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2021年2月27日发(作者：建军大业豆瓣)

第一讲

:

分数的速算 与巧算

教学目标

< br>本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型

.

1

、

裂项：

是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要 求学生掌握裂项技巧及寻找

通项进行解题的能力

2

、

换元：

让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。

3

、

< br>循环小数与分数拆分：

掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运 算，涉及循环小数与分数的主要利

用运算定律进行简算的问题．

4

、通项归纳法

通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过 程更加简

便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形 式．

知识点拨

一、裂项综合

（一）

、

“裂差”型运算

(1)< /p>

对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即

1

形式的，这里我们把较小的数写在前面，即

a



< p>
b

，那么有

a



b

1

1

1

1



(



< br>)

a



b

b



a

a

b

(2)

对于分母上为

3

个或

4

个连续自然数乘积形 式的分数，即：

1

1

，

形式的，我们有：

n



(

n



1)



(

n

< p>


2)

n



(

n



1)



(

n



2)



(

n



3)

1

1

1

1



[

< /p>

]

n



(

n



1)



(

n



2)

2

n



(

n



1)

< br>(

n



1)(

< br>n



2)

1

1

1

1



[



]

n< /p>



(

n



1)



(

n



2)



(

< p>
n



3)

3

n



(

n

< br>

1)



(

n



2)

(

n



1)



(

n



2)



(

n



3)< /p>

裂差型裂项的三大关键特征：

（

1

）分子全部相同，最简单形式为都是

1

的，复杂形式可为都是

x(x

为任意自然数

)

的，但是只要将

x

< br>提取出来即可转

化为分子都是

1

的运算。

（

2

）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻

2

个分母 上的因数“首尾相接”

（

3

）分母上几个因数间的差是一个定值。

（二）

、

“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

a

2



b

2

a

2

b

2< /p>

a

b

a



b

a

b

1

< p>
1

（

1

）

















（

2

）< /p>

a



b

a



b

a



< p>
b

b

a

a



b

a



b

a



b

b

a

裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是

“两两抵消达到简化的目的”

，

裂和型运算的题目不仅有

“两两抵消”

型的，

同时还有转化为

“分

< br>数凑整”型的，以达到简化目的。

三、整数裂项

1

(

n



1)



n



(

n



1)

3

1

(2)

1



2



3< /p>



2



3



4



3

< p>


4



5



...



(

n



2)



< br>(

n



1)



n



(

n



2)(

n



1)

n

(

n



1)

4

(1)

1



2



2

< /p>

3



3



4



...



(

n



1)



n



二、换元

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而 使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转

化，将复杂的式子化繁为简．

< p>

第

1

页

共

10

页

三、循环小数化分数

1

、循环小数化分数结论：

纯循环小数

混循环小数

循环小数去掉小数点后的 数字所组成的数与不循环部分数字

所组成的数的差

分子

循环节中的数字所组成的数

分母

n

个< /p>

9

，其中

n

等于 循环节所含的数字个数

按循环位数添

9

，不循环位数添

0

，组成分母，其中

9

在

0

的左侧

0.

a

< /p>

·

·

·

·

·

·

·

abc



a

a

ab

ab

1

ab

；

0.

ab

< /p>

；

0.0

ab



；

< br>0.

abc



，„„

< p>





990

< p>
9

99

99

10

990

2

、单位分数的拆分：

< br>

例：

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1< /p>

=

=

=

=

=





< p>






10

20

20













< br>



















分析：分数单位的拆分，主要方法是：

从分母

N

的约数中任意找出两个< /p>

m

和

n,

有：< /p>

1

1(

m



n

)

m

n

1

1

=



< br>





N

N

(

m



n

)

N

(

m



n

)

N

(

m



n

)

A

B

本题

10

的约数有

:1,10,2,5.

< br>。

例如：选

1

和

2

，有：

1

1(1



2)

1

2< /p>

1

1











< p>
10

10(1



2)

10(1



2)

1 0(1



2)

30

15

本题具体的解有：

1

1

1

1

1

1

1

1

1











< br>





10

11

110

12

60

14

35

15

30

1

1

1

1

1



< br>







< br>

1



2



3



4

2



3



4



5

3



4



5



6

6



7

< br>

8



9

7



8



9



10

例题精讲

模块一、

分数裂项

【例

1

】

3

3

3

【

巩

固

】





... ...



1



2



3



4< /p>

2



3



4



5

17



18



19



20

【例

2

】

计算：

5

7

19

< /p>









．

< br>1



2



3

2



3



4

8



9



10

【

解

析

】

如

< p>
果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而 是成等差

数列，且等差数列的公差为

2

．相比较于

2

，

4

，

6

，„„这一公差为

2

的等差数列

(

该数列的第

n

个数恰好为

n

的

< br>2

倍

)

