四年级奥数秋季班讲义上
-
莱特
1+1
思维教育辅导讲义
< br>
课
题
授课时间：
巧妙求和（一）
授课教师：
数列：
< br>若干个数排成一列称为数列
。
数列中的每一个数称为
一项，
其中第一项称为
首项，
最后
知
识
点
梳
理
一项称为
末项，
数列中的个数称为
项数。
等差数列与公差：
从第二项开始，后项与前项之差都相等
的数列称为等差数列，后项与前项之
差称为公差。
通项公式：
第
n
项
=
首项
+
（项数﹣<
/p>
1
）×公差；
项数公式：
项数
=
（末项﹣首项）÷公
差＋
1
；
求
和公式：
总和
=
（首项＋末项）×项数
÷
2
教学内容
例
1
有一个数列，
< br>4
、
10
、
16
、
22
、……、
52
，这个数列共有多少项
分析
仔细观察会发现这个数列后一项
与前一项的差都是
6
，即公差是
6
，所以这是一个等差数列，并且它的首项
是
4
，末项是
52
，要求项数，可以根据
项数公式：项数
=
（末项﹣首项）÷公差＋
1
进行计算。
例
2
有一等差数列：
3
、
7
、
11
、
15
、……这个等差数列的第
50
项是多少第
100
项呢
分析
仔细观察会发现这个数列是公差
为
4
的等差数列，首项是
3
，要求第
50
项和第
10
0
项，可以根据通项公式：
第
n
项
=
首项
+
（项数﹣
1
）×公差进行计算。
例
3
有这样一列数，
1
，
2
，
3,4
……
99,100
。请你写出这列数各项相加的和。
分析
如果我们把数列
1
，
2
，
3,4
……
99,100
与数列<
/p>
100,99,98,97
……
2,1<
/p>
进行相加，相当于采用两两配对的方法
进行求和，并且每对的和为
101,
共有
100
< br>个这样的对，从而可以得到所求数列的和。
例
4
求等差数列
2
、
4
、
6
……
48
、
50
的和。
分析
这个数列是公差为
2
的等差数列，可以根据公式之间计算。注意：要求一数列的和需要先求出项
数。
练习：
1
、等差数列中，首项为
1
，末项为
39
，公差为
2
，这个等差数列共有多少项
2
、有
一个等差数列：
2
、
5
、
8
、
11
< br>……
101
，这个等差数列共有多少项
< br>
3
、已知等差数列
11
、
16
、
21
、
26
……
1001
，问这个数列共有多少项
4
、一等差数列，首项为
3
，公差为
2
，项数是
10
，求它的末
项是多少
5
、求数列
1
、
5
、
9
、
13
……这个等差数列的第<
/p>
20
项。
6<
/p>
、求等差数列
1
、
4
、
7
、
1
0
……这个等差数列的第
30
项。
7
、求等差数列
2
、
6
、
10
、
14
……这个等差数列的第
100
项。
8
、计算下面各题：
（
1
）
1
＋
2
＋
3
＋
4
＋……＋
49
＋
50
（
2
）
6
＋
7
＋
8
＋
9
＋…
…＋
75
（
3
）
2
＋
6
＋
10
＋
14
＋
18
＋
22
（
4
）
17
＋
19
＋
21
＋
…＋
39
；
（
5
）
5
＋<
/p>
8
＋
11
＋
14
＋…＋
50
莱特
1+1
思维教育辅导讲义
课
题
授课时间：
巧妙求和（二）
授课教师：
知
识
点
梳
理
某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等
差数列的和。如果是等差数列求和，才可以用等差数列求和公式计算。
< br>
在解决自然数的数字问题时，
应根据题目的具体特点，
有时可以考虑将题中的数适当分组，
并将每组中的数合理配对，
使问题得以顺利解决。
教学内容
例
1
小林读一本长篇小说，他第一天
读
30
页，从第二天起他每天读的页数都比前一天多
3
页，第
11
天读了
60
页，正好读完，这本书共有多少页
分析
根据
“
他每天读的页数都比前一天多
3
页”
可
以知道他每天的读的页数是按照一定的规律排列的数，
即
30<
/p>
、
33
、
36<
