分数的巧算教师版
-
分数的速算与巧算
（一）
分数巧算（求和）
分数求和的常用方法
：
1
、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。
2
、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思
，用图表示出来，从而找出简便方法。
3
、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以
< p>互相抵消，从而使计算简便。
4
、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。
5
、代入法，将算式中的某些部分用字母代替
并化简，然后再计算出结果。
典型例题
一、公式法：
1
2
3
4
2006
< br>2007
计算：
+
+
+
+
…
+
+
2008
2008
2008
2008
2008
< br>2008
1
分析：
这道题中相邻
两个加数之间相差
，
成等差数列，
我们
可以运用等差数列求和公式：
（首
2008
项
+
末项）×项数÷
2
来计算。
1
2
3
4
2006
2007
+
+
+
+
…
+
+
2008
2008
2008
2008
2008
2008
1
2007
=
（
＋<
/p>
）×
2007
÷
2
2008
2008
1
=
1003
2
二、图解法：
1
1
1
1
1
1
计算：
＋
＋
＋
＋
＋
<
/p>
2
4
8
16
32
64
分析：解法一，先画出线段图：<
/p>
从图中可以看出：
< br>1
1
63
1
1
1
1
1
＋
＋
＋
＋
＋
=1
－
=
64
64
2
4
8
16
32
64
1
，就能
64<
/p>
解法二
:
观察算式，可以发现后一个加数
总是前一个加数的一半。因此，只要添上一个加数
1
，依次向前
类推，可以求出算式之和。
32
1<
/p>
1
1
1
1
1
＋
＋
＋
＋
＋
2
4
8
16
< br>32
64
1
1
< br>1
1
1
1
1
1
=
＋
＋
＋
＋
＋（<
/p>
＋
）－
64<
/p>
64
64
2
4<
/p>
8
16
32
1<
/p>
1
1
1
1
1
1
=
＋
＋
＋
＋（
+
）－
64
2
4
8
16
32
32
……
1
63
1
=
×
2
－
=
64
64
2
凑成
第
1
页
共
29
页
解
法三：由于题中后一个加数总是前一个加数的一半，根据这一特点，我们可以把原式扩大
2
倍，然
后两式相减，消去一部分。
1
1
1
1
1
1
设
x=
＋
＋
＋
＋
＋
①
2
4
8
16
32
64<
/p>
1
1
1
1
1
1
那么，
2x=<
/p>
（
＋
＋
＋
＋
＋
）×
2
2
4
8
16
32
64
1
1
1
1
1
=1+
＋
＋
＋
＋
②
2
4
8
16
32
用②－①得
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2x
－
x=1+
＋
＋
＋
＋
－（
＋
＋
＋
＋
＋
）
2
4
8
16
32
2
4
8
16
32
64
63
x=
64
1
63
1
1
1
1
1
< br>所以，
＋
＋
< br>＋
＋
＋
=
2
4
8
1
6
32
64
64
三、裂项法
1
< br>1
1
1
1
1
1
1
、计算：
+
＋
＋
＋
＋……＋
＋
2
6
12
20
30
90
110
分析：
由于每个分数的
分子均为
1
，先分解分母去找规律：
2
=1
×
2
，
6
=2
×
3
，
1
2=3
×
4
，
20=4
×
5
，
30=5
×
6
，……
110=10
×
11
，这些分
母均为两个连续自然数的乘积。
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
再变数型：因为
=
=1
－<
/p>
，
=
=
－
，
=
=
－
，……，
=
=
-
110
10
11
10
2
1
2
2
6
2
3
2
3
12
3
4
< br>3
4
1
。这样将连加运算变成加
减混合运算，中间分数互相抵消，只留下头和尾两个分数，给计算带来
11
方便。
1
1
1
1
1
1
< br>1
+
＋
＋
＋
＋……＋
＋
2
6
12
20
30
90
110
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=1
－
＋
－
＋
－
＋……＋
－
＋
-
9
10
10
11
2
2
3
3
4
1
=1
－
11
10
=
11
1
1<
/p>
1
1
1
2
、计算：
＋
＋
＋……
＋
＋
29
33
