奥数题等差数列求和及应用一
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等差数列求和及应用一
等差数列的定义：
一列数，如果相邻两个数的差相等，我们就说这个数列叫做
等差数列；相等的差叫做这列数的公差，这列数的个数叫做项数，最小的数
叫做首项，最大的数叫做末项。
（以下公式要求熟记）
基本公式
：
和
=
（首项
+
末项）×项数÷
2
末项
=
首项
+
（项数
-1
）×公差
项数
=
（末项
-
首项）÷公差
+1
首项
=
末项
-
（项数
-1
）×公差
公差
=
末项
首项
项数
1
例
1
、
计算：
1+2+3+4+
…
+99+100=
例
2
、
计算：
1+3+5+7+
…
+1995+1997+1999=
例
3
、
数列
4
，
9
，
14
，
19
，…的第
80
项是多少
例
4
、
有一列数按如下规律排列：
6
，
10
，
14
，
18
，…这数列中前
100
个数的
和是多少
例
5
、
求
100
至
200
之间被
7
除余
2
的所有三位数的和是多少
例
6
、
学校进行乒乓球选拔赛，
每个参赛选手要和其他选手赛一场，⑴如果
一
共有
10
外队员，一共要进行多少场
比赛⑵一共进行了
78
场比赛，有多少人
参加了选拔赛
例
7
、
小红家在一条胡同里，这条胡同门牌号从
1
开始，挨着号码编下去。如
果除小红家外，其余各家的门牌号加起来，减去小红家的门牌
号数，恰好等
于
100
。问小红家的门
牌是几号全胡同里共有几家
例
8
、
若干个同样的盒子排成一排，小明把
50
多
个同样的棋子分装在盒中，
其中只有一个盒子没有棋子，然后他外出了。小光从每个有棋
子的盒子里各
拿出一个其中放在空盒里，再把盒子重新排列了一下，小明回来查看一番，
没发现有人动过。问：共有多少个盒子
家庭作业：
【
1
】计算
⑴
2+4+6+8
…
+198+200
⑵
3+10+17+24+31+
…
+94
⑶
77+74+71+
……
+11+8+5
【
2
】已知
等差数列
3
，
7
，
11
，
15
，…，
195
，问这个数列共有多少项
【
3
】
已知等差数列
2
，
7
< br>，
12
，
17
< br>，……它的第
25
项是多少第
3
6
项是多少
【
4
】一个有
30
< br>项的等差数列，公差是
5
，末项为
154
，这个数的首项是多少
【
5
】一个
等差数列，首项是
4
，末项是
88
，公差是
6
，这列数的总和是多少
【
6
】
有一列数，
已知第一个
数是
9
，
从第二个数起，
每个数都比前一个数多
4
，
这列数的前
50
个数的和是多少
【
7
】学校举行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，
一共进行
91
场比赛，有多少人参加了选拔赛
【
< br>8
】一个物体从空中降落，第一秒落下
9
米，以后每秒都比前一秒多落下
9
米，经过
10
秒到达地面，这个场体原来离地面的高是多少米
【
9
】上体育课时，我们几个同学站成一排，从
1
< br>开始顺序报数，除我以外的
其他同学报的数之和减去我报的数恰好等于
72
。问：共有多少个同学我报的
数是几
【
10
】
7
个小队共种树
100
棵，各小队种的棵数都不相同，其中种树最多的小
队种了
18
棵树，种树最少的小队至少种了多少棵树
【
11<
/p>
】编号为
1
—
9
的
9
个盒子里共放有
< br>351
粒糖，已知每个盒子都比前一个
盒子里多同样数量
的糖。
如果
1
号盒子里放
11
粒糖，
那么后面的盒子比它前
< br>一个盒子里多放几粒糖如果
3
号盒子里放了
23
粒糖呢
体育比赛中的数学问题
例
1
、
三年级一班组织了一次投篮比赛，规定投进一球得
3
分，投不进倒扣
1
分，小明投
5
个球，投进了
3
个，那么他应该得多
少分
例
2
、
甲、乙、丙
3
人进行乒乓球循环赛，结果<
/p>
3
人获胜的场数各不相同，问
第一名胜了
几场
例
3
、
甲、乙、丙、丁等
4
人进行乒乓球比赛，每
2
人都要赛一场，结果甲胜
了丁，并且
甲、乙、丙
3
人胜的场数相同，问丁胜了多少场
例
4
、
甲、
乙、
丙、
丁与
小华等
5
个人参加乒乓球比赛，
每
2
人都要比赛
1
盘
。
到现在为止，甲已经赛了
4
盘，乙赛
了
3
盘，丙赛了
2
盘，丁赛了
1
盘，小
华赛了几盘<
/p>
例
5
、
⑴世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛。每场比赛胜队得
3
分，败队得
0
分。平局时两队各得
1
分，各小组之间全赛完以后，总积分最
高的两个队出线进入下轮比赛。如果积分相同，要按小分排序。问一个队至
少要积几分
才能保证本队出线简述理由。
（
