小学奥数：等差数列计算题.专项练习及答案解析
-
等差数列计算题
知识点拨
等差数列的相关公式
(1)
三个重要的公式
①
通项公
式：递增数列：末项
首项
(
项数
1
)
公差，
a
n
a
1
（
n
1
）
d
递减数列：末项
首项
(
项数
< br>1
)
公差，
< br>a
n
a
1
（
n
1
）
d
回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题
的思想，
让学生明白
末项
其实就是首项加上
(
末项与首项的
)<
/p>
间隔个公差个数，
或者从找规律的情况入手．
同时还
可延伸出来这样一个有用的公式：
a
n
a
m
（
n
m
）
d<
/p>
，
（
n
m
）
②
项数公式：项数
(
末项
首项
)
<
/p>
公差
+1
由
通
项
公
式
可
以
得
到
：
n
（
a
n
a
< br>1
）
d
1
(
若
a
n
a
1<
/p>
)
；
n
（
a
1
a
n
）
d
1
(
< br>若
a
1
a
n
)
．
找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．
譬如：找找下面数列的项数：
4
、
7
、
10
、<
/p>
13
、
L
、
40
、
43
、
46
，
分析：
配组：
(4
、
5
、
6)
、
(7
、
8
、
9)
、
(10
、
11
、
12)
、
(13
< br>、
14
、
15)
、
L
、
(46
、
47
、
48)
，注意等差是
3
，那么每组有
3
个数，我们数列中的数都在每组的第
1
< br>位，所以
46
应
在最后一组第<
/p>
1
位，
4
到
48
有
48
4
1
45
项，每组
3
个数，
所以共
45
3
15
组，原数列
有
15
组．
当然还可以有其他的配组方法．
③
求和公式：和
=(
首项
末项
< br>)
项数÷
2
对于这个公式的得到可以从两个方面入手：
(
思路
1)
1
2
3<
/p>
L
98
99
100<
/p>
（
1
（
99
）
（
98
L
4
（
51
）
101
50
5050
1
4
100
4
）
4
4
2
4
4
4
4
2
3
4
4
）
4
<
/p>
4
4
50
4
43
共
50
个
101
(
思路<
/p>
2)
这道题目，还可以这样理解：
<
/p>
和
=
1
2
3
4
L
+
和
100
99
98
97
L
2
< br>倍和
101
101
101
101
L
98
99
100
3
2
1
即
，
和
101
101
101
(100
1)
100
2
101
50<
/p>
5050
(2)
中项定理：
对于任意一个项数
为奇数的等差数列，
中间一项的值等于所有项的平均
数，也等于
首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．
譬如：①
4
8
12
L
32
<
/p>
36
（
4
36
）
9
2
20
9
1800
，
题中的等差数
列有
9
项，中间一项即第
5
项的值是
20
，而和恰等于
20
9
；
1-2-1-2.
等差数列的认识与公式运用
< br>.
题库
教师版
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of
8
②
65
63
61
L
5
3
1
（
1
65
）
< br>33
2
33
33
1089
，
题中的等差数列有<
/p>
33
项，
中间一项即第
< br>17
项的值是
33
，
而和恰等于
33
33<
/p>
．
【例
1
】
用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？
⑴
3
4
5
6
L
76
77
78
⑵
1
3
5
7
L
87
99
⑶
4
< br>7
10
13
L
40
43
46
【考点】等差数列计算题
【难度】
2
星
【题型】计算
【
解
析
】
< br>⑴
根据例
1
的结果知：算式中的
等差数列一共有
76
项，所以：
3
4
5
6
L
76
77
78
（
3
78
< br>）
76
2
3078
< br>⑵算式中的等差数列一共有
50
项，所以：
1
3
< br>5
7
L
87
99
(1
99)
50
2
2500
⑶算式中的等差数列一共有
15
项，所以：
4
7
10
13
L
40
43
46
（
4
46
）
15
2
375
【答案】⑴
3078
⑵
2500
⑶
375
【
巩
固
】
1
2
……
8
9
10
9
8
< br>
……
2
1
_____
。
【考点】等差数列计算题
【难度】
2
星
【题型】计算
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】
1
+2+3+
…
+
n
+
…
+3+2+1=
n
×
n
，所以原式
=10<
/p>
×
10=100
【答案】
100
【
巩
固
】
1
966
、
1976
、
19
86
、
1996
、
2006
这五个数的总和是多少
?