33
3
7
1
5
5<
/p>
9
9
13
1
4
1
1
1
4
1
4
1
4
4
< br>1
1
1
分析：因为
=1
－
，
=
－
，
=
－
……
=
－
，
=
－
。
5
5
9
5
9
9
13
9
13
29
33
29
33
33
<
/p>
37
33
37
1
5
所以，我们可以将题中的每一个加
数都扩大
4
倍后，再分裂成两个数的差进行简便计算。
1
1
1
1
1
＋
＋
< br>＋……＋
＋
29
33
33
37
1
5
5
9
9
13
4
4
4
4
4
=
（
＋
＋
＋……＋
＋
）÷
4
29
33
33
37
1
5
5
9
9
<
/p>
13
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=
（
1
－
＋
－
< br>＋
－
＋……＋
－
＋
－
）÷
4
5
5
9
9
13
29
33
33
37
第
2
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共
29
页
1
9
）÷
4=
37<
/p>
37
4
4
4
4
4
4
4
4
3
、计算：
21
－
－
－
－
－
－
－
－
3
15
35
63
99
143
195
255
1
1
4
1
1
分析：因为
=
4
×
=4
×
=
4
×（
1
－
）
×
,
3
3
3
1
3
2
1
1
1
4
1
1
=4
×
=4
×
=4
×
(
－
)
×
,
3
5
3
5
15<
/p>
15
2
1
1
1
4
1
1
=4
×
=4
×
=4
×
(
－
)
×
,
5
7
5
7
35
35
2
……
1
4<
/p>
1
1
1
1
=4
×
=4
×
=4
×
(
－
)
×
.
15
17
255
255<
/p>
15
17
2
所以
，先用裂项法求出分数串的和，使计算简便。
4
4
4
4
4
< br>4
4
4
21
－
－
－
－
－
－
－
－
<
/p>
3
15
35
63
99
143
195
255
1
1
1
1
1
1
1
1
=21
－
4
×
（
1
－
+<
/p>
－
+
－
＋……＋
－
）×
3<
/p>
3
5
5
7
15
17
2
1
=21
－
2
×
(1
－
)
17
2
=19
17
29
9701
9899
1
5
11
19
4
、计算：
＋
＋
＋
＋
＋……＋
＋
9702
9900
2
6
12
20
30
=
（
1<
/p>
－
1
1
1
5
1
分析：
仔细观察
后发现，
每个加数的分子均比分母少
1.
这样可变形为：
=1
－
=1
－
，
=1
－
1
2
6
2
2
6
1
1
19
1
1
9899
1
1
11
< br>1
=1
－
，
=1
－
=1
－
，
=1
－
=1
< br>－
，……，
=1
－
=1
－
.
然后
2
3
12
3
4
20
< br>20
4
5
9900
9900
99
100
12
再裂项相消。
29
9701
9899
1
5
11
19
＋
＋
＋
＋
＋……＋
＋
9702
9900
2
6
12<
/p>
20
30
1
1<
/p>
1
1
1
=
（
1
－
）＋（
1
－
）＋（
1
－
）＋
(1
－
)
＋……＋
(1
－<
/p>
)
20
9900
2
6
12
1
1
1
1
1
=1
×
99
－
(<
/p>
＋
＋
＋
＋……＋
)
9900
2
6
12
20
1
1
1
1
1
=
99
－
(
＋
＋
＋
＋……＋
)
1
2
2
3
3
4
4
5
99
100
1
=99<
/p>
－
(1
－
) <
/p>
100
1
=99
100
1
1
1
1
5
、计算
：
1
＋
+
……
+
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
<
/p>
......
100
< br>分析：可以看出，第一项的分母为
1
，第二项的分母为两
个数相加，依此类推，最后一个分母是
100
个数相加且都是等
差数列。这样，利用等差数列求和公式，或利用分数基本性质，变分母为两个数相
乘。再
裂项求和。
1
1
1
1
解法一：
1
< br>＋
+
……
+
1
2
1
2<
/p>
3
1
2
3
4
1
2
3
......
100
第
3
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29
页
1
2
1
1
1
1
+
......<
/p>
(
1
2
)
2
(
1
3
)
3
(
1
4
)
4
(
1
<
/p>
100
)
10
0
1
2
2<
/p>
2
2
2
2
2
2
2
2
=
......