，原式中分子所成的等差 数列每一项都比其大

3

，所以可以先把原式中每一项的分子都分 成

3

与另一个的和

再进行计算．也可以 直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为

2

n



3

，所以

2

n



3

2

3

，

再

将< /p>

每

一

项

的





n



< p>


n



1







n



2





n



1



< /p>

n



1



2







< p>
n



2



n







n



3

分别加在一起进行裂项．后 面的过程与前面的方法相同．

n

< /p>



n



1







n

< p>


2



第

2

页

共

10

页

2

与



n



1







n



2



【

巩

固

】

计

算：

1155



（

5

7

17

19





< br>





）

2



3



4

3



4



5

8



9



10

9



< p>
10



11

【

< p>
巩

固

】

计

算：

3

4

5

12











1



2



4



5

< br>2



3



5



6

3



4



6



7

10



11



13



14

【例

3

】

1

2

3

4

9













2

2

< br>

3

2



3



4

2



3



4



5

2



3



4





10

1

1

1

1

【例

4

】



< /p>







1

1



2

1



2



3

1



2



< br>



100

【

< br>解

析

】

本

题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要 从最简单的项开始入手，

1

1

2

通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有



，



1

(1



1)



1

1



2

< br>2

1

1

2

，„„，





< br>1



2

(1



2)



2

2



3

2

【例

5

】

1

1

1

1

1

1













.

2

2< /p>

2

2

2

2

3



1

5

< p>


1

7



1

9



1

11



1

13



1

第

3

页

共

10

页

2

2

【

解

析

】

这

题是利用平方差公式进行裂项：

a



b



(

a



b

)



(

a



b

)< /p>

，

1

1

1

3

1999







【例

6

】

2



1

1

1

1

1< /p>

1

1



(1



)



(1



)

(1



)



(1



< p>
)







(1



)

2

< br>2

3

2

3

1999

1



2

1



2



3

1



2



3

< br>

4

1



2



3







50











2

2



3

2



3



4

2



< br>3







50

(1



n

)



n

n



(

n



1)< /p>

2



【

解

析

】

找

< p>
通项

a

n



(1



n

)



n

n



(

n



1)



2



1

2

【例

7

】

1

2

1

2



2

2

1

2



2

2



3

< br>2

1

2



2

2



3

2



4

2

1

2



2

2



26

2

【例

8

】

3



3







3

1

1



2

3

1

3



2

3



3

< br>3

1

3



2

3



3

3



4

3

1



2

3



26

3

n



(

n



1)



(2

n



< p>
1)

2

2

2

1



2



< br>

n

2

2

n



1

2

1

1

6

a

n< /p>



3











(

< p>


)

【

解

析

】

n

2



(

n



1)

2

1



2

3





n

3

3

n



(

n

< p>


1)

3

n

n



1

4

< br>

2

2

3

2

99

2

【例

9

】

计算：

2









2



2



1

< br>3

2



1

99



1

2

2



n



1< /p>





n



1





【

< p>
解

析

】

通

项公式：

a

n



，



< br>n



1



1



n



1



1



n< /p>



n



2



第

4

页

共

10

页

1

2

2

2

99

2

【

巩

固

< p>
】

计

算：

2







< br>

2



1



100



5000

2

2



200



5000

< br>99



9900



5000

n

2

【

< p>
解

析

】

本

题

的

通

项

公

式

为

2

，

没

办

法< /p>

进

行

裂

项

之

类

的

处

< p>
理

．

注

意

到

分

母

n



1

0

n

0



5

0

0< /p>

0

n

2



100

n



5000



5000



n



100



n





5000





100



n







1 00





100



n







，

可

以

看

出

如

果

把

n

换

成

100



n

的

话

分

母

的

值

< br>不

变

，

所

以

可

以

把

原

式

子

中

的

分

数

两

两

组

合

起

来

，

最

后

单

< br>独

剩

下

一

个

50

2

．将项数和为

100

的两项相加，得

5 0

2



5000



5000

2

2

n

2





100



n





100



n



n

2

2

n< /p>

2



200

n< /p>



10000







2



2< /p>

，

n

2



100

n



5000



100



n



2



100



100



n





500 0

n

2



10 0

n



5000

n



100

n



5000

所以原式



2



49



1



99

．

< br>（或者，可得原式中

99

项的平均数为

< br>1

，所以原式



1



99



99

）

1

1





1

1

1



1



【例

10

】

24









< /p>















2

< p>


2



2

2

2

2

2



3

4



5

20



2 1

1



2

1< /p>



2







10









1

1

1

1

1

< br>1

1

【

解

析

】

虽

然 很容易看出

＝



，

＝



„

„可是再仔细一看，并没有 什么效果，因为这不象分数裂项

2



3

2

3

4



5

4

5

那

样

能

消

去

很

多

项

．

< br>我

们

再

来

看

后

面

的

式

子

，

每

一

项

的

分

母

容

易

让

我

们

想

到

公

< br>式

，

于

是

我

们

又

有

1

6

．

．减号 前面括号里的式子有

10

项，减号后面括号里的式子

< p>
＝

2

2

2

2

n



(

n



1

)



(

2

n

< /p>

1

)

1



2



3



< p>




n

也恰好有

10

项，是不是“一个对一个”呢？

模块二、换元与公式应用

3

3

3

3

3

3

3

3

< br>【例

11

】

计< /p>

算：

1



3



5



7



9



11

< p>


13



15

< p>

第

5

页

共

10

页

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