2<
/p>
）在上述世界杯足球小组赛中，若有一个队总积
3
分，问：这个队有可能
出线吗为什么
例
6
、
有
A,B,C
三个足球队
,
两两比赛
1
场
,
一共赛
了
3
场球
,
每
个队的比分如下
胜
负
平
进球
失球
A
2
6
2
B
1
1
4
4
C
2
6
你能根据上表写出
3
场球的具体比分吗
例
7
、
A
，
B
，
C
，
D
，
E
等五人参加乒乓球比赛。每两个人都要赛一场，并且只
赛一场，规定胜者得
2
分，负者得
0
分，已知比赛得结果如下：⑴
A
与<
/p>
B
并列
第一名；
（
2
）
C
是第
三名；⑶
D
和
E
并列第四名。求
C
的得分。
例
8
、六个足球队进行单循环比赛，每两队都
要比赛一场。如果踢平，每队各
得
1
分
，否则胜队得
3
分，负队得
0
分。现在比赛已进行了四轮（每队都已
与
4
个队比赛过）
，
各队
4
场得分之和都互不相同。已知总分居第三位的队共
得
7
分，并且有场球赛踢成平局，总得分居第五位的队最多可得
分，最
少可得
分。
例
9
、
在某市举行的一次乒乓球比赛中，
有
6
名选手参赛。其中专业选手与业
余选手各
3
名。
比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场
。
为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有
10
分作为底分，每赛一
场，胜者加分，负者扣分；每胜专业选手一场的
加
2
分，每胜业余选手一场
的加
1
分；专业选手每负一场扣
2
分，业余选手每负一场扣
1
分。现问：一
位业余选手至少要胜几场才能保证他必定进入前三名
家庭作业：
【
1
】三年级六个班举行拔河循环赛，每个班要进行几场比赛一共要进行几场
比赛
【
2
】在一次排球联赛中，所有参赛队每两队都要赛
1
场
，共赛
21
场，问有多
少个队参加
【
3
】某校五年
级五个班各派一队参加小足球比赛，每两队都要比赛一场，到
现在为止，
一班赛了
4
场，
二班赛了
3
场，
三班赛了
1
场，
那么五班赛了
场。
【
4<
/p>
】甲、乙、丙、丁与小明等五位同学进入象棋比赛。每两人都要比赛
1
盘，
每胜
1
盘得
2
分，和
1
盘得
1
分，输一盘得
0
分。到现在为止，甲赛了
4
盘，
< br>共得
2
分；乙赛了
3
盘，得了
4
分；丙赛了
2
盘，得了
1
分，丁赛了
1
盘，得
了
2
分，那么小明现在已赛了
盘，得
分。
【
5<
/p>
】五所小学进行足球赛，每两所学校赛一场，每场胜的队得
3
分，负的队
得
0
分
，踢平各和
1
分。已知四所小学的得分分别为
< br>8
、
7
、
4
、
1
，第五所小学
的得分最多是
。
【
6
】六个排球队进行比赛，每两队都刚好
比赛一次，现知各队的得分都各个
相同（排队赛中没有平局，赢队得
1
分，输队得
0
分）
；且
A
队名列第三，
B
队名列第四。试问：在
A
、
B
两队比赛时，谁赢了谁试加以论证。
【
7
】德国队、意大利和荷兰进行一次足球比赛，每
一队与另外两队各赛一场，
现在知道：⑴意大利队总进球数是
0
，并且有一场平局；⑵荷兰队总进取球数
是
1
，总失球数是
2
，并且它恰好胜
了一场。按规定，胜一场得
2
分，平一场
得
1
分，负一场得
0
分，那么德国队共得
分。
<
/p>
【
8
】德国队、意大利队和荷兰队进行一
次足球赛，每队与另外两队各比赛一
场。现在知道：
⑴意大利总进球是
0
。并且有一场打了平局。
⑵荷兰队总进球数是
1
，总失球数是
< br>2
，并且经恰好胜过
1
场。
按照规则胜
1
场
得
2
分，
平一场得
1
分，
负一场得
0
分。
那么，
德国队得了
分。
【
9<
/p>
】
四个足球队进行单循环比赛，
每两队都
要赛一场，
如果踢平，
每队各得
1
分，
否则胜队得
3
分，
负队得
0
分。
比赛结果各队得分恰好是连续自然数，
问：
输给第一名的队
的总分是多少
【
10
】
四名棋手进行循环比赛，
胜一局得
< br>2
分，
平一局得
1
分，
负一局得
0
分。
如果各人得的总分不同，第一名不是全胜，那么至少多有
局是平局。
【
11
】
1994
< br>年
“世界杯”
足球赛中，
甲、<
/p>
乙、
丙、
丁
4<
/p>
支足球队分在同一小组。
在小组赛中这
4
支队伍中的每支队伍都要与其他
3
队比
赛
1
场，
根据规定：
< br>每
场比赛胜队可得
3
分，负队得
0
分，如果双方踢平，两队各记
1
分。已知：⑴
这
4
支队比赛得总得分为
4
个连续奇数；
⑵
乙队总得分排在第一；⑶丁队恰有
两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的。根据以
上条件可以推断：总分
排在第四位的是
队。