1
2
2
3
3
< br>4
4
5
100
101
1
< br>=2
×（
1
－
< br>）
101
99
=
1
101
解法二：原式
=
=
2
1
< br>2
1
2
1
2
1
2
......
=
1
2
2<
/p>
(
1
2
)
2
(
1
2
3
)
2
(
1
2
3
4<
/p>
)
2
(
1
2
......
99
<
/p>
100
)
2
2<
/p>
2
2
......
1
2
2
3
3
4
100
101
1
1
1
1
=2
×（
）
......<
/p>
1
2
2
3
3
4
100
101
1
=2
×（
1
－
）
101
99
=
1
101
1
1
1
1
6
、计算
：
…＋
1
2
3
2
3
4
3
4
5<
/p>
98
99
<
/p>
100
分析：可以把题中的每两个加数分解成两个分数之差：
1
1
1
1
1
1
1
1
(
< br>
)
，
(
)
，
……
1
2
3
2
1
2
2
3
2
3
4
2
2
< br>
3
3
4
1
1
1
1
(
)
，此时，可消中间，留两头进行巧算。
98
99
100
2
98
99
99
100
1
1
1
1
1
1
1
1<
/p>
1
原式
=
×（<
/p>
）＋
×（
）
+<
/p>
……＋
×（
）
98<
/p>
99
99
<
/p>
100
1
2<
/p>
2
3
2
3
3
4
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
=
×（
＋
＋……＋
）
1
2
2
<
/p>
3
2
3
3
4
98
99
99
100
2
1
1
1
=
×（
）
1
2
99
100
2
4949
=
19800
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10<
/p>
四、分组法
：计算，
+
< br>－
－
＋
＋
－
－
＋
＋
2
004
2004
2004
2004
2004
2004
2004
2004
2004
2004
1
999
2000
2001
2002
－……－
－
＋
＋<
/p>
2004
2004
2004
2004
2
2001
分析：
算式中共有
2002
个分数，
从第二个分数
开始依次往后数，
每四个分数为一组，
到
为
2
004
2004
止，共有
500
组，每组计算结果都是
0.
1
2
3
4
5
< br>6
7
8
9
10
原式
=
+
（
－
－
＋
）
＋（
－
－
＋
）
＋
－……
+
2004
< br>2004
2004
2004
20
04
2004
2004
2004
2004
2004
1998
< br>1999
2000
2001
20
02
（
－
－
＋
）＋
2004
2004
2004
2004
2004
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1
2002
+
2004
2004
2003
=
2004
=
1
1
1
1
1
1
1
< br>1
1
1
1
1
1
1
五、代入法
< br>：
计算（
1+
）×（
）－（
1
＋
）×（
）
2
3
4
2
3
4
5
2
3<
/p>
4
5
2
3
4
分析：可以把算式中相同的一部分式子，设字母代替，可化繁为简，
化难为易。
1
1
1
1
1
1
1
设
=A
，
=B
，则
2
3
4
2
3
4
5
原式
=
（
1+A
）×
B
－
(1+B)
×
A <
/p>
=B
＋
AB
－<
/p>
A
－
AB
=B
－
A
1
1
1
1
1
1
1
=(
)
－
(
)
2
3
4
5
< br>2
3
4
1
=
5
热点习题
计算：
1
3
5
7
9
11<
/p>
13
1
、
【
1
】
49
49
49
49
49
49
49
1
1
1
1
1
1
1
1
2
、
1
< br>
【
】
2
4
8
16<
/p>
32
64
128
128
1
1
1
1
1
1
6
3
、
< br>
【
】
2
6
12
20
30
42
7
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5
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29
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1
1
1
1
1
......<
/p>
1988
1989
1989
< br>1990
1990
1991<
/p>
2007
2008
2008
2009
1
1
3
【
】
1988
2009
570556
1
1
1
1
1
1
4
、
【
】
< br>
......