【考点】等差数列计算题
【难度】
1
星
【题型】计算
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】
1
986
是这五个数的平均数，所以和＝
1986
×
5
＝
9930
。
【答案】
9930
【
巩
固
】
计
算：
110
＋
111
＋<
/p>
112
＋…＋
126
＝
【考点】等差数列计算题
【难度】
2
星
【题型】计算
【关键词】走美杯，四年级，初赛
【解析】
原
式
(110
126)
17
< br>2
2006
【答案】
2006
【
巩
固
】
计
算下面结果．
⑴
4
8
12
16
L
<
/p>
32
36
⑵
65
63
61
L
5
<
/p>
3
1
⑶
3
4
5
L
99
100
【考点】等差数列计算题
【难度】
2
星
【题型】计算
【解析】
根
据刚刚学过的求项数以及求和公式，项数
(
< br>末项
首项
)
< br>
公差
1
等差数列的和
（首项＋末项）
项数
2<
/p>
⑴项数：
（
3
6
4
）
<
/p>
4
1
9
；
和：
（
4
36
）
9
2
180
⑵项数：
（
65
1
）
2
1
33
< br>；和：
（
1
< br>65
）
33
< br>
2
33
33
1089
⑶项数：
（
100
3
）
1
1
< br>98
；和：
（
3
100
）
98
2
< br>5047
【答案】⑴
180
⑵
1089
⑶
5047
1-2-1-2.
等差数列的认识与公式运用
.
题库
教师版
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of
8
例题精讲
【
巩
固
】
用
等差数列的
求和公式会计算下面各题吗？
⑴
3
4
5
6
L
76
77
78
⑵
1
3
5
7
L
87
99
⑶
4
7
<
/p>
10
13
<
/p>
L
40
43
46
【考点】等差数列计算题
【难度】
2
星
【题型】计算
【
< br>解
析
】
（
1
）算式中的等差数列一共有
76
项，所以：
3
4
5
6
L
76<
/p>
77
78<
/p>
（
3
78
）
76
2
3078
（
2
）
算式中的等差数列一共有
50
项，
所以：
1
3
5
7
< br>
L
87
99
(1
99)
50
< br>
2
2500
（
3
）算式中的等差数列一共有
15
项，所以：
4
7
10
13
L
40
43
46
（
4
46
< br>）
15
2
375
【答案】
（
1
）
< br>3078
（
2
）
2500
（
3
）
375
【
巩
固
】
< br>计
算下列一组数的和：
105
，
110
，
115
，
120
，…，
195
，
200
【考点】等差数列计算题
【难度】
2
星
【题型】计算
【解析】
根
据等差数列求和公式，
必须知道首项、
末项和项数，
这里首项是
105
，
末项
是
200
，
但项数不知道．若利用
a
n
a
1
(
n
1)
d
，可有
n
(
a
n
a
1
)
d
1
据此可先求出项数，再求数列的和．
解：数列的项数
n
< br>
(
a
n
a
1
)
d
1
(200
105)
5
1
9
5
5
1<
/p>
20
．
故数列的和是：
S
< br>
(
a
1
a
n
)
n
2
(105
200)
20
< br>
2
305
20
< br>
2
3050
【答案】
3050
【
巩
固
】
聪
明的小朋友
们，
PK
一下吧．
⑴
4
8
12
16
L
<
/p>
32
36
⑵
65
63
61
L
5
<
/p>
3
1
【考点】等差数列计算题
【难度】
2
星
【题型】计算
【解析】
根
据刚刚学过的求项数以及求和公式，项数
(
< br>末项
首项
)
< br>
公差
1
等差数列的和
（首项＋末项）
项数
2<
/p>
⑴项数：
（
3
6
4
）
<
/p>
4
1
9
；
和：
（
4
36
）
9
2
180
；
⑵项数：
（
65
1
）
2
1
33
；和：
（
1
< br>
65
）
33
2
33
33
1089
．
【答案】⑴
180
⑵
1089
【
巩
固
】
巧
算下题：
⑴
5000
2
4
6<
/p>
L
98
100
⑵
1
3
5
7
L
1995
1997
1999
【考点】等差数列计算题
【难度】
2
星
【题型】计算
【解析】
⑴
原式
1-2-1-2.
