2019-2020学年高中数学 2.3等差数列前n项和教学设计 新人教A版必修5.doc
-
2019-2020
学年高中数学
2.3
等差数列前
n
项和教学设计
新人教
A
版必修
5
【教学目标】
一、知识与技能
1.
掌握等差数列前
n
项和公式；
2.
体会等差数列前
n
项和公式的推导过程
;
3.
会简单运用等差数列前
n
项和公式。
二、过程与方法
1
．
通过对
等差数列前
n
项和公式的推导
,
体会倒序相加求和的思想方法；
2.
通过公式的运用体会方程的思想。
三、情感态度与价值观
结合具体模型
,
将教材知识和实际生活联系起来
,<
/p>
使学生感受数学的实用性
,
有效激发学习
兴趣
,
并通
过对等差数列求和历史的了
解
,
渗透数学史和数学文化。
【教学重点】
等差数列前
n
项和公式的推导和应用。
【教学难点】
在等差数列前
n
项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法。
【重点、难点解决策略】
本课
在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。利用数形结合、类比归纳的思想，层
< br>层深入，通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理< /p>
解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。
【
教学用具
】
多媒体软件，电脑
【
教学过程
】
一、明确数列前
n
项和的定义，确定本
节课中心任务
:
本节课我们来学习《等差数列的前
n
项和》，那么什么叫数列的前
n
项和呢，对于数列
{a
n
}<
/p>
：
a
1
，
a
2
，
a
3
，…，
a
n
，…我们称
a
1
+a
2
+a
3
+
…
+a
n
为数列
{a
n
}
的前
n
项和，用
s
n<
/p>
表示，记
s
n
=
a
1
+a
2
+
a
3
+
…
+a
n
，
如
S
1
=a
1
，
S
7
=a
1
+a
2
+a
3
+
……
+a
7
，下面我们来共同探究如何求等差数列的前
n
项和。
二、问题牵引，探究发现
问题
1
：（播放媒体资料情景引入）印度泰姬陵世界七大奇
迹之一。传说陵寝中有一个三角形图案，以相
同大小的圆宝石镶饰而成，共有
100
层（见图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少
圆宝石吗？
即
: S
100
=
1+2+3+······+100=？
著名数学家高斯小时候就会算，闻名于世
;
那么小高斯
是如何快速地得出答案的呢？请同学们思考高
斯方法的特点，适合类型和方法本质。
特点：
首项与末项的和：
1
＋
100
＝
101
，
第
2
项与倒数第
2
项的和：
2
＋
99
＝
101
，
第
3
项与倒数第
3
项的和：
3
＋
98
＝
101
，
· · · · · ·
第
50
项与倒数第
50
项
的和：
50
＋
51
＝
101
，
于是所求的和是：
101
×
50
＝
5050
。
1+2+3+ ······ +100=
101×
50 = 5050
同学们讨论后总结发言：等差数
列项数为偶数相加时首尾配对，变不同数的加法运算为相同数的乘法
运算大大提高效率。
高斯的方法很妙，如果等差数列的项数为奇数时
怎么办呢？
<
/p>
探索与发现
1
：
假如让你计算从第一层到第
21
层的珠宝数，
< br>高斯的首
尾配对法行吗？
即计
算
S
21
=1
+2+3+ ······ +
21
的值，在这个过程中让学生
发
现当项数为奇数时，首尾配对出现了问题，通过动画演示引导帮助学
< br>生思考解决问题的办法，为引出倒序相加法做铺垫。
把
“全等三角形”倒置，
与原图构成平行四边形。
平行四边形中的
每行宝石的个数均为
21
个，
共
21
行。
有什么启发
？
1
+
2 + 3 +
……
+20 +21
21 + 20 + 19 +
……
+ 2 +1
S
21
=
1+2+3+
…
+21=
（
21+1
< br>）×
21
÷
2=231
这个方法也很好，那么项数为偶数这个方法还行吗？
探索与发现
2
：第
5<
/p>
层到
12
层一共有多少颗圆宝石？
学生探究的同
时通过动画演示帮助学生思考刚才的方法是否同样可行？请同学们自主探究一下
（老师演
示
动画帮助学生）
S
8
=5+6+7+8+9+10+11+12=
8
(
5
12
)
68
2
【设计意图】
进一
步引导学生探究项数为偶数的等差数列求和时倒序相加是否可行。
从而得出倒序相加法<
/p>
适合任意项数的等差数列求和，最终确立倒序相加的思想和方法！
好，这样我们就找到了一个好方法——倒序相加法！现在来试一试如何求下面这个等差数
列的前
n
项
和？
问题
2
：等差数列
1,2,3,
,n,
…
…
的前
n
项和怎么求呢？
解
:
（根据前面的学习，请学生自主思考独立完成）<
/p>
s
n
1
2
3
(
n
1)
< br>n
2
1
s
n
n
(
n
1)
(
n
2)
2
s
n
(1
n
)
(1
n
< br>)
n
(1
n
)
n
(
n
1)
s
n
2
【设计意图】强化倒序相加法的理解和运
用，为更一般的等差数列求和打下基础。
至此同学们已经掌握
了倒序相加法，相信大家可以推导更一般的等差数列前
n
项和公
式了。
问题
3
：对于一般的等差数列
{a
n
}
首项为
a
1
，公差
为
d
，如何推导它的前
n
项和
s
n
公式呢？
即求
n
=a
1
+a
2
+a
3
+
……
+a
n
=
s
S
n
a
1
a
2
a
n<
/p>
(1)
S
n
a
n
<
/p>
a
n
1
a
1
(2)
a
1
a
n
a
2
a
n
1
a
3
< br>a
n
2
a
n
a
1
∴（<
/p>
1
）
+
（
2
）可得：
2
S
n
n
(
a
1
a
n
)
∴
< br>S
n
n
(
a
1
a
n
)
2
n
(
n
1
)
d
2
公式变形：
将
a
n
a
1
(
n
< br>1
)
d
代入可得：
S
n
na
1
【
设计意图
】
学生在前面的探究基础上水到渠成顺理成章很快就可以推导出一般等差数列
的前
n
项和公
式，从而完成本节课的中
心任务。在这个过程中放手让学生自主推导，同时也复习等差数列的通项公式和
基本性质
。
三、公式的认识与理解：
1
、根据前面的推导可知等差数列求和的两个公式为：
S
n
n
(
a
1
a
n
)
（公
式一）
2
S
n
n
(
a<
/p>
1
a
n
)
n
(
n
1
)
na
1
d
< br>（公式二）
2
2
探究：
1
、
（
1
）相
同点：
都需知道
a
1
与
n;
（
2
）不同点：
第一个还需知道
a
n
，第二个还需知道
d;
（
3
）明确若
a
1
< br>,d,n,a
n
中已知三个量就可求
S
n
。
2
、两个公式共涉及
a
1
, d, n, a
n
，
S
n
五个量，“知三”可“求二”。
<
/p>
2
、探索与发现
3
：等差数列前
n
项和公式与梯形面积公式有什么联系？
用梯形面积公式记忆等差数列前
n
项和公式，
这里对图形进行了割、
补两种处
理，
对应着等差数列
n
项和的两
个公式
.
，请学生联想思考总结来有助于记忆。
【设计意图】帮助学生类比联想，拓展思维，增加
兴趣，强化记忆
四、公式应用、讲练结合
1
、练一练：
有了两个公式，请同学们来练一练，看谁做的快做的对！
根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛
a
n
｝的
S
n
：
（
1
）
a
1
=5
，
a
n
=95
，
n=10