/p>
……
57
、
60
。
要求这本书共有多少页就是求出这列数的和。这列数是一个等
差数列，首项是
30
，末项是
60
，项数是
11
，因此可以根据等差数列的<
/p>
公式求解总和
。
例
2
一些同样粗细的圆木，
像如图所示的一样均匀的堆放在一起，
已知最下面一层有
70
根，
那么一
共有多少根圆
木
分析
根
据图可以发现这是一个公差是
1
的等差数列，
< br>首项是
1
，
末项是
70
，
要求一共有多少根圆木，
其实就是求这个等差数列的和。
可以根据通项公式求解计算。
例
3
30
把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次
分析
开第一把锁时如果
不凑巧，试了
29
把钥匙都还不行，那么剩下的一把就一定能把
它打开，即开第一把锁至多需要
29
次，同样
< br>的，开第二把锁至多需要试
28
次，开第三把锁至多需要
试
27
次……等打开第
29
把锁时，剩下的一把就不用试了，一定能打开。所
以，至多需要
29
＋
28
＋
27
＋……＋
1
次，从而
将实际问题转化成了等差数列的求和问题。
例
4
某班有
51
个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手，那么共握了多少次手
分析
假设
51
个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了
50
次，第二个人依次和剩下的人握手，共握了
49<
/p>
次，第三个人
握了
48
< br>次，依此类推，第
50
个人和剩下的人握了一次手，这样
他们握手的次数如下：
50
、
49
、
48
、……、
2
、
1
。
例
5
求
1<
/p>
～
99
个连续自然数的所有数字之和。<
/p>
分析
注意首
先要求的是
99
个连续自然数的数字之和，而不是求着
99
个数的和。
为了
能方便求解，我们不妨把
0
算进来（它不影响我们求数字之和）
，计算
0
～
9
9
这
100
个数字之和，这
100
个数头尾两两配对后每两个
数字之和都相等
，都是
9
＋
9=18
< br>，一共有
100
÷
2=50
对，所以
1
～
99
个连续自然数的所有数字之和是
18
×
50=900
。
练习：
1
、
刘师傅做一批零件，第一天做了
20
个，以后每天都比前一天多
做
2
个，第
15
天做了
48
个，正
好做完，这批零件
共有多少个
2
、莉莉学英语单词，第
一天学会了
6
个，以后每天都比前一天多学了
< br>1
个，最
后一天学会了
16
个，莉莉在这些天中学会了多少个单词
3
、用相同的小立方体摆成如右图所示的图形，那么第
10
层有多少个小立方体
4
、有
80
把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥
匙，至多要试多少次
5
、有一些锁的
钥匙搞乱了，已知至多要试
28
次，就能使每把锁有配上自己的
钥匙，问一共有几把
锁的钥匙搞乱了
6
、学校进行乒乓球比赛，每个参赛选手都要和其他所有的参赛选手各赛一场，如果有<
/p>
21
人参加比
赛，问一共要进行多少场比
赛
7
、一次同学聚会中，参加的有<
/p>
43
位同学和
4
位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握手一次
手。那么一共握了多少次
8
、求
1
～
199
的
199
个连续自然数的所有数字之和。
9
、求
1
～
999
的
999
个连续自然数的所有数字之和。
莱特
1+1
思维教
育辅导讲义
课
题
授课时间：
加法乘法原理与几何计算
授课教师：
1
、
加法原
理
：如果完成一项任务有
n
类方法，在
第一类方法中有
m
1
种不同方法，在第
二类方法中有
m
2
种不
知
识
点
梳
理
同方法
……
，在第
n
类方法中有
m
n
种不同方法，那么完成这项任务共有：
m
1
+ m
2
.......