等差数列的认识与公式运用
.
题库
教师版
page
3
of
8
500
0
（
2
<
/p>
4
6
L
98
100
）
5000<
/p>
（
2
100
）
50
2
5000<
/p>
2550
2
450
⑵这一串加数可以组成首项为
1
、末项为
1999
，公差为
2
的等差数列，
项
数
（
1999
1
）
2
1
100
0
，原式
（
1
1999
）
1000
2
2000
1000
2
1000000<
/p>
【答案】⑴
2450
⑵
1000000
【
巩
固
】
(1
2
3
2007
2008
2007
3
< br>
2
1)
2008
【考点】等差数列计算题
【难度】
2
星
【题型】计算
【关键词】走美杯，四年级，初赛
【解析】
观
察原式可知，
1
、
2
< br>、
3
…
2007
分别可与
2007
、
2006
、
2005
…
1
组成
2008
，于是括
号中有
2008
个
2008
，故原式结果为
2008
。
【答案】
2008
【
巩
固
】
(
2005<
/p>
2006
2
007
2008
< br>2009
2010
2011
)
2008
__________
【考点】等差数列计算题
【难度】
2
星
【题型】计算
【关键词】希望杯，
4
年级，
1
试
【解析】
根
据中项定理知
: 2005+200
6+2007+2008+2009+2010+2011=2008
×
7,
所以原式
=
2008<
/p>
×
7
÷
2008
=7
【答案】
7
【
巩
固
】
计
算：
1
÷
50+2
÷
50+
……
+98
÷
50+99
÷
50=
【考点】等差数列计算题
【难度】
2
星
【题型】计算
【关键词】希望杯，
4
年级，
1
试
【解析】
原
式
=
(
1<
/p>
2
3
4
5
L
98
99
)
50
(
1
< br>
99
)
99
2
50
99
【答案】
99
【例
2
】
计算：
⑴
（
1
3
5
L
1997
1999
）
-
（
2
4
6
L
1996
1998
）
⑵
4000
<
/p>
5
10
15
L
95
100
⑶
99
198<
/p>
297
39
6
495
594
693
792
891
990
【考点】等差数列计算题
【难度】
3
星
【题型】计算
【解析】
⑴
（方法一）
第一个数列的项数
1000
，
第二个数列的项数为
999
，
利用求和公式得：
（
1
1999
）
1000
2
< br>
（
2
1998
）
999
2
1000
．
（方法二）第一个括号内共有
< br>1000
个数，第二个括号内有
999
< br>个数．把
1
除外，第一个
括号内
的各数依次比第二个括号里相应的数大
1
，因此可简捷求和．<
/p>
原式
1
（
3
2
）
（
5
4
）
< br>
L
（
1999
1998
）
l
1
< br>
1
L
1
(
共
1
000
个
1)
1000
⑵通过观察可知，题目中的减数可以组成等差数列
，所以，可先求这些减数的和，再从被减
数中减去这个和．
<
/p>
4000
5
10
15
L
95
<
/p>
100
4000
（
5
1
0
15
L
95
10
0
）
4000
（
5
1
00
）
（
2
0
2
）
<
/p>
4000
1
050
2950
．当一个数连续减去
几个数，这些减数能组成等差数列时，可以先求
这些减数的和，再从被减数中减去这个和
．
⑶
99
198
297
396
495
< br>
594
693
792
891
990
<
/p>
100
1
<
/p>
200
2
<
/p>
300
3
<
/p>
L
1000
10
<
/p>
100
200
300
L
1000
（
1
2
3
L
10<
/p>
）
（
100<
/p>
1000
）
10
2
<
/p>
（
1
10
）
10
2
5
500
55
1-2-1-2.
等差数列的认识与公式运用
.
题库
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