13
15
15
17
17
19
35
37
37
39
39
1
1
1
1
1
5
6
、
2+
3
5
7
11
13
【
41
】
< br>6
12
20
30
42
14
1
5
11
19
29
41
55
1<
/p>
【
6
】
7
、
2
6
12
20
30
42
56
8
4
、
第
6
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共
29
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8
、
4
16
36
64<
/p>
100
144
196
256
324
400
10
【
10
】
3
15
35
63
99
143
195
255
323
399
21
5
7
9
11<
/p>
13
15
17
1
9
21
6
12
20
30
42
56<
/p>
72
90
110
2
3
3
<
/p>
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
【原式
=1
－
＋
－
+
-
+
－
+
－
4
5<
/p>
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
2
< br>3
3
4
2
3
3
4
4
5
10
11
=
1
－（
）
+
（
）－
(
)+
…
－（
）
2
3
2
3
3
4
3
4
4
< br>5
4
5
10
11
10
11
1
1
1
1
1
1
1
1
=1
－
(<
/p>
)+(
)<
/p>
－
(
)+
…－
(
)
3
2
4
3
5
4
11
10
1
1
9
=1
－
=
】
2
11
22
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1995
1996
10
、
+
+
+
－
－
－
－
＋
＋
＋…＋
＋
2002
20
02
2002
2002
2002
2002
2002
2002
< br>2002
2002
2002
20
02
1997
1998
1999
2000
2001
2002
< br>－
－
－
－
＋
＋
2002
2002
2002
2002
200
2
2002
3
2002
【从第三个分数
开始依次往后数，每
8
个分数为一组，到最后一个分数
为止，共有
250
2002
2002
3
1
2
组，每组计算结果都是
0.
所以，原式
=
+
=
】
2002
2002
2002
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
< br>1
1
1
1
1
11
、
(1+
)
×（
）－
(1+
)
×<
/p>
(
)
2
3
4
5
2
3
4
5
6
2
3
< br>4
5
6
2
3
4
5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
【设
1+
=A
，
=B
，原式
=A
×（
B+
）－（
A+
）×
B=
】
2
3
4
5
2
3
4
5
6
6
6
9
、
1
第
7
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1
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
18
19
）
(
< br>
)
(
)
(
)
+
…
+
（
...
2
3
3
4
4
4
< br>5
5
5
5
20
20
20
20
< br>20
1
1
1
1
1
1
【原式
=
+1+
1
+2+2
+
…
+9
=
（
+9
）×
19
÷
2=95
】
2
2
2
2
2
2
1921
1921
< br>13
、
2001
年是中国共产党
建党
80
周年，
是个有特殊意义的分数
。如果下式大于
，那么
n
2001
2001
最小等于多少？
12
、
1
1
< br>1
1
......
1
2
2
3
3
4
n
(
n<
/p>
1
)
【
1
－
1
1921
1
＞
，
n
＞<
/p>
24
】
n
1
2001
8<
/p>
14
、
1
2
3
4
－……－
1
(
1
2
)
(
1
2
)
(
1
2
3
)
(
1<
/p>
2
3
)
(
1
2
3
4
)
10
< br>
(
1
2
3
.
.....
9
)
(
1
2
3
..
....
10
)
【先对分母用等差数列求和，再整体裂项求和。
4
4
4
4
原式
=1
－
－…－
1
2
3
2
3
4
3
4
5
9
10
11
1
1
1<
/p>
1
1
1
1
1
1
=1
－
4
×
[
×
(
< br>)+
×
(
)
＋…＋
×（
）
< br>9
10
10
< br>
11
2
2
1
2
2
3
2
2
<
/p>
3
3
4
1
1
1
1
=1
－
4
×
×（
）
=
】
1
2
10
11
2
55
1
1
1
1
2
2
.......
< br>
15
、
2
2
2
1
4
1
6<
/p>
1
100
<
/p>
1
【利用公式
第
8
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1
1
1
1
1
1
1
50
变形各项。原式
=
】
=
2
a
1
2
a
1
a
1
<
/p>
2
2
1
100
1
101
（二）分数巧算（
复杂的裂项型运算
）
复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再
把所有的乘
积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最
前面一
项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加
1
的乘积。
整数裂项口诀：等差数列数
，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前
伸，差数除以
N
。
N
取什么值，两数相乘积。公差
要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，
当伸展数小于
0
时，可以取负数，当然是
积为负数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算
出
后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过
变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
一、整数裂项
(1)
1
2
< br>2
3
3
4
.
