高斯小学奥数含答案三年级(上)第21讲 等差数列求和
-
第二十一讲
等差数列求和
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - -
- - - - - - - - - - - - - -
对于一个等差数列而言，
除了它的首项、
公差、项数和末项很重要之外，数列中所有数之和也是非
常重要的．
< br>
在进行等差数列求和时，最常用的方法就是分组法．以
1
+
2
+
3<
/p>
+
4
+
5
+
6
+
7
+
8
+
9
为例：
先把数列正着写一遍：
1
9
+
2
+
8
+
3
+
7
+
4
+
6
+
5
+
+
5
+
6
+
4
+
7
+
3
+
8
+
2
+
9
+
1
再把数列反着写一遍：
把上下两行相加，
注意上下对齐，
不难发现每一对
上下对齐的数之和都等于
首项加末项
(
1
+
9
)
，<
/p>
而
且共有
项数
(
9
)
那么多对，所以所有数之和等于：
首项
<
/p>
末项
项数<
/p>
因为我们把原来的等差数列写了
2
遍，
所以所有数之和就等于原来等差数列之和的
2
倍，
于是可以
6
得到等差数列求和公式：
和
首项
末项
项数
2
- - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
例题
1
计算下列各题：
（
< br>1
）
3
+
6
+
9
+
1
2
+
15
+
1
8
+
21
+
2
4
+
27
+
3
0
；
（
2<
/p>
）
41
+
37<
/p>
+
33
+
29<
/p>
+
25
+
21<
/p>
+
17
+
13<
/p>
+
9
+
5
+
1
．
分析：试着用公式进行一下计算，首项、末项、项数分别是多少？
练习
1
计算：
6
+
1
1
+
16
+
2
1
+
26
+
3
1
+
36
+
4
1
+
46
．
例题
2
计算下列各题：
（
< br>1
）
5
+
11
+
17
+
L
+
77
+
83
；
（
2
）
82
77
72
12
7
．
分析：
要用等差数列求和公式，
需
要知道整个数列的首项、末项和项数，现在还缺哪些？试着把未知的
那些算出来．
练习
2
计算：
100
92
84
L
12
．
例题
3
计算下列各题：
+
< br>18
4
+
24
< br>+
L
（
1
）
12
1
444444
2
444444
4
3
；
共
10
项
+
187
2
+
44444444
181
+
L
3
．
（
2
）
193
1
44444444
共
13
项
分析：
要用等差数列求
和公式，
需要知道整个数列的首项、末项和项数，现在还缺哪些？试着把未知的
那些算出来．
7
练习
3
计算：
10
+
13
+
444444
16
+
L
1
444444
4
2
4
3
．
共
12
项
例题
4
萱萱读一本课外书，
第一天读了
15
页，
以
后每天都比前一天多读
3
页，
最后一天
读了
36
页，刚好
把书读完．请问：萱
萱一共读了多少天？这本课外书共有多少页？
分析：萱萱每天
读书的页数构成了一个等差数列，这个等差数列的首项、末项、项数分别是多少？
练习
4
暑假里，小高练习游泳，第一天他游了
200
< br>米，以后每一天都比前一天多游
50
米，最后一天游了<
/p>
600
米，请问：小高这些天里一共游了多少米？
例题
5
小华把一些珠子放在桌子上的
15
个盒子中，
已知盒子中的珠子数按盒子从左往右的顺序成一个等差
数列，并且从左数
第
8
个盒子中有
24
< br>颗珠子，请问：这
15
个盒子中一共有多少颗珠子？
分析：奇数项等差数列求和公式？中间数是几？项数有几项？
例题
6
小明从
1
开始计算若干连续自然数的和
，他因为把其中一个数多加了一遍，得到了一个错误的结果
2007
．
小刚也从
1
开始计算若干连续自
然数的和，
他因为漏加了其中的一个自然数，
也得到了错误结果
2007
．请问被重复计算和漏掉的两个数之和是多少？
分析：等差数列求和接近
2007
时，这个等差数列的最后一项是几？
8