+m
n
种不同的方法。
2
、
关键问题
：确定工作的分类方法。
3
、
基本特征
：每一种方法都可完成任务。
4
、
乘法原
理
：如果完成一项任务需要分成
n
个步
骤进行，做第
1
步有
m
1
种方法，不管第
1
步用哪一
种方法，
第
2
步总有
< br>m
2
种方法
……
不管前面
n-1
步用哪种方法，第
n
步总有
m
n
种方法，那么完成这项任务共有：
m
1
×
m
2
....... ×
m
n
种不同的方法。
5
、
关键问题
：确定工作的完成步骤。
6
、
基本特
征
：每一步只能完成任务的一部分。
例
1
、
从南通到上海有两条路可走，从
上海到南京有三条路可走。王叔叔从南通经过上海到南京去，有几种方法
分析：
用图中的序号表示其中的
5
< br>条路。可以将王叔叔的各种走法根据线路示意图一一列举出来。
例
2
、
用红、黄、蓝三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号
分析：
要使信号不同，就要求每一种信号颜色的顺序不同，把这
些不同的信号一一列举出来即可。
例
3
、
有三张数字卡片，分别为
3,6,
0
。从中挑出两张排成一个两位数，一共可以排成多少个两位数
分析：
排成时要注意“
0
”不能排在最高位，从而可以进行分类考虑：当十位上是
6
< br>或者是
3
时所得数的个数。
例
4
、
从
1~8
这八个数中，每次取两个数，要使
它们的和大于
8
，有多少种取法
分析：
为了既不重复又不遗漏的统计出结果，应该按一定的顺序分类
列举，可以按照“几
+8
，几
+7
，几
+6
，几
+5
”的顺序来思考。
例
5
、
在一次足球比赛中，
4
个对进行循环赛，需
要比赛多少场
分析：
4
个队进行循环赛，
也就是说
4
个队每两个队都要赛一场，
设
4
个队
分别为
A
、
B
、
C
、
D
可将
他们两两比赛的情况列举出来。
例
6
、
用
0
、
5
、
4
、
9
排成各位数字不同的三位数，共可以排成多少个其中最小的数是多少最
大的数是多少
分析：
要排成各位数字
不同的三位数，我们知道这个数的首位一定不能是
0
，因此首位
数字只能是
5
、
4
、
9
共有三种情况，首位选定
后，
只剩下三个数字了，十位数字就可以从这剩下的三个数中选取，共有三种情况，同样地，十位选好后只剩下两个数
字了，各位数
字就只能从这两个数字中选取了，只有两种情况，最后运用乘法原理可以求
出结果。
教学内容
练习：
1.
从甲地到乙地，有两条直达铁路和四条直达公路，那么从甲地到乙地有多少种不同的走法
2
．
从甲地
到乙地有两条直达铁路，从乙地到丙地有四条直达公路，那么从甲地到丙地有多少种不同
的走法
3
．
甲、乙、丙三个同学排成一排，有几种不同的排法
4.
用
8<
/p>
、
6
、
3
、
0
这四个数字，可以组成多少个不同的三位
数最大的一个是多少
5
．
从
1~6
这六个数字中，每次取两个数，要使它们
的和大于
6
，有多少种取法
6
．
在一次乒乓球比赛中，参加比赛的对进行循
环赛，一共赛了
28
场，问共有几个队参加比赛
7
．
用
0
、
1
、
3
、
4
、
5<
/p>
排成各位数字不同的四位数，共可以排成多少个其中最小的数是多少最大的数
是多少
8
．
从
1
～
10
这十个数中，每次取两个数，要使它们的和大于
10
，
有多少种取法
莱特
1+1
思维教育辅导讲义
课
题
授课时间：
巧数图形
授课教师：
1
、直线
：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。
知
识
点
梳
理
线段
：直线上任意两点间的距
离。这两点叫端点。
射线
：把直线的一端无限延长。
2
、直线特点
：没有端点，没有长度。
线段特点
：有两个端点，有长度。
射线特点
：只有一个端点；没有长度。
3
、
①
数线段
规律
：总数＝
1+2+3+…+
（点数
一
1
）；
②
数角规律
：总数
=1+2+3+…+<
/p>
（射线数一
1
）；
③
数长方形规律
：个数
=
长的线段数
×
宽的线段
数：
④
数正方形规律
：个数
=1×1+2×2+3×3+…+
行数
×
列数
教学内容
例
1
、
数出下面图形有多少条线段。
<
/p>
分析：
要正确解答这类问题，需要按照一定的顺序来数，做到不重
复、不遗漏，因此我们可以分别从
A
点、
B
点、
C
点出发数线段。
想一想：请你数一数下面图中各有多少条线段（注意：线段都是直的）<
/p>
例
2
、
数一数图中有多少个锐角。
分析：
数角的方法和数线段的方法类似，图中的
5
条射
线相当于线段上的
5
个点，因此要求图中有多少个锐角可根据公
式求解。
例
3
、
数一数下图中各有多少个三角形。
分析：
前图中
AD
边上的每条线段与
顶点
O
构成了一个三角形，也就是说
A
D
边上有几条线段就构成了几个三角形；后图与前图相
比，后图
中多了一条线段
A
'
D
'
,
三角形的个数应是
AD<
/p>
和
A
'
D
'
上面的线段与点
O
所围成的三角形个数的和。
