第二章极限题及答案：极限的四则运算
-
分类讨论求极限
例
已知数
列
a
n
<
/p>
、
b
n
都是由正数组成的等比数列，公比分别为
p
,
q
，其中
p
q
，
且
p
1
，
q
1
，设
c
n
a
n
b
n
，
S
n
为数列
C
n
的前
n
项和，求
lim
（
1997
年全国高考试题，理科难度
0.33
）
S
n
.
<
/p>
n
S
1
n
a
1
p
n
1
b
1
q
n
1
解：
S
n
p
1
q
1
S
n
< br>a
1
q
1
p
n
1
b
1
p
1
q
n
1
.
S
n
1
a
1
q
1
p<
/p>
n
1
1
b
1
p
1
q
n
1
1
<
/p>
分两种情况讨论；
< br>
（
1
）当
p
1
时，∵
p
q
0
，故
0
q
1
，
p
∴
lim
S
n
n
S
n
1
< br>
q
n
1
1
n
p
a
1
q
1
1
< br>p
n
b
1
p
1
p
n
p
n
< br>
lim
n
1
q
1
1
p
n
1
a
< br>1
q
1
1
b
p
1
1
n
1
< br>
n
1
n
1
p
p
p
< br>p
a
1
q
1
1
0
<
/p>
b
1
p
1
0
a
1
q
1
1
0
b
1
p
1
0
a
1
q
1
p
< br>
a
1
q
1
p
（
2
）当
p
1
时，∵
0
q
p
1
，
∴
lim
S
n
n
S
n
1
a
1
q
1
p
n
< br>
1
b
1
p
1
q
n
1
lim
n
a
q
1
p
n
< br>1
1
b
p
1
q
n
1
1
1
1
< br>
a
1
q
1
0
1
b
1
p
1
< br>0
1
a
1
q
1
0<
/p>
1
b
1
p
1
0
1
< br>
a
1
q
1
b
1
p
1
1
.
a
1
q
1
b
1
p
1
说明：
该
题综合考查了数列的基础知识、
恒等变形的能力，
分类讨论的数
学思想方法和
求极限的方法．
自变量趋向无穷时函数的极限
例
求下列极限：
x
4
5
x
2
1
（
1<
/p>
）
lim
x<
/p>
1
x
2
2
x
4
x
3
x
2
（
2
）
lim
x
2
x
2
1
2
x
1
分析：
第（
1
）题中，当
x
时，分子、分
母都趋于无穷大，属于“
的一般方法是分子、分母同除以
x
的最高次幂，再应用极限的运算法则．
”型，变形
x
3
x
2
第（
2
）题中，当
x
时，分式
2
与
< br>都趋向于∞，这种形式叫“∞－∞”
2
x
1
2
x
1
型，变形的一般方法是先通分，变成“
0
”型或“
”型，再求极限
．
0
5<
/p>
1
1
2
4
4
2
x
5
x
1
x
x
解：
（
1
）
lim
lim
< br>2
4
x
1
x
2
x
x
1
1
2
x
4
x
2
5
1
< br>lim
1
lim
2
lim
4
1
0
< br>0
1
x
x
x
x
x
.
1
1
2
lim
4
lim
2
lim
2
0
0
2
x
< br>
x
x
x
x
x
3
x
2
x
3
(
2
x
1
)
x
< br>2
(
2
x
2
1
)
（
2
）
lim
2
lim
x
2
x
2
1
x
2
< br>x
1
(
2
x
1
)
(
2
x
1<
/p>
)
x
x
lim
x
(
2
x
2
1
)(
2
< br>x
1
)
x
1
1
(
2
2
)(
2
)
x
x
1
lim
(
1
)
1
0
1
x
x
1
1
lim
(
2
2
)
li
m
(
2
)<
/p>
(
2
0
)(
2
0
)
4
x
x
x
< br>
x
说明：
< br>“
”型的式子求极限类似于数列极限的求法．
lim
3
2
1
1
x
无穷减无穷型极限求解
例
求极限：
（
1
）
lim
(
1
x
x<
/p>
1
x
x
)
x
2
2
（
2
）
< br>lim
(
1
< br>x
x
1
x
x
)
x
2
2
分析：<
/p>
含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限．
解：
（
1
）原式
x
lim
2
x
1
x
x
2
1
x
x
2
x
li
m
2
x
2<
/p>
1
x
x
2
1
x
x
2
< br>
2
x
lim
1
1
1
1
.
x
2<
/p>
x
1
x
2
1
x
1
（
2
）原式
2
x
x
lim
1
< br>x
x
2
1
x
x
2
x
lim
2
1
1
1
.
x
2
1
x
1
x
2
1
x
1
说
明
：<
/p>
当
x
0
时
，
x
x
2
2
x
2
x
x
2
1
x
x
2<
/p>
1
1
1
1
2
．
1
x
2
x
x
2
1
x
1
利用运算法则求极限
例
计算下列极限：
（
1
）
lim
n
1
n
2
1
4
n
< br>2
1
7
n
2
1
3
n
2
n
2
1
；
（
2
）
1
1
n
lim
3
9
1
< br>27
1
n
1
1
<
/p>
3
n
.