..
(
n
1)
n
<
/p>
(
n
1)
n
(
n
1)
(2)
1
2
3
2<
/p>
3
4
3
4
5
...
(
n
2)
(
n
< br>
1)
n
(
n
2)(
n
1)
n
(
n
1
)
【例
1
】
计算：
1
3
2<
/p>
4
3
5
4
6
1
3
1
4
99
101
【巩固
】
计算：
3
5
5
7<
/p>
7
9
【例
2
】
计算
10
1
6
22
1
6
22
2
8
97
99
99
101
7
0
76
8
2
76
8
2
88
【例
3
】
计算
1
×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100
第
9
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【巩固
】
3
3
<
/p>
3
4
4
4
【例
4
】
计算：
1
1
1<
/p>
2
2
2
3
3
3
79
< br>79
79
< br>
99
99
< br>
99
100
100
100
【例
5
】
1
<
/p>
1
2
1
2
3
1
2
3
4
<
/p>
1
2
3
100
【巩固
】
3
3<
/p>
6
3
6
9
第
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3
6
300
二、分数
“
裂和
”
型运算
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
a
2
b
2
a
2
b
2<
/p>
a
b
a
b
a
b
1
1
（
1
）
（
2
）<
/p>
a
b
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
b
a
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，
裂和型
运算的题目不仅有“两两抵消”型的，
同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目
的。
5
1
7
1
9
1
，
，
< br>
6
2
12
3
20
4
11
1
13
1
15
1
，
，
< br>
30
5
42
< br>6
56
7
5
7
9
11
13
15
17
19
【巩固】
计算：
1
6
12
20
30
42
56
72
90
【例
6
】
填空：
5
6
6
7
7
8
8
9
9
< br>10
【例
7
】
<
/p>
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
【巩固】
第
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29
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3
5
6
7
5
7
9
11
13
6
12
20
30
42
1
3
2
5
7
9
10
11
19
【例
8
】
计算：
3
4
5
7
8
20<
/p>
21
24
35
【巩固】
1
1
1
1
1
20
10
26
38
27
【例
9
】
<
/p>
2
3
30
31
41
51
119
120
123
12
4
1
3
2
5<
/p>
3
7
9
11
17
25
<
/p>
7
12
20
28
30<
/p>
42
【巩固】
<
/p>
第
12
页
共
29
页
35
49
63
77
91
105
3
1
<
/p>
1
6
12
20
30
42
56
8
8
【例
10
】
1
2
2
2
2
2
3
2
18
2
19
2
19
2
20
2
1
2
2
3
18
19
19
20
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
3
2
< br>1
2
2
2
3
2
4
2
1
2
2
2
26
2
3
【巩固】
3
3
1
< br>1
2
3
1
3
2
3
3
3
1
3
2
3
3
3
4
3
1
< br>2
3
26
3
(
2
2
4
2
6
2
......
100<
/p>
2
)
(
1
2
3
2
5
2
......
99
2
)
1
2
3
......
10
9
8
......
1
【利用
a
2
b
2
a
b
a
b
变形，分母
=100
，分子
=
（
2+1
）
（
2-1
）
+
（
4+3
）
（
4
-3
）＋…＋（
100
＋
99
）
（
100-99
）
=3
＋
7
＋
11
＋…＋
199
=101
×
50,
原式
=
第
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1
01
50
1
=
50
】
100
2
课堂测试
1
、
1
4
<
/p>
4
7
7
10
49
52
=
2
、
计算：
1
5
6
7
12
9
20
11
30
13
42
15<
/p>
56
17
72
19
90
2
3
、
1
2
2
2
2
2
3
2
< br>2004
2005
2
2005
2
2006
2
1
2
2
3
2004
2005
2005
2006
5
、
1
1
1
2
2
< br>
1
1
3
2
1
1
1
99
2
1
第
14
页
共
29
页
1
4
1
5
7
12
9
8
17
5
20
15
30
12