想一想下图中共有多少个三角形
例
4
、
数一数图中有多少个长方形。
图
1
图
2
分析：
数长方形与数线段的方法类似，图
1
中长方形的个数取决于
AB
或
CD
边上的
线段；图
2
可以先算出
AB
边上的线段数，再把
AB
边上的每条线段作为长，
AD
边上的每条线段作为宽，每一个长配一个宽就组成长方形。
例
5
、
数一数图中有多少个正方形（每个小方格为边长是
1
的正方形）
。
分析：
图中边长是
1
个单位长度的正方形有
3
×
3=9
（个）
，边长是
2
个单位长度的正方形有
2
×
2=4
（个）
，边长是
3
个单位长度的
< br>正方形有
1
×
1=1
（个）
。所以图中的正方形总数为
1
×
1+2
×
2+3
×
3=14
（个）
。<
/p>
经进一步分析可以发现，
有相同的
n
×
n
个小方格组
成的
n
行
n
列
的正方形其中的小正方形总数为：
1×1+2×2+3×3+…+
n
×
n
。
例
6
从广州到北京的某次快车中途要
停靠
8
个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同的车票这些
车票中有多
少种不同的票价
分析：<
/p>
这道题是数线段的方法在实际生活中的应用，连同广州、北京在内，这条铁路上共有
10
个站，共有
1+2+3
< br>+
…
+8+9=45
（条）
线段，因此，要准备
45
种不同的车票，由
于这些车站之间的距离各不相同，因此，有多少种不同的车票，就有多少种不同的票价，
所以有
45
种不同的票价。
想一想：
你能在生活中找到一些能够转化为数线段问题的例子吗请你回答
下面两个问题：
（
1
）
、
在一次篮球比赛中，
6
个队
进行循环赛，
需要比赛多少场
（
2
）
10
个好朋友
两两握手，一共可以握多少次
思考题：
例
7
下图中共有多少个三角
分析：
为了保证不漏数而又不重复，我们可以分类来数三角形，分为包含有
1
个、
2
个、
3
个、
6
个小三角形组合成的三角形个数
，
然后再把各类三角形的个数相加。
例
8
数出右图中所有三角的个数。
分析：
同位置的三角形一起数，例如：
AFG
、
BGM
、
CIM
、
DIJ
、
JEF
是同类
。
例
9
数一数，下图中共有多少个三角形
。
练习：
1.
数下列图形中分别有多少条线段。
2.
下列图形中，各有多少个角
3.
下列图形中各有多少个三角形
<
/p>
4
．
数一数下图中各有多少个长方形。<
/p>
5
．
下列图形
中各有多少个正方形
6
．
（
1
）从上海到青岛的某次直快列车，中途停靠<
/p>
6
个大站，这次列车有几种不同的票价
（
2
）从成都到南京的快车，中途停靠
9
个大站，有几种不同的票价
7
．
数出下面图中分别有多少个三角形。
8.
图中共有（
）个三角形。
莱特
< br>1+1
思维教育辅导讲义
课
题
授课时间：
和倍问题
授课教师：
知
识
点
梳
理
1
、和倍问题：
已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个
数各是多少的问题叫
做和倍问题。
（
倍数
1
）
小数
和
<
/p>
2
、基本数量关系：
< br>
小数
倍数
大数
和
-
小数
大数
例
1
、
学校有科技
书和故事书共
480
本，科技书的本数是故事书的
3
倍，两种书各有多少本
分析：
为了便于理解题意，我们画图来分析：如果把故事书的本数看作
< br>1
份，那么科技书的本数就是这样的
3
< br>份，两种书的总份
数是＿份，可以把
480
本书平均分成＿份，
1
份是故事书的本数，
3
份就是科技书的本数。
例
2
、
果园里有梨树、
桃树和苹果树共
1200
棵，
其中梨树的棵树是苹果树的
3
倍，
桃树的棵树是苹果树的
4
倍，
求梨树、
桃树和苹果树各有多少棵
分析
：
如果把苹果树的棵树看作
1
份，三种树的总
棵树共有＿份，从而可以算出苹果树的棵树，再求出梨树和桃树的棵树。
例
3
、
有
< br>3
个书橱共放了
330
本书，第
二个书橱里的书是第一个的
2
倍，第三个书橱里的书是第二个的
4
倍，
每个书橱里各放了多少本书
分析：
把第一个书橱里的本数看作
1
份，那么第二个书橱里的本数是这样的
2<
/p>
份，第三个就是这样的＿份，三个书橱里的总本数
教学内容
是这样的＿份，所以第一个
书橱里放了＿本书，再求出第二个、第三个里放的书即可。
例
4
、
少先队员种柳树和杨树共
216
棵，杨树的棵树比柳树的
3
倍多
20
棵，两种树各种了多少棵
< br>
分析：
如果杨树少种
20
棵，那么杨树和柳树的总棵树是＿棵，这时杨树的棵树恰好是柳树的＿倍，于是柳树的棵树与
杨树的棵树
都可以算出来。
例
5
、
三个筑路队共筑路
1360
米，甲队筑的米数是乙队的
2
倍，乙队比丙队多
240
米，三个队各筑了多少米
分析
：把乙队的米数看作是
1
份，甲队筑的米数是这样的
2
份
，假设丙队多筑了
240
米，三队共筑了＿米，正好是乙队的＿
倍，再算
丙队筑的米数。
练习：
1.
