《高斯求和》教案
-
第
2
讲
高斯求和
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：
1
＋
2
＋
3
＋
4
＋…＋
99
＋
100
＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头
计算，小高斯却很快算出答案等于
5050
。高斯为什么算
得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1
＋
100
＝
2
＋
99
＝
3
＋
98
＝…＝
49
＋<
/p>
52
＝
50
＋<
/p>
51
。
1
～
100
正好可以分成这样的
50
对数，每对数
的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为
（
1+100
）×
100
÷
2
＝
5050<
/p>
。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”
的求和问题。
若干个数排成一列称为
数列
，数列中的
每一个数称为一项，其中第一项称为
首项
，最后一
项称为
末项
。后项与前项之差都相等的数列称为
等差数列
，后项与前项之差称为
公差
。例如：
（
1
）
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，…，
100
；
（
2
）
1
，
3
< br>，
5
，
7
，
9
，…，
99
；（
3
）
8
，
15
，
22
，
29
，
36
，…，
71
。
其中（
1
）是首项为
1
，末项为
100
，公差为
1
的等差数列
；（
2
）是首项为
1
< br>，末项为
99
，
公差为
2
的等差数列；（
3
）
是首项为
8
，末项为
71
，公差为
7
的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到
等差数列的求和公式
：
和
=
（首项
+
末项）×（项数÷
2
）
例
1
1
＋<
/p>
2
＋
3
＋…＋<
/p>
1999
＝？
分析与解
：
这串加数
1
，
2
，
3
，
…，
1999
是等差数列，
首项是
1
，
末项是
1999
，
共有
1999
个数。
由等差数列求和公式可得
原式
=
（
1
＋
1
999
）×
1999
÷
2
＝
1999000
。
注意：利用等
差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例
2
11
＋
12
＋
13
＋
…＋
31
＝？
分析与解
：这串加数
11
，
12
，
13
，…，
31
是等差数列，首项是
11
，末项是
31
，共有
31-
11
＋
1
＝
2
1
（项）。
原式
=
（
11+31
）×
21
÷
2=441
。
在利用等差数列求和公式时，
有时项数并不
是一目了然的，
这时就需要先求出项数。
根据首项、
末项、公差的关系，可以得到
项数
=
（末项
-
首项）÷公差<
/p>
+1
，
末项<
/p>
=
首项
+
公差×
（项数
-1
）
。
例
3
3
＋
7
＋
11
＋
…＋
99
＝？
分析与解
：
3
，
7
，
11
，…，
< br>99
是公差为
4
的等差数列，<
/p>
项数
=
（
99
－
3
）÷
4
＋
1
＝
25
，
原式
=
（
3
＋
99
）×
25
÷
2
＝
1275
。
例
4
求首项是
25
，公差是
3
的
等差数列的前
40
项的和。
解
：末项
=25
＋
3
×（
40-1
）
＝
142
，
和
=
（
25
＋
142
）×
40
÷
2
＝
3340
。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解
决各种与等差数列求和有关的问题。
例
5
在下图中，每个最小的等边三角
形的面积是
12
平方厘米，边长是
1<
/p>
根火柴棍。问：（
1
）
< br>最大三角形的面积是多少平方厘米？（
2
）整个图形由多
少根火柴棍摆成？
分析：最大三角
形共有
8
层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数
目如下表：
由上表看出，
各层的小三
角形数成等差数列，
各层的火柴数也成等
差数列。
解
：（
1
）最大三角形面积为
（<
/p>
1
＋
3
＋
5
＋…＋
15
）×<
/p>
12
＝［（
1
＋
15
）×
8
÷
2
］×
12
＝
768
（平方厘米）。
2
）火柴棍的数目为
3
＋
6
＋
9+
…
+24
＝（
3
＋<
/p>
24
）×
8
÷<
/p>
2=108
（根）。
< br>答：最大三角形的面积是
768
厘米
2
，整个图形由
108
根火柴摆成
。
例
6
盒
子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成
3
只球后放回
盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成
3
只球后放回盒子里……第十次从盒
子里拿出十
只球，将每只球各变成
3
只球后放回到盒子里。这时盒子里共有
多少只乒乓球？
分析与解
：
一只球变成
3
只球，
实
际上多了
2
只球。
第一次多了
2
只球，
第二次多了
2
×
2
只球……
第十次多了
2
×
10
< br>只球。因此拿了十次后，多了
2
×
1
＋
2
×
2
＋…＋
2
×
10
＝
2
×（
1
＋
2<
/p>
＋…＋
10
）
＝
2
×
55<
/p>
＝
110
（只）。
加上原有的
< br>3
只球，盒子里共有球
110
＋
3
＝
113
（
只）。
综合列式为：
（
3-1
）×（
1
＋
2
＋…＋
10
）＋
3
＝
2
×［（
1
＋
10
）×
10
÷
2
］＋
3
＝
113
（只）。<
/p>
练习
1.
计算下列各题：
（
1
）
2
＋
4
＋
6
＋…＋
200
；
（
2
）
17
＋
19
＋
21
＋…＋
39
；
（
3
）
5
＋
8
＋
11
＋
14
＋…＋
50
；
（
4
）
3
＋
10
＋<
/p>
17
＋
24
＋…
＋
101
。
2.
求首项是
5
，末项是
93
，公差是
4
的等差数列的和。
3.
求首项是
13
，公差是
5
的等差数列的前
30
项的和。
4.
时钟在每个整点敲打，敲打的次
数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜
敲打多少次？
5.
求
100
以内除以
3
余
2
的所有数的和。
6.
在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？