等差数列的前n项和教案 人教课标版(优秀教案)
-
．
等差数列的前项和
（一）教学目标
．知识与技能
:
通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；
能在具体
的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差
数列与一次
函数的关系。
.
过程与方法
:
通过对历史有名的高斯求和的介
绍，引导学生发现等差数列的第项与倒数第项
的和等于首项与末项的和这个规律；由学生
建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问
题，进行等差数列通项公式应用的实践操
作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表
达式得到对等差数列相应问题的研究。
．情态与价值：
培养学生利用学过的
知识解决与现实有关的问题的能力。
（二）教学重、难点
重点：探索并掌
握等差数列的前项和公式；学会用公式解决一些实际问题，体会等差数列的
前项和与二次
函数之间的联系。
难点：等差数列前项和公式推导思路的获得
，灵活应用等差数列前项公式解决一些简单的有
关问题
（三）学法与教学用具
学法：讲练结合
教学用具：投影仪
（四）教学设想
[
创设情景
]
等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为
我们在实际生活中经常遇到的
问题。在多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数
学王子”的高斯就曾经上演了迅
速求出等差数列这么一出好戏。那时，高斯的数学老师提
出了下面的问题：……？当时，当
其他同学忙于把个数逐项相加时，
岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
（）
（）<
/p>
……
（）×
高
斯的算法实际上解决了求等差数列，
，
，…，
< br>，…前项的和的问题。
今天我们就来学习如何去求等差数列的前项的和。
[
探索研究
]
我们先来看看人们由高斯求前个正整数的方法得到了哪些启发。人们从高斯那里受到启
发，于是用下面的这个方法计算，
，
，…，
，…的前项的和：
由
…
…
（）
（）
…
（）
（）
可
知
1
2
<
/p>
3
...
<
/p>
n
(
n
1
)
n
2
上面这种加法叫“倒序相加法”
请同学们观察思考一下：高斯的算法妙在哪里？
高斯的算法很巧妙，他发现了整个数列的第项与倒数第项的
和与首项与尾项的和是相等的
这个规律并且把这个规律用于求和中。这种方法是可以推广
到求一般等差数列的前项和的。
[
等
差数列求和公式的教学
]
一
般
地
，
称
a
1
a
2
a
3
...
a
n
为
数
列
{
a
n
}<
/p>
的
前
项
的
和
，
用
S
n
表
示
，
即
S
n
a
1
a
2
a
3
<
/p>
...
a
n<
/p>
1
、
思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？
思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。
我们用两种方法表示
S
n
：
S
n
<
/p>
a
1
(
a
1
d
)
(
a
1
2
d
)
...
[
a
1
(
n
1
)<
/p>
d
],
①
S
n
a
n
(
a
n
d
)
< br>
(
a
n
2
d
)
...
[
a
n
(
n
1
)
d
],
②
由①②，得
2
< br>S
n
（
a
1
a
n
）+（
a
1
a
n
）+（
a
1
a
n
）+...+（
a
1
a
n
）
n
个
n
(
a
1
a
n
)
由此得到等差数列
{
a
n
}
的前项和的公式
S
n
n
(
a
1
a
n
)
2
对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等
差数列前项
和了。
2
、
除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）
当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如：
S
n
a
1
a
2
a
3
..
.
a
n
<
/p>
a
1
(
a
1
d
)
(
a
1
2
d
)
...
[
a
1
(
n
1)
d
]
na
1<
/p>
[
d
2
d
...
(
n
1)
d
]
na
1
[1
2
...
(
n
< br>1)]
d
na
1
n
(
n
1)
d
2
n
(
a
1
a
n
)
中，就可以得到
2
这两个公式是可以相互转化的。把
a
< br>n
a
1
(
n
1
)
d
代入
S
n
S
n
na
1
n
(
n
1)
d
2
引导学生思考这
两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第项与
倒数第项的和等于
首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前项和与它
的首项、公差之
间的关系，而且是关于的“二次函数”
，可以与二次函数进行比较。这两个公
式的共同点都是知道
a
1
和，不同点是第一个公式还需知道
a
n
，而第二个公式是要知道，解题
时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。
[
公式运用
]
（课本页练习、
）
1
、
根据下
列各题中的条件，求相应的等差数列
{
a
n
}
的前项和
.
⑴
a
1
4
，
a
8
18
，
n
8
；
⑵
a
1
14.5
，d
0.7
，a
n
<
/p>
32
；
[
例题分析
]
例、年月日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》
.
某市据此提出了实施
“校校通”工程的总目标：从年起用年时间，在全市中小
学建成不同标准的校园网
.
据测算，
年
该市用于“校校通”工程的经费为万元
.
为了保证工程的顺利实
施，计划每年投入的资金都
比上一年增加万元
.
那么从年起的未来年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
⑴、先阅读题目；
⑵、引导学生提取有用的信息，构件等差数列模型；
⑶、写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前项和公式进行求解。
解：根据题意，从年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加万
元
.
所以，可以
建立一个等差数列
{
a
n
}
，表示从年起各年投入的资金，其中
a
1
500
，
.
那么，到年（）
，投入的资金总额为
S
n
10<
/p>
500
<
/p>
10
（
10<
/p>
1
）
50
7250
（万
元）
2
答：从年，该市在“校校通”
工程中的总投入是万元
.
例．已知一个等差数列
{
a
n
}
< br>前项的和是，前项的和是
.
由这些条件能确定这个等差数
列的前项
和的公式吗？
<
/p>
引导学生分析得到：等差数列前项和公式就是一个关于
a
n
、
a
1
、n或者a
1
、
n
、
d
的方
程。若要确定
其前项求和公式，则要确定
a
1
和
d
的关系式，从而求得。
分析：
将已知条件代入等差数列前项和的公式后，
可得
到两个关于
a
1
与的二元一次方程，<
/p>
由此可以求得
a
1
与，从而得到所求前项和的公式
.
S
20
1220
，
< br>
解：由题意知
S
10
31
0
，
将它们代入公式
S
n
na
1
得到
（
n
n
1
）
d
，
2
10
< br>a
1
45
d
310
，
20
a
1
190
d
1220
解这个关于
a
1
与的方程组，得到
a
1
，
，