第3讲 高斯求和
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我们一直在努力！
第
3
讲
高斯求和
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，
上学时，
有一天老师出了一道题让
同学们计算：
1
＋
2
＋
3
＋
4
＋…＋
99
＋
100
＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答
案等于
5050
。
高斯为什么算得又快
又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1
＋
100
＝
2
＋
99<
/p>
＝
3
＋
98
＝…＝
49
＋
52
＝
50
＋
51
。
1
～
100
正好可
以分成这样的
50
对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把<
/p>
这道题巧算为
（
1+100
）×
100
÷
2
＝
5050
。
小高斯使用的这种求和方法，
真是聪明极了，
简单快
捷，
并且广泛地适用于
“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称
为
数列
，
数列中的每一个数称为一项，
其中第一项称为
首项
，
最后一项称为
末项
。
后项与前
项之差都相等的数列称为
等差数列
，
后
项与
前项之差称为
公差
。例如：
（
1
）
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，…，
100
；
（
2
）
1
，
3
，
5
，
7
，
9<
/p>
，…，
99
；（
3
）
8
，
15
，
22
，
29
，
36
，…，
71
。
其中（
1
）是首项为
< br>1
，末项为
100
，公差为
1
的等差数列；（
2
）是首项为
1
，末项为
99
，公差为
2
的等差数列；（
3
）是首项为
8
，末项为
71
，公差为
7
的等差
数列。
由高斯的巧算方法，得到
等差数列的求和公式
：
和
=
（首项
+
末项）×项数÷
2
。
例
1
1
＋
2
＋
3
＋…＋
1999
＝？
分析与解
：这串加数
1
，
2
，
3
，…，
1999
是等差数列，首项是
1
，末项是
1999
，
< br>共有
1999
个数。由等差数列求和公式可得
原式
=
（
1
＋
< br>1999
）×
1999
÷
2
＝
1999000
。
注意
：
利用等差数列求和公式之前，
一定要判断题目中的各个加数是
否构成
等差数列。
1
我们一直在努力！
例
2
11
＋
12
＋
13
＋
…＋
31
＝？
分析与解
：这串加数
11
，
12
，
13
，…，
31
是等差数列，首项是
11
，末项是
31
，
共有
31-11
＋
1
＝<
/p>
21
（项）。
原式
=
（
11+31
< br>）×
21
÷
2=441
。
在利用等差数列求和公式时，
有时项数并不是一目了然的，
这时就需要先求出项
数
。根据首项、末项、公差的关系，可以得到
项数
=
（末项
-
首项）÷公差<
/p>
+1
，
末项<
/p>
=
首项
+
公差×
（项数
-1
）
。
例
3
3
＋
7
＋
11
＋
…＋
99
＝？
分析与解
：
3
，
7
，
11
，…，
< br>99
是公差为
4
的等差数列，<
/p>
项数
=
（
99
－
3
）÷
4
＋
1
＝
25
，
原式
=
（
3
＋
99
）×
25
÷
2
＝
1275
。
例
4
求首项是
25
，公差是
3
的
等差数列的前
40
项的和。
解
：末项
=25
＋
3
×（
40-1
）
＝
142
，
和
=
（
25
＋
142
）×
40
÷
2
＝
3340
。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，
可以解决各种与等差数列求和有
关的问题。
例
5
在下图中，
每个最小的等边三角形的面积是
12
厘米
< br>2
，
边长是
1
< br>根火柴棍。
问：
（
1
）最大三角形的面积是多少平方厘米？（
2
）整个
图形由多少根火柴棍摆
成？
分析：
最大三角形共有
8
层，
从上往下摆时，
每层的小三角形数目及所用火柴数
目如下表：
由上表看出，各层的小三角形
数成等差数列，各层的
火柴数也成等差数列。
2