（
1992
年全国高考试题，文科难度
0.63
）
因
此
，
1
n
3
n
1
解
：
（
1
）原式
lim
2
2
n
n
1
1
3
2
3
n
< br>n
n
3
.
lim
lim
n
2
n
2
1
n
<
/p>
2
2
2
2
n
n
1
1
1
3
<
/p>
3
lim
（
2
）原式
n
1
1
3
1
< br>
1
lim
1
n
4
3
n
1
1
1
< br>0
.
4
4
说明：
该题计算时，
要先求和，
再求所得代数式的极限，
不能将只适用有限
个数列的加、
减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、
除，超出了法则
的适用范围，下面的计算是错误的：
（
1
）原式
lim
（
2
）原式
1
4
3
n
2
lim
lim
n
n
2
1
n
n
< br>2
1
n
n
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
1
1
3
lim
lim
lim
lim
1
< br>
0
n
3
n
9
n
27
n
3
n
3
9
27
1
< br>4
1
3
用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限
p
1
1
1
n
*
例
< br>
设
p
N
，求
lim
n
1
n
1
．<
/p>
1
分析：
把
1
n
1
解：
1
< br>
n
1
1
n
1
n
p
1
p
1
用二项式定理展开或
逆用等比数列和公式即可求得．
p
1
1
C
1
p
1
1
1
2
2
p
1
< br>1
p
1
C
p
(
)
C
1
p
1
(
)
n
n
n
< br>1
1
2
1
2
3
p
1
1
p
C
1
C
(
)
C
C
p
< br>
1
p
1
p
1
p
1
(
)
n
n
n
1
1
n
< br>
lim
< br>n
1
n
p
1
1
C
1
p
1
p
1
或：逆用等比数列求和公式：
p
1
1
2
1
< br>原式
lim
1
1
1
<
/p>
1
n
n
n
n
1<
/p>
1
1
p
1
p
1
个
1
说明：
要注意
p
是与
n
无关的正整数，
1
n
< br>p
1
不是无限项，对某些分式
求极限应先
对式子进行必要的变形，
使之成为便于求极限的形式
，
以利问题的解决，
经常用到的技巧是
分母、分子有理化或按二项式定理展开等等．
零乘无穷型转化为无穷除无穷型
例
求
lim
(
n
1
n
)
n
.
n
分析：
当
n
时，所求极限相当于
0
型，需
要设法化为我们熟悉的
解：
lim<
/p>
(
n
1
n
)
n
n
型．
< br>
lim
lim
(
n
1
< br>
n
)(
n
1
n
)
n
n
<
/p>
(
n
1
n
)
n
n
n
1
n
1
1
lim
.
n
2
1
1<
/p>
1
n
说明：
对于这种含有根号的
0
型的极限，
可采取分子有理化
或分母有理化来实现．
如
本题是通过分子有理化，从而化为
n
，即为
型，也
可以将分子、分母同除以
n
n
1
n
的最高次幂即
n
，完成极限的计算．
根据极限确定字母的范围
4
n
1
例
已知
lim
n
2
，求实数
m
的取值
范围．
n
4
(
m<
/p>
2
)
n
16
分析：
这是一个已知极限的值求参数的范
围问题，我们仍然从求极限入手来解决．
4
< br>n
解：
lim
n
2
lim
n
n
4
n
(
m
2<
/p>
)
1
m
2
16
4
n
< br>1
16
于是
< br>m
2
1
，即
4
m
2
<
/p>
4
,
6
m
2
．
4
1
m
2
说明：
在解题过程中，
运用了逆
向思维，
由
lim
可知，
的
< br>n
n
16
4
m
2
<
/p>
16
4
极限必为<
/p>
0
，而
q
0
的充要条件是
q
1
，于是解不等式
n
1
n
m
2
1
．
4
零比零型的极限
10
例
求
lim
x
0
1
x
1
．
x
10
1
x
1
0
分析：
这是一个
型的极限，
显然当
x
0
时，直接从函数
分子、分母中
x
0
10
约去
x
有困难
，但是
10
1
x
1
当
x
0
时也趋近于
0
，此时
x
化为
(
10
1
x
)
1
，
这就启
10
发我们通过换元来解决这一难题，即设
y
10
1
x
，则
x
< br>
y
1
．
10
解：
设
y
10
1
x
，则
x
y
1
，于是，当
x
0
时，
y
1<
/p>
．
原式
lim
y
1
y
1
1
1
lim
10
9
8
y
1
y
1
y
y
y
1
10
说
明：
本题采用的换元法是把
x
0
化为
y
1
0
，这是一种变量
代换．灵活地运用
这种代换，可以解决一些
0
< br>型的极限问题．
0
x
2
1
例如对于
lim
，
我们一般采用因式分解，
然后约去
x
1
，
得到
lim
(
x
1
)
2
．
其
x
1
x
1
x
1
实也可以采用这种代换，即设
t
<
/p>
x
1
，则当<
/p>
x
1
时，
t
0
，这样就有