一块长方形的黑板的周长是
96
分米，长是宽的
3
倍，这块长方形黑板的长和宽是多少分米
2
．
甲、乙、丙三数的和是
< br>360
，又知甲为乙的
3
倍，丙
为乙的
2
倍，求甲、乙、丙各是多少
3
．
三块钢板共重
621
千克，第一块的重量是第二块的
3
< br>倍，第二块的重量是第三块的
2
倍。三块钢
板各重多少千克
4
．
小花和小明参加数学竞赛，两人共得
168
分，小花的得分比小明的
2
倍少
42<
/p>
分，两人各得了多少
分
5
．
三个植树队共植树
190
0
棵，甲队植树的棵树是乙队的
2
倍，
乙队比丙队少
300
棵，三个队各植了
多少棵
6
．
全校共有
777
人参加三个兴趣小组，其中参加美术组的人数是
风筝组的
5
倍，参加风筝组的人数
是音
乐组的
6
倍。参加这三个兴趣小组的分别有多少人
7
．
春华小学共有学生<
/p>
212
人，其中男生人数比女生人数的
2
倍少
55
人，春华小学有男生、女生各
多
少人
8
．
希望小学新买进篮球、足球和排球共
58
只，排球的只数是足球的
2
倍，篮球比足球少
6
只。篮球、
足球和排球各买进多少只
莱特
1+1
思维教育辅导讲
义
课
题
授课时间：
长方形、正方形的周长
授课教师：
我们知道，长方形、正方
形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的
知
识
点
梳
理
周长。如何用
所学的知识巧妙求出表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周
长，还需要灵活运用所
学知识，掌握转化的思考方法，把复杂的问题转化为标准的
图形，以便计算他们的周长。
公式：
长方形的周长
=
（长
+
宽）×
2
正方形的周长
=
边长×
4
例题
1
.
一块长方形木板，
沿着它
的长度不同的两条边各截去
4
厘米，
截
掉的总面积为
192
平方厘米。
现
在这块木板的周长是多少厘米
分析：
把截掉的
192
平方厘米分成
A
、
B
、
< br>C
三块（如图）
，可先计算出
A
与
B
的和，把
A
、
B
移到一起拼成一个
宽
4
厘米的长方形，因此长方形的长就是这块木板剩
下的部分的周长的一半。
例题
2
.
求右图的周长。
（单位：厘米）
例题
3
、
如右图的正方形分成甲、乙两部分，下面哪几句话正确的
A
甲的周长比乙大
B
甲乙周长相等
C
甲的面积比乙大
D
甲乙面积相等
< br>分析：
可以从图中直接得出甲乙两图的大小关系。
例题
4
、<
/p>
如下图，阴影部分是正方形，
DF=6
厘
米，
AB=9
厘米。求最大的长方形的周长。
< br>
分析：
根据题意，可分析出最大长方形的宽就是正方形
的边长。因为
BC=EF,CF=DE,
所以，
AB+BC+CF=AB+FE+ED=9+6=15(
厘米
< br>)
。
练习：
1
、
有一个长方形，如果长减少
4
米，宽减少
2
米，面积就比原来减少
44
平方米
，且剩下部分正好是一
个正方形，求这个正方形的周长。
2
、有两个相同的长方形，长是
8
厘米，宽是
3
厘米，如果按右图所示叠放在一起
，这
个图形的周长是多少
3
、求下列图形的周长
（单位：厘米）
。
< br>4
、
一个长
12
厘米，
宽
2
厘米的长方形和两
个正方形正好拼成下图长方形，
求所拼长
方形的周长。
5
、有一张长
40<
/p>
厘米，宽
30
厘米的硬纸板，在四个角上
各剪去一个同样大小的正方
教学内容