检测题：